數(shù)形結(jié)合 探索規(guī)律

查達(dá)彬

[摘 要]數(shù)形結(jié)合既是重要的數(shù)學(xué)思想，又是常用的數(shù)學(xué)方法。課堂教學(xué)中，教師如果長(zhǎng)期滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，就能使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)和解決問(wèn)題的策略，長(zhǎng)期穩(wěn)固地作用于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。

[關(guān)鍵詞]畫圖 填表 數(shù)形結(jié)合 規(guī)律 方案 表達(dá)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）35-017

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！庇纱丝梢姡瑪?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用。

“打電話”這節(jié)課是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)綜合應(yīng)用中的一個(gè)內(nèi)容，其中有這樣一道題：“一個(gè)合唱隊(duì)共有15人，暑假期間李老師接到一個(gè)緊急演出的通知，要合唱隊(duì)的15名隊(duì)員參加演出。如果以打電話的方式，每分鐘通知一人，怎樣盡快通知到每個(gè)隊(duì)員？”下面，我就以“打電話”教學(xué)為例，談?wù)勅绾芜\(yùn)用數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律。

一、數(shù)形結(jié)合，嘗試表達(dá)

教學(xué)片斷1：

生1：我覺得一個(gè)一個(gè)地打電話通知浪費(fèi)時(shí)間，分組通知應(yīng)該快一些。

師：如果分組通知，你會(huì)怎么分組？通知完一共需要多長(zhǎng)時(shí)間？（生小組討論）

生2：我們小組把15人平均分成3組，每組5人，老師通知3個(gè)組長(zhǎng)需要3分鐘，組長(zhǎng)再通知4個(gè)隊(duì)員需要4分鐘，一共需要7分鐘。

生3：我們小組把15人平均分成5組，每組3人，老師通知5個(gè)組長(zhǎng)，需要5分鐘，組長(zhǎng)再通知2個(gè)隊(duì)員，需要2分鐘，一共需要7分鐘。

師：這兩位同學(xué)不僅說(shuō)出了平均分組通知所用的時(shí)間，還說(shuō)出了平均分組通知的過(guò)程。不過(guò)，這個(gè)過(guò)程我們聽起來(lái)還不夠清晰，大家能否用簡(jiǎn)潔的圖形把平均分組的過(guò)程表示出來(lái)？為了方便，我們不妨用“□”代表老師、用“○”代表組長(zhǎng)、用“△”代表組員來(lái)畫圖，第幾分鐘就標(biāo)上幾。（學(xué)生畫圖后，師展示兩位學(xué)生的作品，略）

師：這兩位同學(xué)展示的圖形清晰、美觀，很好地表示出打電話通知的過(guò)程。

……

思考：對(duì)于五年級(jí)學(xué)生而言，平均分組通知的方案是比較容易找出來(lái)的。這里，在學(xué)生找出方案后，教師還讓他們畫圖表達(dá)，不僅使學(xué)生進(jìn)一步明晰平均分組通知的過(guò)程，而且引導(dǎo)學(xué)生嘗試數(shù)形結(jié)合的方法，為后續(xù)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題做好準(zhǔn)備。

二、數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化方案

教學(xué)片斷2：

師：同學(xué)們剛才已經(jīng)會(huì)用圖來(lái)表示平均分組通知的過(guò)程，這很不簡(jiǎn)單！但是，這兩種方法是不是用時(shí)最短的方法呢？大家能不能通過(guò)畫示意圖找出用時(shí)最短或較短的方法呢？（生小組討論并畫圖）

生4（出示下圖）：我們小組通過(guò)畫圖覺得可以分成4組來(lái)通知，不過(guò)不是平均分組，而是有3個(gè)小組每組是4人，一個(gè)小組是3人，一共需要6分鐘。

生5（出示右圖）：我們小組通過(guò)畫圖認(rèn)為可以分成3組來(lái)通知，不過(guò)也不是平均分組，而是分為6人、5人、4人三組，需要的時(shí)間也是6分鐘。

生6（出示右圖）：我們小組通過(guò)畫圖認(rèn)為可以分成5組來(lái)通知，不過(guò)也不是平均分組，而是每組分別為5人、4人、3人、2人、1人，一共需要5分鐘。

師：這三個(gè)小組同學(xué)探討出來(lái)的方法，實(shí)際上就是不平均分組通知的方案。

……

思考：小學(xué)生年齡小，以形象思維為主，所以在學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，往往會(huì)單維度的思考問(wèn)題。課堂教學(xué)中，讓學(xué)生畫示意圖，既可以把抽象的問(wèn)題變得直觀，又可以借助圖形進(jìn)行思維、想象，從而找出更省時(shí)間的方案。

教學(xué)片斷3：

師：同學(xué)們真了不起，能夠通過(guò)畫圖探究出這么多不平均分組通知的方法。但是，為什么不平均分組通知的方法比平均分組通知的方法花的時(shí)間都要少呢？

生7：我知道了！因?yàn)槠骄纸M通知，老師、組長(zhǎng)盡管都在幫忙通知，但由于組員數(shù)一樣多，所以老師最后通知的那個(gè)組花的時(shí)間就要多一些，而不平均分組通知可以把老師先通知的小組多安排一些人，后通知的小組少安排一些人，這樣就節(jié)省時(shí)間了。

師：這位同學(xué)說(shuō)得真好！那么，用時(shí)5分鐘是不是最短的時(shí)間呢？

生8：不是！因?yàn)楫媹D時(shí)我發(fā)現(xiàn)用不平均分組通知的方法，盡管老師、組長(zhǎng)都在通知，但不是始終都在通知，還有閑著的時(shí)候。我想，如果老師、組長(zhǎng)和已接到通知的組員都全員參與通知，那還是可以節(jié)省時(shí)間的。

