關(guān)于分段函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的教學(xué)探討

馬艷麗，潘娟娟，褚正清，李海霞

（安徽新華學(xué)院 公共課教學(xué)部，安徽 合肥 230088）

關(guān)于分段函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的教學(xué)探討

馬艷麗，潘娟娟，褚正清，李海霞

（安徽新華學(xué)院 公共課教學(xué)部，安徽 合肥 230088）

函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象，其中分段函數(shù)是一類非常特殊且具有代表性的函數(shù)，它是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)生不易掌握的難點(diǎn)。通過(guò)具體實(shí)例分析了分段函數(shù)的極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分和極值的求法以及容易出現(xiàn)的問(wèn)題，指出理解分段函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的關(guān)鍵是掌握其在分界點(diǎn)處的特殊變化。

分段函數(shù)；連續(xù)性；導(dǎo)數(shù)；積分；極值

函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象，它從始至終都占據(jù)著非常重要的地位，其中分段函數(shù)［1］是一類非常特殊且具有代表性的函數(shù)，它是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)生不易理解和掌握的難點(diǎn)。在高等數(shù)學(xué)中，有許多內(nèi)容都要涉及到分段函數(shù)，它的明顯特征就是“分段”，在討論分段函數(shù)的性質(zhì)，如連續(xù)性、可導(dǎo)性、積分和極值時(shí)學(xué)生往往容易出錯(cuò)，尤其是對(duì)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的性質(zhì)，學(xué)生更容易忽略，往往會(huì)感到無(wú)從下手。本文主要對(duì)分段函數(shù)的極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分和極值等問(wèn)題的求解思路和方法進(jìn)行歸納總結(jié)并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析，旨在對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能夠起到一定的指導(dǎo)作用，使學(xué)生們對(duì)于分段函數(shù)性質(zhì)的分析有更深的理解和掌握。

1 分段函數(shù)的概念

分段函數(shù)是指對(duì)自變量的不同取值范圍，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)。它明確指出了分段函數(shù)是在自變量的不同取值范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)著不同解析式的一個(gè)函數(shù)，并不是幾個(gè)函數(shù)［1］。因此，不要以為對(duì)于自變量的全部值由一個(gè)公式定義的函數(shù)與利用幾個(gè)公式定義的函數(shù)是相同的，這兩者之間有著原則上的區(qū)別。當(dāng)然，通常情況下，由幾個(gè)公式給定的分段函數(shù)有時(shí)也可以用一個(gè)公式表示出來(lái)，例如：分段函數(shù)

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的［2］。因?yàn)榉侄魏瘮?shù)的分界點(diǎn)往往是間斷點(diǎn)，所以分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)。由于分段函數(shù)的表達(dá)形式比較特殊，學(xué)生不容易理解和掌握，教師在講授分段函數(shù)的概念和性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意以下3個(gè)方面：1）分段函數(shù)只有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，是一個(gè)函數(shù)，切不可把它看成是幾個(gè)函數(shù)。2）分段函數(shù)的定義域是自變量取值集合的并集，因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)只有一個(gè)定義域，所以定義域只能寫成一個(gè)集合的形式，而不能分開寫成幾個(gè)集合。3）分段函數(shù)的值域是各個(gè)表達(dá)式函數(shù)值集合的并集，求分段函數(shù)的值域，要先求出各段函數(shù)在對(duì)應(yīng)自變量的取值范圍內(nèi)的函數(shù)值集合，再求出它們的并集。

解由絕對(duì)值的意義可知

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），值域?yàn)椋?∞，4）∪（-∞，4］=（-∞，4］。

2 分段函數(shù)的極限與連續(xù)性

如何解決分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限和連續(xù)性情況，通常要討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處單側(cè)極限（左右極限）和單側(cè)連續(xù)（左右連續(xù)）的情況［3-4］。

定理1設(shè)分段函數(shù)

則

下面通過(guò)具體的例題來(lái)說(shuō)明如何討論分段函數(shù)的極限與連續(xù)性。

例2討論函數(shù)

的連續(xù)性。

解函數(shù)f（x）的定義域被分界點(diǎn)0和2分成了3個(gè)區(qū)間段：（-∞，0），［0，2）和［2，+∞），由于函數(shù)f（x）在各個(gè)區(qū)間段的表達(dá)式都是初等函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0），（0，2）和（2，+∞）內(nèi)都是連續(xù)的。

