高等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識(shí)的重要途徑

（重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院，重慶402160）

[摘 要] 以高等代數(shù)課程為例，說明了高等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)的重要途徑。進(jìn)一步梳理了高等代數(shù)課程涉及的中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，為高等代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容改革指出方向。

[關(guān) 鍵 詞] 數(shù)學(xué)教師；本體性知識(shí)；高等代數(shù)；高等數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G715 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2017）12-0028-03

數(shù)學(xué)素質(zhì)是公民所必須具備的一種基本素質(zhì)。因此數(shù)學(xué)教育在當(dāng)前中學(xué)教育中占有特殊的地位，它使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界。近年來，教育改革，尤其是高考改革，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育提出了新的要求。伴隨教材的更新，中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容也進(jìn)行了更新。而大學(xué)教育對(duì)此變化反應(yīng)較慢，教材更新不及時(shí)。另一方面，大學(xué)教師對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容變化不太了解。因此造成了將來希望擔(dān)任中學(xué)數(shù)學(xué)教師的大學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)（指微積分、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)等數(shù)學(xué)專業(yè)課程）的學(xué)習(xí)不感興趣，甚至認(rèn)為只要把中學(xué)內(nèi)容搞熟悉了，就可以勝任中學(xué)教學(xué)，高等數(shù)學(xué)知識(shí)的用處不大。本文以高等代數(shù)教學(xué)內(nèi)容為例說明高等代數(shù)的知識(shí)是提升中學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識(shí)的重要途徑。。

一、培養(yǎng)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的公民給中學(xué)數(shù)學(xué)教師提出了本體性知識(shí)要求

1.什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)目前沒有形成共識(shí)，在美國數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)頒布的《學(xué)校數(shù)學(xué)大綱及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》中給出了公民具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：第一，懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值；第二，對(duì)自己的數(shù)學(xué)能力有信心；第三，具有解決現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)問題的能力；第四，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)交流；第五，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思想方法。

2.在信息化社會(huì)中，數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)是培養(yǎng)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的公民，在我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)總體目標(biāo)中也提出了以上五個(gè)方面的要求。

以上兩個(gè)方面的培養(yǎng)目標(biāo)為中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備的本體性知識(shí)提出了要求。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識(shí)亟待提高

1.什么是數(shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)？數(shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)是指數(shù)學(xué)教師所具有的特定的學(xué)科知識(shí)，主要包括以下四個(gè)方面：第一，數(shù)學(xué)教師應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)有廣泛且準(zhǔn)確的理解，能熟練掌握相關(guān)的技能、技巧；第二，數(shù)學(xué)教師要了解與數(shù)學(xué)相關(guān)的基本知識(shí)以及他們之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系；第三，數(shù)學(xué)教師需要了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史和趨勢、數(shù)學(xué)對(duì)于人類社會(huì)發(fā)展的價(jià)值及其在人類生活實(shí)踐中的多種表現(xiàn)形態(tài)；第四，數(shù)學(xué)教師需要掌握數(shù)學(xué)提供的獨(dú)特的認(rèn)識(shí)世界的思維的工具與方法，及其創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)過程中展現(xiàn)的科學(xué)精神和人格力量。

2.數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的定義?；谝陨咸岢龅臄?shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)及要完成以上培養(yǎng)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的公民，這就對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)知識(shí)提出了較高的要求。什么是數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)知識(shí)，童莉教授在其博士論文中給出了定義，是指他知道的作為科學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)、他理解的課程內(nèi)容和教材內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)及他在教學(xué)過程中使用的數(shù)學(xué)知識(shí)這三個(gè)層面的數(shù)學(xué)知識(shí)。作為科學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)即是數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備的本體性知識(shí)。

3.汪會(huì)玲在文獻(xiàn)中對(duì)普通中學(xué)數(shù)學(xué)教師知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了三維度（本體性知識(shí)、條件性知識(shí)、實(shí)踐性知識(shí)）調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示：教師的本體性知識(shí)（調(diào)查包含數(shù)學(xué)信念、自我評(píng)價(jià)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)三個(gè)方面）總體得分較差，其中教師的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)得分最低（調(diào)查主要涉及代數(shù)、數(shù)系、向量的運(yùn)算法則、中學(xué)幾何、統(tǒng)計(jì)等方面），說明教師的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)欠缺。從調(diào)查結(jié)果反映出中學(xué)數(shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)的掌握存在較大問題，在目前數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)教育改革環(huán)境下，尤其有必要提升數(shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)。

三、高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系內(nèi)容的學(xué)習(xí)是獲得本體性知識(shí)的重要途徑

高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系指微積分、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)等數(shù)學(xué)專業(yè)課程。這些知識(shí)為中學(xué)數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)公民的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供了基礎(chǔ)理論和應(yīng)用的知識(shí)源泉。只有通過高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系的學(xué)習(xí)，中學(xué)數(shù)學(xué)教師才能夠提升自己的本體性知識(shí)。例如，高等代數(shù)知識(shí)不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的繼續(xù)和提高，還可以進(jìn)一步解釋許多高中數(shù)學(xué)未能說清楚的問題。例如，多項(xiàng)式的根及因式分解理論、線性方程組理論、向量的相關(guān)知識(shí)等。另外，高等代數(shù)中的很多思想方法如公理化方法、結(jié)構(gòu)化方法、等價(jià)分類方法等都在中學(xué)數(shù)學(xué)中有很好的體現(xiàn)。下面聯(lián)系高等代數(shù)的知識(shí)說明：高等代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)是提升中學(xué)數(shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)的重要途徑。

