等價(jià)無窮小在極限運(yùn)算中的應(yīng)用

【摘 要】等價(jià)無窮小在極限的求解中具有重要作用，其可使復(fù)雜的極限求解簡單化，是我們高中生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)及重點(diǎn)之一。本文主要在等價(jià)無窮小的理論基礎(chǔ)上，通過實(shí)例對等價(jià)無窮小代換的簡潔性與價(jià)值性進(jìn)行驗(yàn)證，并進(jìn)一步推廣等價(jià)無窮小的替換定理，以提高我們極限求解的能力。

【關(guān)鍵詞】等價(jià)無窮小 極限 運(yùn)算

一、引言

等價(jià)無窮小是極限求解過程中最常用的方法之一，同時(shí)也是我們高中生需掌握的重要知識點(diǎn)之一。雖然求極限的方法多種多樣，但我們在學(xué)習(xí)極限的過程中，由于極限思想相對抽象，而等價(jià)無窮小的替換是一種簡單有效的方法，可將求極限具體化、形象化，特別是在一些未定型求極限應(yīng)用中，利用等價(jià)無窮小求解更加的簡便與快捷，這對我們更好的掌握求極限的理論與方法具有重要意義。

二、等價(jià)無窮小的理論基礎(chǔ)

極限是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)，在我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的

過程中具有重要作用。而等價(jià)去無窮小主要是指：設(shè) ，

是某一變化過程中的無窮小量，且 ≠0，若 =1，則稱

與 使等價(jià)無窮小，記為 。

在我們高中學(xué)習(xí)過程中，常見的用來代換的等價(jià)無窮小有：設(shè) 為某一變化過程中的無窮小量，在有

常見的性質(zhì)有：設(shè) = ， = ， 是某一變

化過程中的無窮小量，且 ≠0， ≠0， ≠0，則

定理1：在自變量同一變化的過程中，若 ，

則得出的結(jié)論如下：

若 存在或?yàn)闊o窮大，則有 = ；若 不存在（除無窮大），則 也不存在。說明： = = ，證明完畢。

若 存在，則有 = = ，可知 即存在，這種情況下，則和題設(shè)是矛盾的，因此， 是不存在的，證明完畢。

上述四題中是 、 型未定式，若使用洛必達(dá)法進(jìn)行解

決則較為麻煩，而應(yīng)用等價(jià)無窮小來求極限，可大大減少我們解題過程中的計(jì)算量，在求極限運(yùn)算中具有重要作用。

例2： 若在本題的分子中直接采用等價(jià)無窮小替換，也會得到相同的

結(jié)果，即：

定理2：在自變量的同一變化過程中 ， ， =A（A≠-1）或無窮大，則可得出 。

證明：①若 =A（A≠1），則有 ；證明完畢。

②若 =∞，而 = =0，則有 =1

推論：在自變量的同一變化過程中， ， ， A（A≠-1）或無窮大，則

證明： ，證明完畢。

由定理2可知例2分子中 = ，正好滿足定理2的相關(guān)條件，因此，我們高中生在解題的過程中，可直接采用等價(jià)無窮小進(jìn)行替換，這樣可將解題過程中簡單化、便捷化。

例3：①

②

③ 。

由此可見，等價(jià)無窮小替換不僅在 型、 型未定式中得到廣泛應(yīng)用，在 、 型未定式中也能得到有效應(yīng)用。

定理3：在自變量的統(tǒng)一變化過程中， ， ， >0，則可得 。則：

，證明完畢。

定理4：在自變量的同一變化過程中， ， ，則 。

證明： 。

例4：

從定理4的例題中可以看出掌握等價(jià)替換的條件對我們高中生求解函數(shù)、數(shù)列的極限會有較大幫助，在一定程度上，可大大減少計(jì)算量。

三、等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用

等價(jià)無窮小替代法的主要目的就是實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的簡化，在實(shí)際運(yùn)算過程中，和其它計(jì)算方法相比，等價(jià)無窮小這種計(jì)算方法對于我們高中生來說應(yīng)用更為有效。

在求極限的過程中，我們高中生應(yīng)對等價(jià)無窮小的理論基礎(chǔ)予以重視，以下將通過三個(gè)在日常學(xué)習(xí)過程中遇到的三種典型例題，對等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用進(jìn)行分析。

例1：求極限 。

解：利用等價(jià)無窮小的替換， ， ，因此 = 。

例2：求極限 。

解：利用等價(jià)無窮小的替換， ， ，則 = 。

例3：求極限 。

解：利用等價(jià)無窮小的替換， ， ，則 = 。

四、注意事項(xiàng)

等價(jià)無窮小在求極限中的應(yīng)用主要是將分子或分母整體替換掉，主要滿足乘積計(jì)算，無法直接應(yīng)用于加減類型中，避免出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤。

例如：求極限 。

錯(cuò)解：利用等價(jià)無窮小進(jìn)行替換， ， ，則 = 。這種情況則是未能正確應(yīng)用定理而出現(xiàn)的錯(cuò)誤，在我們?nèi)粘W(xué)習(xí)中，普遍會出現(xiàn)該類錯(cuò)誤，正

確解法應(yīng)為：

上題中出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要原因在于用 代替了0，可我們注意到在計(jì)算極限 ，在 的過程中，0是“最高階”的無窮小， 是比0的低階無窮小，由此可見， 與 并不等價(jià)，因此，是無法進(jìn)行代替的。根據(jù)以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出，針對這種問題，可將分子分母作為一個(gè)整體，并采取適宜的處理方式進(jìn)行解決。

五、結(jié)語

無窮小量與極限這兩者之間存在緊密聯(lián)系，而無窮小量的加減乘除運(yùn)算及求極限等內(nèi)容是我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的開端與基礎(chǔ)，因此，我們在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中，應(yīng)正確理解相關(guān)概念，并熟練掌握有關(guān)計(jì)算方法，這對我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)具有重要意義。

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