數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別方法綜述

[關(guān) 鍵 詞] 數(shù)項(xiàng)級數(shù)；收斂性；判別方法

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2017）15-0124-01

一、理論

1.定義：如果我們有這樣的u1+u2+…+un+…的數(shù)項(xiàng)級數(shù)，它的部分和數(shù)列{Sn}，當(dāng)n趨于無窮時(shí)，收斂到S，那么我們就稱數(shù)項(xiàng)級數(shù)是收斂的。

2.級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則：？坌？著>0，？堝N，？坌n>N，P∈N有Sn+p-Sn<？著.

3.比式判別法的極限形式：設(shè)■un為正項(xiàng)級數(shù)，且■■=q，則：（1）當(dāng)q<1時(shí)，級數(shù)■un收斂；（2）當(dāng)q>1時(shí)，級數(shù)■un發(fā)散；（3）當(dāng)q=1時(shí)，級數(shù)■un可能收斂，也可能發(fā)散。

4.根式判別法的極限形式：設(shè)■un為正項(xiàng)級數(shù)，且■■=l，則：（1）當(dāng)l<1時(shí)，級數(shù)■un收斂；（2）當(dāng)l>1時(shí)，級數(shù)■un發(fā)散；（3）當(dāng)l=1時(shí)，級數(shù)■un可能收斂，也可能發(fā)散。

5.積分判別法：設(shè)f（x）是在[1，+∞）上的非負(fù)遞減的函數(shù)，那么反常積分■f（x）dx收斂時(shí)，正項(xiàng)級數(shù)■un也收斂；反常積分■f（x）dx發(fā)散的時(shí)候，正項(xiàng)級數(shù)■un也發(fā)散.

6.萊布尼茨判別法：如果交錯(cuò)級數(shù)■（-1）n-1un滿足如下兩個(gè)條件：（1）數(shù)列{un}單調(diào)遞減；（2）■{un}，則級數(shù)收斂。

7.狄利克雷判別法：如果{an}是單調(diào)遞減的數(shù)列，并且當(dāng)n趨于無窮時(shí)an趨于0，并且級數(shù)■bn的部分和數(shù)列是有界的，那么可以得到級數(shù)■anbn是收斂的。

8.阿貝爾判別法：若{an}為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)■bn，則級數(shù)■anbn收斂。

二、應(yīng)用方法

（一）運(yùn)用極限的思想來解決數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性問題

數(shù)項(xiàng)級數(shù)和數(shù)列極限是同一個(gè)問題的不同形式，所以用求極限的方法來解決數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性就成為最直接的方法。

基本步驟：（1）分析題目給的條件，考慮■un具有的特點(diǎn)和性質(zhì)，是否可以很容易地化到數(shù)列形式或其他形式。（2）利用前n項(xiàng)和的極限是否存在來判斷級數(shù)的斂散性，可以利用定義、柯西收斂準(zhǔn)則等最為直接的方法，也可以選擇其他極限方法。

注意：我們總是可以將數(shù)項(xiàng)級數(shù)化為數(shù)列的形式然后去求其極限，數(shù)列的斂散性就可以判斷出來了，但很多時(shí)候這個(gè)過程是復(fù)雜的，而且并不是所有的數(shù)列極限都容易求解，所以，這個(gè)方法有其弊端，后面我們將介紹專門針對數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判斷方法。

（二）求解正項(xiàng)級數(shù)的斂散性問題

在上面我們討論了用求極限的思想來解決數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性問題，計(jì)算過程其實(shí)相對復(fù)雜，我們需要一種直接判斷的方法，由于正項(xiàng)級數(shù)的特殊性，我們有三種方法來判斷，但在實(shí)際應(yīng)用過程中需要比較方法的優(yōu)劣，下面給出了這三種方法的

對比：

1.比較判別法是最基本的方法，適用面廣，但是也有很大的弊端，關(guān)鍵在于如何尋找適合的比較對象。

2.比式判別法和根式判別法是使用最多的方法，它們無需尋找比較對象，依賴于通項(xiàng)表達(dá)式，同時(shí)，它們的弊端在于很多時(shí)候無法判別。

3.積分判別法是一種特殊的方法，需要滿足特定條件才可以使用，如級數(shù)的通項(xiàng)必須要求是非負(fù)減函數(shù)，并且寫成概念積分的形式后容易判斷收斂性。

基本步驟：（1）分析題目條件，考慮■un具有的特點(diǎn)和性質(zhì)，是否有明顯或者可以直接利用到的條件或者結(jié)論。（2）通常按照以下步驟依次嘗試：判斷通項(xiàng)是否為0，若不為0，即級數(shù)發(fā)散；利用比式或者根式判別法；選擇判斷是否可使用積分判斷法；當(dāng)上面三種都不可行的時(shí)候，我們只能去選擇比較判別法，通過找適當(dāng)?shù)谋容^對象來進(jìn)行判斷，這一步需要通過平時(shí)的做題來積累。

（三）交錯(cuò)級數(shù)的斂散性

交錯(cuò)級數(shù)是一種特殊類型的數(shù)項(xiàng)級數(shù)，它具有典型的形式，同時(shí)也有專門的求解方法——萊布尼茨判別方法，在很多題目中有著重要的應(yīng)用。

（四）通過采用狄利克雷判別法和阿貝爾判別法來求解一般數(shù)列的斂散性問題

當(dāng)我們在做題的時(shí)候遇到一般項(xiàng)級數(shù)的問題時(shí)，應(yīng)該優(yōu)先考慮級數(shù)是不是絕對收斂，這樣問題就變成去判斷正項(xiàng)級數(shù)的斂散性問題，如果級數(shù)不是絕對收斂，除了交錯(cuò)級數(shù)可以用萊布尼茨判別法來判斷，還可以利用數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的定義、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，后兩種方法用于判斷具有兩項(xiàng)乘積的級數(shù)只要兩項(xiàng)分別滿足定義要求，即可得到收斂的結(jié)論。

基本步驟：（1）分析題目條件，考慮■un具有何種特點(diǎn)和性質(zhì)，先判斷是否絕對收斂；（2）如果不是數(shù)項(xiàng)級數(shù)求出來不是絕對收斂，又不能使用萊布尼茨判別法的時(shí)候，可以將通項(xiàng)按要求分成兩項(xiàng)的乘積，嘗試使用狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。