（一）中學(xué)數(shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)中與高等代數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、法則、命題等基本知識(shí)的聯(lián)系，具體情況見表1與表2

從上表1我們可以較系統(tǒng)地梳理九年義務(wù)教育三個(gè)學(xué)段中涉及的與高等代數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

1.在“數(shù)與代數(shù)”中“實(shí)數(shù)”內(nèi)容涉及高等代數(shù)中與多項(xiàng)式理論類似的整除理論，因式分解理論等，進(jìn)一步涉及到近世代數(shù)、初等數(shù)論等課程；“整式和分式”內(nèi)容涉及高等代數(shù)中多項(xiàng)式理論中的整除、因式分解、代數(shù)學(xué)基本定理、二次型等理論，進(jìn)一步涉及數(shù)學(xué)分析、近世代數(shù)等課程；“方程和方程組”和“不等式和不等式組”內(nèi)容涉及高等代數(shù)中多項(xiàng)式中的代數(shù)學(xué)基本定理以及線性方程組的理論，這些內(nèi)容還與數(shù)學(xué)分析等課程相關(guān)內(nèi)容有關(guān)。

2.在“空間與圖形”中圖形的認(rèn)識(shí)（點(diǎn)、線、面、相交線與平行線、視圖與投影等）內(nèi)容涉及高等代數(shù)中向量空間和歐式空間；圖形與變換、坐標(biāo)內(nèi)容涉及高等代數(shù)中向量空間、線性變換和歐式空間等相關(guān)知識(shí)。這部分內(nèi)容正是體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化。

從上表2我們可以較系統(tǒng)地看出高中數(shù)學(xué)教育中涉及的與高等代數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。

3.在必修課程中高中數(shù)學(xué)知識(shí)涉及的高等代數(shù)知識(shí)包含多項(xiàng)式、線性方程組、向量空間和歐式空間等內(nèi)容，有些內(nèi)容更多的是出現(xiàn)在幾何學(xué)（解析幾何和高等幾何）等高等數(shù)學(xué)課程。這正是體現(xiàn)了代數(shù)和幾何的交叉，即幾何問題代數(shù)化。

4.在選修課程中有些高中數(shù)學(xué)知識(shí)，如“數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)”“矩陣與變換”等，直接涉及高等代數(shù)知識(shí)，包含多項(xiàng)式、向量空間、矩陣、線性變換和歐式空間等內(nèi)容；有些內(nèi)容如“空間中的向量與立體幾何”更多的是出現(xiàn)在幾何學(xué)（解析幾何和高等幾何），但是在高等代數(shù)的向量空間和歐式空間也涉及，如柯西-布涅柯夫斯基不等式在代數(shù)、幾何、分析中都是較為重要的內(nèi)容。

（二）高等代數(shù)的學(xué)習(xí)是弄清表1與表2中的中學(xué)數(shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)相互聯(lián)系的需要

1.表1與表2中涉及高等代數(shù)知識(shí)不成體系的分布在中學(xué)各個(gè)年級(jí)，高等代數(shù)的知識(shí)是這些知識(shí)的系統(tǒng)化和深化。只有通過系統(tǒng)學(xué)習(xí)才能弄清以上知識(shí)間的聯(lián)系，更好地指導(dǎo)中學(xué)教學(xué)。

2.高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系的各科是相互聯(lián)系的，高等代數(shù)課程與幾何學(xué)、數(shù)學(xué)分析等課程相互交織，聯(lián)系緊密。通過系統(tǒng)學(xué)習(xí)才能弄透表1與表2中各知識(shí)的來龍去脈，才能更好地組織中學(xué)教學(xué)。

3.高等代數(shù)的學(xué)習(xí)也是高中選修課程中的重要內(nèi)容。要搞好選修課程的系列課程教學(xué)，如系列1的數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、系列2的空間中的向量與立體幾何、系列3的初等數(shù)論的有關(guān)知識(shí)、對(duì)稱與群、系列4的矩陣與變換、初等數(shù)論的有關(guān)知識(shí)、不等式選講等知識(shí)，必須系統(tǒng)學(xué)習(xí)高等代數(shù)。

（三）高等代數(shù)中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法。

作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師必須擁有基本的數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)識(shí)清楚這些知識(shí)產(chǎn)生的背景及應(yīng)用，這也是作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師必備的本體性知識(shí)。

1.中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該深刻認(rèn)識(shí)表1與表2這些知識(shí)產(chǎn)生的背景，進(jìn)而告訴學(xué)生如何應(yīng)用這些知識(shí)，這也是中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)教師提出的要求。

2.高等代數(shù)思想方法的核心是分類的觀點(diǎn)、標(biāo)準(zhǔn)型的觀點(diǎn)、不變量的觀點(diǎn)。在文獻(xiàn)[8]中具體提出了高等代數(shù)所蘊(yùn)含的抽象、分類、坐標(biāo)、變換等10種最基本的數(shù)學(xué)思想方法，這些都是提高學(xué)生思維能力的重要思想方法。當(dāng)然高等數(shù)學(xué)的其他課程也起到相應(yīng)的作用。

3.高等代數(shù)知識(shí)在數(shù)學(xué)其他課程中有廣泛應(yīng)用，在現(xiàn)代科技如經(jīng)濟(jì)學(xué)、信息安全、化學(xué)等很多方面都有深刻的應(yīng)用，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)也有起著重要作用。

四、總結(jié)

從以上分析可以看到，高等代數(shù)課程學(xué)習(xí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教師的本體性知識(shí)獲得的重要途徑。對(duì)高校數(shù)學(xué)專業(yè)課程教師了解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是必須的，只有這樣才能在教學(xué)中做到有的放矢，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)體系課程的興趣。

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