師：這位同學(xué)說(shuō)得太好了！全員參與通知也就是大家都不閑著！那請(qǐng)大家繼續(xù)通過(guò)畫圖，找出全員參與通知這種更省時(shí)間的方法。（生討論并畫圖）

生9（出示下圖）：全員參與通知只要4分鐘。

生10（出示右圖）：我畫的圖不一樣，不過(guò)也只要4分鐘。

師：同學(xué)們看一看，比較一下，哪位同學(xué)的畫法更清晰？

生（齊）：最后一位同學(xué)的畫法看得更清楚。

師：我們通過(guò)邊畫圖邊探究，想出了這么多好的方案。經(jīng)過(guò)比較，大家覺得全員參與通知這種方案用時(shí)最少，只要4分鐘，其原因是每個(gè)接到通知的隊(duì)員包括老師在內(nèi)都不閑著。

……

思考：在學(xué)生探究的過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合為方案的不斷優(yōu)化起到了一個(gè)“拐杖”的作用，既促進(jìn)學(xué)生積極思維，降低了學(xué)生探究的難度，又幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并找到隱含其中的規(guī)律，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系以及優(yōu)化思想在生活中的應(yīng)用。在此過(guò)程中，學(xué)生不僅品嘗到了成功的喜悅，而且感受到數(shù)形結(jié)合這種方法的魅力。

三、數(shù)形結(jié)合，探究規(guī)律

教學(xué)片斷4：

師：剛才我們研究的這個(gè)最省時(shí)的通知方案到底有什么規(guī)律呢？第1分鐘通知了幾人？

生11：第1分鐘通知了1人。

師：接到通知的隊(duì)員和老師的總數(shù)是幾人？

生12：接到通知的隊(duì)員和老師的總數(shù)是2人。

師：第2分鐘呢？

生13：第2分鐘通知了2人，接到通知的隊(duì)員和老師的總數(shù)是4人。

師：第3分鐘呢？

生14：第3分鐘通知了4人，接到通知的隊(duì)員和老師的總數(shù)是8人。

……

思考：探索最優(yōu)方案中的規(guī)律是本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)。學(xué)生在思考打電話的時(shí)間與通知到的隊(duì)員人數(shù)的問(wèn)題時(shí)，常會(huì)被表面現(xiàn)象所迷惑，而不能抓住事物的內(nèi)在規(guī)律和本質(zhì)——到第n分鐘所有接到通知的隊(duì)員和老師的總數(shù)是一個(gè)等比數(shù)列。上述教學(xué)，教師按時(shí)間順序提問(wèn)，通過(guò)不斷深入，使學(xué)生對(duì)規(guī)律一步步明晰，為后面的填寫表格埋下伏筆。

教學(xué)片斷5：

師：通過(guò)填表，你發(fā)現(xiàn)了什么？（生小組討論后匯報(bào)交流）

師生總結(jié)：后一分鐘知道消息的人數(shù)是前一分鐘知道消息人數(shù)的2倍，即知道消息的人數(shù)是成倍增加的，那么接到通知的總?cè)藬?shù)比知道消息的總?cè)藬?shù)少1人。

……

思考：上述教學(xué)，教師先出示表格，再讓學(xué)生根據(jù)表格的內(nèi)容要求計(jì)算填表，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的各項(xiàng)數(shù)據(jù)，分析各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系并討論交流。表格具有簡(jiǎn)單、明了、清晰的特點(diǎn)，通過(guò)表格的形式進(jìn)行探究，有利于學(xué)生抓住事物的本質(zhì)特點(diǎn)，總結(jié)出事物的變化規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

四、數(shù)形結(jié)合，拓展延伸

教學(xué)片斷6：

（1）快速搶答。

①李老師按每分鐘通知1人計(jì)算，要通知31名舞蹈隊(duì)隊(duì)員，最少要幾分鐘？63人呢？

②按每分鐘通知1人計(jì)算，第10分鐘時(shí)共通知了多少人？

（2）小新是一名業(yè)務(wù)員。有一天，他幫老板談成了一筆業(yè)務(wù)，讓公司賺了500萬(wàn)元，老板很高興，要獎(jiǎng)勵(lì)小新，讓他提個(gè)要求。小新說(shuō)：“我的要求不高，您只要從現(xiàn)在起第一個(gè)月給我1000元獎(jiǎng)金，第二個(gè)月2000元，第三個(gè)月4000元，如此遞增下去，連續(xù)獎(jiǎng)我10個(gè)月就行了。”老板一聽，要求不高，就答應(yīng)了。你們知道第10個(gè)月要獎(jiǎng)勵(lì)小新多少元嗎？（生答略）

師：回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你覺得最大的收獲是什么？知道了哪些學(xué)習(xí)和研究方法？

……

思考：上述教學(xué)，通過(guò)拓展練習(xí)和這節(jié)課知識(shí)、學(xué)習(xí)方法的回顧，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步梳理、提煉解決問(wèn)題的方法和策略，使數(shù)形結(jié)合的思想方法深入學(xué)生心底，并內(nèi)化為他們解決問(wèn)題的習(xí)慣和技能。

總之，課堂教學(xué)中，教師如果長(zhǎng)期滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，就能使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)和解決問(wèn)題的策略，長(zhǎng)期穩(wěn)固地作用于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。

（責(zé)編 杜 華）