初中代數(shù)等差數(shù)列的研究與應用

張志敏

（青島市第二十六中學 山東青島 266003）

初中代數(shù)等差數(shù)列的研究與應用

張志敏

（青島市第二十六中學 山東青島 266003）

德國著名數(shù)學家高斯9歲時，老師在算數(shù)課上出了一道難題：“把1到100的整數(shù)寫下來，然后把它們加起來！”還不到幾秒鐘，高斯已經(jīng)把石板放在講桌上了，其他的學生把數(shù)字一個個加起來，額頭都出了汗水。他的同學無不為之驚奇，小高斯得出的結(jié)果被確定是正確的。

原來小高斯在認真審題的基礎上，根據(jù)題的特點，發(fā)現(xiàn)了這樣的有趣現(xiàn)象：1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，50+51=101一共有多少個101呢？100個數(shù)，每兩個數(shù)是一對，共有50對，即共有50個101，所以=101×50=5050

我們再換一種思路，用數(shù)形結(jié)合的思想來分析一下這道題。圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了n層。將圖1倒置后與原圖拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個數(shù)為

在數(shù)學上，人們把1～100這些數(shù)中的每一個數(shù)都叫做一個項，并把這樣的一串數(shù)稱作數(shù)列。“高斯算法”其實就是數(shù)列的求和問題。有了它，好多數(shù)學題和生活中的問題解答起來就方便多了。

例如：在解決找規(guī)律的問題時，我們會經(jīng)常遇到等差數(shù)列。來看看下面的例子。如圖是用小棒擺出的一系列三角形圖案，按這種方式擺下去：A、當每邊擺10（即n=10）時，則共有多少個最小的三角形。

B、當?shù)趎個圖案時，則共有多少個最小的三角形（用S表示）

當n=1時，S=1；當n=2時，S=4=1+3；當n=3時，S=9=1+3+5；

所以，A、當n=10時，S=1+3+5+7=……+19=102=100

B、當n=n時，S=1+3+5+7=……+（2n-1）=n2

進一步思考：A中需要的小棒總數(shù)為多少根？

B中需要的小棒總數(shù)S與n的關系式又是什么？

當n=1時，S=3；當n=2時，S=9；當n=3時，S=18；

這就是一個數(shù)列：3、9、18、30……。此數(shù)列是3的倍數(shù)，即3×1，3×3，3×6，3×10……這樣第n項的數(shù)據(jù)也就清楚了。也有人說：受原題的影響，小棒與數(shù)三角形個數(shù)有密切關系：

當n=1時，相當于1個△；當n=2時 相當于（1+2）個△；當n=3時，相當于（1+2+3）個△；……當n=n時，相當于（1+2+3+……+n）個△

等差數(shù)列的知識沒有在初中課本上講解，但是實際問題當中已經(jīng)有很多的應用，例如握手問題。

某中學舉辦畢業(yè)聚會，參加聚會人數(shù)有60人時，每兩人都要握一次手相互告別，那么握手次數(shù)為多少次呢? 若有600人參加聚會，總握手次數(shù)又是多少次呢?

解析：當人數(shù)有60人時，握手次數(shù)為：

當人數(shù)有600人時，握手次數(shù)為：

當人數(shù)有x時，握手次數(shù)為：

再來看看變式練習：

題目分析：

仔細觀察這個算式，發(fā)現(xiàn)他很有規(guī)律地出現(xiàn)著一些“減數(shù)”。因此，計算時應特別細心。在此介紹三種解法。

解法一：變減為加，整體推算。（其中減數(shù)為4的倍數(shù)，共28÷ 4=7（個））

解法二：分組累計，從頭算起每四個數(shù)為1組，分別計算每組數(shù)的得數(shù)為：2、10、18……50。其和為：（2+50）×7÷2=182

解法三：加數(shù)、減數(shù)分別統(tǒng)計。減數(shù)全部拿出以后，剩下的加數(shù)是：

1+2+3+5+6+7+9+…+25+26+27把這些加數(shù)每3個一組，并求出每組之和：

七個減數(shù)的和為：（4+28）×7÷2=112，原式的得數(shù)為：294-112=182

總之，高斯的方法非常巧妙，里面蘊涵的數(shù)學道理非常深刻，思考問題也可以從不同的角度用不同的方法。變換不同角度看問題的數(shù)學意識非常重要，是學生進行數(shù)學學習的重要目標之一。