下面根據(jù)定理1來(lái)討論函數(shù)f（x）在分界點(diǎn)x=0，2處的連續(xù)情況。

由

得函數(shù)f（x）在分界點(diǎn)x=0處是連續(xù)的。

所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2）和（2，+∞）內(nèi)連續(xù)，在點(diǎn)x=2處不連續(xù)。

例3設(shè)函數(shù)

討論當(dāng)a，b取何值時(shí)函數(shù)f（x）在x=0處極限存在，并補(bǔ)充定義使得函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)。

所以

3 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例4求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)。

解因?yàn)椋?dāng)x＞0時(shí)，有

當(dāng)x≤0時(shí)，有

所以

此解題過(guò)程是學(xué)生的常見解法，也是錯(cuò)誤的解法。因?yàn)閷W(xué)生忽略了分界點(diǎn)左右鄰域內(nèi)表達(dá)式不統(tǒng)一的情況，直接利用初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則對(duì)某一個(gè)解析式求導(dǎo)是不對(duì)的，必須對(duì)分界點(diǎn)進(jìn)行單獨(dú)討論。

一般來(lái)說(shuō)，求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分以下2個(gè)步驟：1）先求出函數(shù)在去掉分界點(diǎn)以后的各個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)，此導(dǎo)數(shù)可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義、公式和求導(dǎo)法則等多種方法進(jìn)行求解；2）再討論函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)情況。而在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，可以通過(guò)以下方法進(jìn)行分析：

（1）判斷函數(shù)在分界點(diǎn)處是否連續(xù)，如果不連續(xù)，則必不可導(dǎo)。但若函數(shù)f（x）在分界點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，必須另尋其他方法進(jìn)行判斷。

（2）求出函數(shù)在該點(diǎn)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)（左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)），根據(jù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的情況來(lái)判斷函數(shù)在分界點(diǎn)處可導(dǎo)的情況，具體來(lái)說(shuō)，如果函數(shù)在該點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，則函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，否則都不可導(dǎo)。

（3）求出函數(shù)在分界點(diǎn)左、右鄰域內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)在分界點(diǎn)處的左極限和右極限，若不相等，則函數(shù)在該點(diǎn)處不可導(dǎo)；若相等，則函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)值即為導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)處的極限。

例4的正確求解方法如下所示：

解當(dāng)x＞0時(shí)，有

當(dāng)x＜0時(shí)，有

當(dāng)x=0時(shí)，可以通過(guò)以下方法進(jìn)行求解：

解法1因?yàn)?/p>

解法2由

4 分段函數(shù)的不定積分

求分段函數(shù)的不定積分，關(guān)鍵在于解決不定積分（原函數(shù)）的連續(xù)性，也就是對(duì)各個(gè)子區(qū)間段上不定積分的積分常數(shù)取適當(dāng)?shù)闹?，使得原函?shù)在分界點(diǎn)處是連續(xù)的。若被積函數(shù)在所有的分界點(diǎn)處都是連續(xù)的，則根據(jù)原函數(shù)的連續(xù)性，就可以求出這些積分常數(shù)之間的關(guān)系式，最后得到只含有一個(gè)積分常數(shù)的不定積分；若被積函數(shù)在某些分界點(diǎn)是不連續(xù)的，則最后的不定積分結(jié)果可能有多個(gè)相互獨(dú)立的積分常數(shù)。

例5若函數(shù)

求∫f（x）d x。

因?yàn)楸环e函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上連續(xù)，所以函數(shù)f（x）的原函數(shù)在區(qū)間（-∞，+∞）上也連續(xù)。由f（x）的原函數(shù)在x=0處連續(xù)可得

即C2=C1+2，令C1=C，于是

例6若函數(shù)

求∫f（x）d x。

解當(dāng)x＜0時(shí)，有

當(dāng)0≤x＜2時(shí)，有

當(dāng)x≥2時(shí)，有

因?yàn)楸环e函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上連續(xù)，所以f（x）的原函數(shù)在區(qū)間（-∞，+∞）上也連續(xù)。由例2知f（x）的原函數(shù)在x=0處連續(xù)，可得

再由例2知f（x）的原函數(shù)在x=2處不連續(xù)，所以，函數(shù)的不定積分為

由該例題可知，求分段函數(shù)的不定積分時(shí)，若分界點(diǎn)是間斷點(diǎn)，則可能有多個(gè)積分常數(shù)。

5 分段函數(shù)的定積分

與分段函數(shù)的不定積分相比，分段函數(shù)的定積分相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單。由定積分的定義可知，只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)不影響定積分的結(jié)果。所以，由定積分的性質(zhì)可知，只要分段函數(shù)的定積分存在，就可以分界點(diǎn)為界點(diǎn)，利用積分區(qū)間可加性來(lái)進(jìn)行求解，也就是：分段積分，然后相加。

