“直線的兩點(diǎn)式方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

?雞西市第十九中學(xué) 孫長(zhǎng)卿

“直線的兩點(diǎn)式方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

?雞西市第十九中學(xué) 孫長(zhǎng)卿

（人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版《數(shù)學(xué)》必修2第三章直線與方程3.2“直線的方程”第2課時(shí)）

學(xué)情分析：

我校為一所普通高中，部分學(xué)生基礎(chǔ)較差，學(xué)生在學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)習(xí)慣、知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)能力等方面相對(duì)薄弱.

在學(xué)完直線的點(diǎn)斜式方程之后，學(xué)生已經(jīng)建立了兩種具體的直線方程——點(diǎn)斜式、斜截式的概念并會(huì)應(yīng)用它們求直線方程，并對(duì)直線方程、方程直線的概念有了一定的理解和認(rèn)識(shí)，對(duì)兩點(diǎn)確定一條直線，直線的縱截距的概念也已經(jīng)明確清晰.但由于部分學(xué)生觀察、類比、遷移、化歸、計(jì)算等能力薄弱，可能在兩點(diǎn)式方程形式的導(dǎo)出、綜合性應(yīng)用問題上會(huì)有一定困難.

學(xué)習(xí)內(nèi)容分析：

直線方程共有四種特殊形式，本節(jié)課學(xué)習(xí)第三、第四種特殊形式，其重要性略低于前兩種形式，使用頻率也不高.但在體現(xiàn)點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用，襯托點(diǎn)斜式方程的重要性及為學(xué)習(xí)一般式方程作鋪墊，體現(xiàn)由特殊到一般的知識(shí)歸納提升過程中有著重要意義.

本節(jié)的主要知識(shí)點(diǎn)是兩個(gè)方程的導(dǎo)出及應(yīng)用，教學(xué)基于點(diǎn)斜式方程；引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)一個(gè)數(shù)學(xué)方法——待定系數(shù)法，這種方法在確定曲線方程問題中是常用的重要方法；另外把方程思想、數(shù)形結(jié)合思想貫穿于課堂教學(xué)的始終，強(qiáng)調(diào)解析幾何的一般方法和思想.

通過對(duì)兩點(diǎn)式、截距式方程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、和諧美等特質(zhì).通過對(duì)兩點(diǎn)式方程由分式到整式的變形，幫助學(xué)生了解一般式方程中系數(shù)A、B的幾何意義【直線的方向向量即為（B，-A），法向量為（A，B）】，為學(xué)習(xí)直線的參數(shù)方程做鋪墊.使學(xué)生掌握整式形式的方程是已知兩點(diǎn)求直線方程并化為一般方程的技巧，為學(xué)生感性認(rèn)識(shí)行列式、進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)埋下伏筆，體現(xiàn)搭建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺(tái)的課程理念.

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：掌握直線的兩點(diǎn)式、截距式方程并會(huì)用于求直線方程的相關(guān)問題；

過程與方法：理解兩點(diǎn)式方程的導(dǎo)出過程，掌握求直線方程的直接法及間接法（待定系數(shù)法）；

態(tài)度、情感、價(jià)值觀：通過對(duì)方程形式美的發(fā)現(xiàn)，感受數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)文化，進(jìn)一步體會(huì)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.

重點(diǎn)：1.掌握直線的兩點(diǎn)式方程及應(yīng)用；2.掌握求直線方程的兩種基本方法.

難點(diǎn)：兩點(diǎn)式方程的建立，待定系數(shù)法的應(yīng)用，綜合性問題的解決.

教法與學(xué)法：

采用閱讀－交流－展示－提升－檢測(cè)等步驟，通過生生互動(dòng)、師生互動(dòng)等方式，還時(shí)間于學(xué)生、還思維于學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)概念及能力的形成過程.生、師的精講及學(xué)生的精練，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)先行，教師斷后的過程，達(dá)到提升學(xué)生能力的目的.

