談“函數(shù) 是不是指數(shù)函數(shù)”

在講指數(shù)函數(shù)的定義時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到函數(shù) 是不是指數(shù)函數(shù)的問題。不僅學(xué)生的看法不一致而且老師們的看法也不一致，概括起來有以下幾種觀點(diǎn)。

觀點(diǎn)一：認(rèn)為函數(shù) 不是指數(shù)函數(shù)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是形式定義，形如 的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，而且在以往的教學(xué)中也一直強(qiáng)調(diào)在講指數(shù)函數(shù)的定義時(shí)一定要注意以下幾點(diǎn)（1） 前面的系數(shù)是1；（2）指數(shù) 的系數(shù)也是1；（3）只有 單項(xiàng)式后面不加任何數(shù)；（4）底數(shù) ，而且經(jīng)常以 為例來強(qiáng)調(diào) 前面的系數(shù)為1。

觀點(diǎn)二：認(rèn)為 是指數(shù)函數(shù)，因?yàn)?，符合指數(shù)函數(shù)的定義，所以 是指數(shù)函數(shù)，而且是以 為底的指數(shù)函數(shù)。

觀點(diǎn)三：如果函數(shù)以 的形式給出，就不是指數(shù)函數(shù)，因?yàn)樗环现笖?shù)函數(shù)的形式定義， 前面的系數(shù)不為1；如果函數(shù)以 的形式給出是指數(shù)函數(shù)，這種形式符合指數(shù)函數(shù)的形式定義，很顯然這種說法很牽強(qiáng)而且前后矛盾，同一個(gè)函數(shù)怎么既是指數(shù)函數(shù)又不是指數(shù)函數(shù)呢，所以這種說法站不住腳。

觀點(diǎn)四：認(rèn)為講指數(shù)函數(shù)的概念時(shí)對(duì)指數(shù)函數(shù)的形式一帶而過不要深究，知道有指數(shù)函數(shù)這回事就可以，不要求學(xué)生判斷這類函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)，不強(qiáng)調(diào)x的系數(shù)問題。但是《新課程標(biāo)準(zhǔn)》和《考綱》均要求學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，給定一個(gè)函數(shù)進(jìn)而判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)，要求學(xué)生掌握指數(shù)函數(shù)的概念和形式，所以對(duì)于指數(shù)函數(shù)的形式絕不能打馬虎眼，否則學(xué)生上完指數(shù)函數(shù)的概念這一節(jié)課一頭霧水，竟然不知道什么樣的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)，那么這堂課顯然就是很失敗的。

到底函數(shù) 是不是指數(shù)函數(shù)呢？筆者認(rèn)為是指數(shù)函數(shù)，下面簡(jiǎn)單說明自己的理由，而且判斷函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)也可以采用以下兩種方法。

方法一：形如 的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，筆者認(rèn)為這里的形如不只是“外表”一樣，還包括“內(nèi)在”一樣，因?yàn)?，所以 是指數(shù)函數(shù).所以判斷一個(gè)函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)不僅要看“外表”還要看“內(nèi)在”。

同樣 ，所以 也是指數(shù)函數(shù).

練習(xí)1：判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)。

（1）f（x）=2·3x，（2）f（x）=3﹣3 x，（3）f（x）=3 x﹢1，（4）f（x）=（﹣3）x

.

法二：在不少輔導(dǎo)資料或試題中均出現(xiàn)過判斷哪些函數(shù)滿足 ，好像基本上都是所有的指數(shù)函數(shù)均滿足這一性質(zhì)，所以我就大膽嘗試用新的方式定義指數(shù)函數(shù)。

函數(shù) 定義在 上，且滿足條件 的單調(diào)函數(shù)稱函數(shù) 為指數(shù)函數(shù)。

因?yàn)?/p>

， ，所以

又 是定義在 上的單調(diào)函數(shù)，所以它是指數(shù)函數(shù)。

同樣 用這種辦法判斷也是指數(shù)函數(shù)。

因?yàn)?所以 ，故 是指數(shù)函數(shù)。

練習(xí)2：用法二判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)。

（1）f（x）=2·3x，（2）f（x）=3﹣3 x，（3）f（x）=3 x﹢1，（4）f（x）=（﹣3）x

其實(shí)除了上面兩種辦法以外，還有一種辦法可以判斷一個(gè)函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)所以想判斷一個(gè)函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)只需判斷它的反函數(shù)是不是對(duì)數(shù)函數(shù)就可以。

函數(shù) 的反函數(shù)是 ，而函數(shù) 是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以 是指數(shù)函數(shù).