拋物線問(wèn)題的多角度探究

◇ 江蘇 韓小波

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拋物線問(wèn)題的多角度探究

◇ 江蘇 韓小波

與拋物線有關(guān)試題的命制通常以直線與拋物線相交為背景,考查點(diǎn)主要包括弦長(zhǎng)、與焦點(diǎn)或準(zhǔn)線有關(guān)的平面圖形的面積、定點(diǎn)、定值等問(wèn)題．問(wèn)題處理的常規(guī)方法利用坐標(biāo)法,將幾何問(wèn)題代數(shù)化處理．本文以一道直線與拋物線的綜合問(wèn)題為例,就其中所涉及的解題方法、技巧等進(jìn)行深入分析．

1 題目賞析

例已知點(diǎn)A(x1,y1)、D(x2,y2) (其中x1

(1) 當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)時(shí),求直線AD的斜率;

本題背景為直線與拋物線相交,問(wèn)題涉及2交點(diǎn)與拋物線頂頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積問(wèn)題．

第(1)問(wèn)題較為基礎(chǔ),解答略.下面對(duì)第(2)問(wèn)從多角度探究．

2 解法探究

2.1 利用分割法

圖1

如圖1,設(shè)直線AD與x軸交點(diǎn)為M,△OAD的面積可由△OMD的面積減去△OMA的面積,而這2個(gè)三角形的底邊相等,均為|OM|,則面積差問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2個(gè)三角形高的差的問(wèn)題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為A、D2點(diǎn)縱坐標(biāo)差的問(wèn)題,即|y2-y1|,再利用直線方程將y1、y2用x1、x2表示,結(jié)合已知條件求解．

方法1設(shè)直線AD的方程為y=kx+m，則

因?yàn)棣?16-16km>0,所以0

2.2 利用弦長(zhǎng)公式

三角形面積的求解除了分割法以外,還可利用弦長(zhǎng)公式直接求出△OAD的底邊|AD|的長(zhǎng),再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高h(yuǎn),進(jìn)而直接求面積．

方法2設(shè)直線AD的方程為y=kx+m.

因?yàn)棣?16-16km>0,所以0

2.3 點(diǎn)差法,設(shè)而不求

①

3 變式演練

此類問(wèn)題的處理方法也可推廣到橢圓或雙曲線問(wèn)題中,如下面的變式題．

(1) 求橢圓M的方程;

因篇幅所限,過(guò)程略,請(qǐng)同學(xué)們按文中例題所述方法進(jìn)行求解．

通過(guò)對(duì)一道問(wèn)題的多角度分析,能有效考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度以及靈活應(yīng)用所學(xué)內(nèi)容分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

江蘇省南京市溧水區(qū)第三高級(jí)中學(xué))