基于學(xué)情，教師讓學(xué)生先閱讀本節(jié)知識(shí)并小組交流，讓一名成績(jī)較好的學(xué)生講解兩點(diǎn)式方程的導(dǎo)出過程，教師通過追問讓全體學(xué)生深刻理解方程的內(nèi)涵與外延.之后及時(shí)通過一定量的練習(xí)讓學(xué)生掌握方程并會(huì)靈活應(yīng)用.為掌握待定系數(shù)法，教師通過舉例求一元一次函數(shù)解析式時(shí)可用待定系數(shù)法類比，求直線方程也可以用待定系數(shù)法并精講求解過程，讓學(xué)生明確步驟、學(xué)會(huì)方法.教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、歸納、化歸轉(zhuǎn)化、合作探究等方式，使學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式.

教學(xué)過程（含師生活動(dòng)）：

復(fù)習(xí)回顧：讓學(xué)生回答上節(jié)課學(xué)習(xí)的直線方程的兩種形式：點(diǎn)斜式及斜截式方程，并明確已知及方程適用條件.

問題導(dǎo)入：利用點(diǎn)斜式、斜截式可求直線方程，若不知k，只知兩個(gè)點(diǎn)，能否求直線方程呢？

例已知兩點(diǎn)P1（3，-5），P2（-2，5），求直線方程.當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）變成一般的兩點(diǎn)，如何得出用這兩點(diǎn)坐標(biāo)表示的直線方程？

進(jìn)而導(dǎo)出新課，并展示學(xué)習(xí)目標(biāo)，由一名學(xué)生到黑板上板演兩點(diǎn)式方程及截距式方程.

新知探究：

問題：探究在已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）時(shí)，如何求直線方程、讓學(xué)生閱讀教材，由一名學(xué)生講解方程的導(dǎo)出過程：

教師進(jìn)一步追問學(xué)生：1.為什么要x1≠x2？2.為什么要y1≠y2？3.為什么在點(diǎn)斜式方程中要把y1≠y2除以到分母中去？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確提升知識(shí)內(nèi)涵及外延.

通過小組交流討論澄清以下易錯(cuò)點(diǎn)：

1.這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定；

2.當(dāng)直線斜率k不存在（即x1=x2）或k=0（即y1=y2）時(shí),不適用（此時(shí)方程如何得到）；

3.形式（分式）對(duì)稱，也可用變形式：（y1-y2）x+ （x2-x1）y+x1y2-x2y1=0，

此時(shí)x1=x2,y1=y2能否成立？

當(dāng)堂訓(xùn)練：

求過下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程，并化簡(jiǎn)整理.

（1）P1（5，-3），P2（1，2）；（2）A（a，0），B（0，b）（a≠0，b≠0）.

這兩題由小組搶答完成，由學(xué)生挑錯(cuò)，教師提醒學(xué)生注意易錯(cuò)點(diǎn).對(duì)于第（2）題，教師可引導(dǎo)學(xué)生變形，發(fā)現(xiàn)另一種比較完美的直線方程形式：，并加以總結(jié)提升.

解題小結(jié)：

1.解題步驟：明確條件－代入公式－化簡(jiǎn)整理；

2.截距式方程及說明：

（1）截距式方程適用于橫、縱截距都存在且都不為0（即ab≠0）的直線；

（2）形式對(duì)稱與和諧的特征，并舉出不是截距式方程的例子；

（3）橫、縱截距a、b不是距離，可以為任意實(shí)數(shù).

3.四種特殊形式：點(diǎn)斜式（斜截式） 兩點(diǎn)式（截距式）

能力提升：

例1已知三角形ABC的頂點(diǎn)是A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），

（1）)求ABC三邊所在直線方程；

（2）求BC邊上中線所在直線方程.

由學(xué)生小組派代表板演完成，教師針對(duì)學(xué)生解題步驟不規(guī)范現(xiàn)象，以求邊AB、AC所在直線方程為例加以示范，特別是用（y1-y2）x+（x2-x1）y+x1y2-x2y1=0形式求解，讓學(xué)生體會(huì)這種形式的簡(jiǎn)潔美.如做出如下排列（即行列式）：

代入公式，從而有［0-（-3）］x+[3-（-5）]y+（-5）×（-3）-3×0=0，即邊AB所在直線l方程：3x+8y+15=0.

教師強(qiáng)調(diào)解解析幾何題要養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，指出畫圖可以將抽象變直觀，且可以提示解題思路.

對(duì)于（2）邊BC及BC邊中線所在直線方程由學(xué)生獨(dú)立或討論完成，把學(xué)生的結(jié)果用視頻展臺(tái)展出，有問題的地方加以糾正.

例2已知直線l過點(diǎn)A（1,2），且與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積為4，求直線l的方程.

此題有難度，可先由學(xué)生小組交流討論，提出解法.如有困難，由教師舉例：已知一元一次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)坐標(biāo)，求此函數(shù)的解析式.提示學(xué)生此類題可用待定系數(shù)法求解，進(jìn)而類比得出求直線方程也可用此方法：設(shè)方程－列方程組－解方程組－得出直線方程并提出變式問題.

方法：求直線方程的方法：直接法：明確條件－代入方程－化簡(jiǎn)整理；間接法：待定系數(shù)法.

思想：方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.

當(dāng)堂檢測(cè)（教學(xué)效果）：

針對(duì)學(xué)生層次分別設(shè)計(jì)出必做題（基礎(chǔ)和能力題）和選做題（拓展題）.

課后反思：

1.可取之處：（1）兩點(diǎn)式方程的教學(xué)由具體事例引入，再推廣到一般情形，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程.

（2）變教師講兩點(diǎn)式方程的導(dǎo)出為學(xué)生講，教師再采取追問的方式深入挖掘內(nèi)涵，使學(xué)生透過現(xiàn)象看到本質(zhì).

（3）注重了數(shù)學(xué)美的挖掘，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和和諧美，引發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣.

（4）注重了數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)思想是靈魂，數(shù)學(xué)方法是解決問題的手段.使方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想貫穿了本節(jié)課的始終.

2.不足之處：（1）學(xué)生的合作學(xué)習(xí)質(zhì)量不高.針對(duì)第二個(gè)教學(xué)目標(biāo)，即讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種求直線方程的間接方法——待定系數(shù)法，應(yīng)讓學(xué)生充分交流討論，拿出結(jié)果和同學(xué)一起分享，對(duì)的可以借鑒，錯(cuò)的吸取教訓(xùn)，應(yīng)相信學(xué)生有這個(gè)能力，通過合作學(xué)習(xí)可以獲得成功.

（2）本節(jié)課的課堂總結(jié)及方程的適用條件的處理，讓學(xué)生去歸納效果會(huì)更好.

3.創(chuàng)新點(diǎn)

（1）對(duì)數(shù)學(xué)美的挖掘，通過對(duì)方程形式美的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美.

（2）把分式方程變形為整式方程：（y1-y2）x+（x2-x1）y+x1y2-x2y1=0，這應(yīng)是本節(jié)課的一個(gè)創(chuàng)新處理.這個(gè)處理為學(xué)生將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的行列式做了鋪墊，而且對(duì)學(xué)生了解直線方程的一般式中系數(shù)A、B的幾何意義，即（B，-A）為直線的方向向量做了鋪墊.而把兩點(diǎn)坐標(biāo)排成下圖（行列式），再按箭頭方向確定系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的值，為學(xué)生快速地寫出直線方程提供了一個(gè)好方法.

（此教學(xué)設(shè)計(jì)曾獲教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心“菁華杯”首屆全國(guó)教學(xué)設(shè)計(jì)大賽一等獎(jiǎng).）

編輯/王一鳴

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