解被積函數(shù)可寫成分段函數(shù)的形式，即

由定積分的積分區(qū)域可加性得

雖然學(xué)生根據(jù)積分區(qū)域可加性容易求出分段函數(shù)的定積分，但很多學(xué)生在求解分段函數(shù)的定積分時(shí)思路并不是很清晰，往往會(huì)忽略一些問(wèn)題。

例8若函數(shù)

解由定積分的積分區(qū)域可加性得

幾乎所有的學(xué)生都是按照上述做法進(jìn)行求解的，此解法是正確的。題目雖然解答完，但學(xué)生往往沒(méi)有弄清楚整個(gè)問(wèn)題。首先，f（x）在區(qū)間［0，2］上是可積的，這點(diǎn)根據(jù)f（x）在［0，2］上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)可以判定。其次，根據(jù)定積分的積分區(qū)域可加性得

定理2［4］設(shè)f（x）在區(qū)間［a，b］上有界，且僅在有限個(gè)點(diǎn)處f（x）≠g（x），則若f（x）在區(qū)間［a，b］上可積，有g(shù)（x）在區(qū)間［a，b］上也可積，且

教師在講授分段函數(shù)的定積分時(shí)有必要補(bǔ)充并證明這樣的一個(gè)結(jié)論，有了這個(gè)定理2，上面的矛盾就可以解釋了。

6 分段函數(shù)的二重積分

分段函數(shù)二重積分的計(jì)算問(wèn)題［5］是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，一直為廣大師生所關(guān)注，但在大部分教材中，并沒(méi)有明確指出分段函數(shù)二重積分的計(jì)算方法。此類問(wèn)題的一般計(jì)算步驟是：1）畫出積分區(qū)域的草圖；2）由被積函數(shù)的分段點(diǎn)把積分區(qū)域分成如干部分區(qū)域，使得在每個(gè)部分區(qū)域中的被積函數(shù)表達(dá)式明確；3）利用二重積分的區(qū)域可加性，進(jìn)行計(jì)算。

解畫出積分區(qū)域D草圖，以直線y=x為界將積分區(qū)域D分為D1和D2，如圖1所示。

圖1 積分區(qū)域D

7 分段函數(shù)的極值

通過(guò)上述關(guān)于分段函數(shù)幾個(gè)問(wèn)題的分析，我們知道分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的情況非常復(fù)雜，例如分界點(diǎn)是間斷點(diǎn)，在分界點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)，或分界點(diǎn)是駐點(diǎn)等等。要判斷分段函數(shù)在分界點(diǎn)處是否取得極值時(shí)，若采用常規(guī)的方法去求解的話，計(jì)算量很大且繁瑣，本文在文獻(xiàn)［6-7］的基礎(chǔ)上給出了判斷分段函數(shù)在分界點(diǎn)處是否取得極值的方法。

例10判斷分段函數(shù)

在分界點(diǎn)x=0處是否取得極值？是極大值還是極小值？

解因?yàn)?/p>

由文獻(xiàn)［6］定理1知，函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，且極小值為f（0）=0。

例11討論分段函數(shù)

在分界點(diǎn)處的極值情況。

解在分界點(diǎn)x=1處，因?yàn)?/p>

所以f（1-）＞f（0）＞f（1+），由文獻(xiàn)［6］定理2知，函數(shù)f（x）在x=1處無(wú)極值。

在分界點(diǎn)x=-1處，因?yàn)?/p>

所以f（-1-）＜f（0），f（-1+）＜f（0），由文獻(xiàn)［6］定理1知函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值。

8 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述對(duì)分段函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的歸納分析，相信學(xué)生們?cè)谟懻摲侄魏瘮?shù)極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分和極值時(shí)會(huì)有更加清晰的思路和方法，會(huì)對(duì)分段函數(shù)的分界點(diǎn)特別留意和關(guān)注，這個(gè)過(guò)程也是對(duì)單側(cè)極限、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)極限定理等性質(zhì)有更加深入地認(rèn)識(shí)和掌握的過(guò)程。

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)［M］.3版.北京:高等教育出版社,2003．

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué):上冊(cè)［M］.6版.北京:高等教育出版社,2013.

［3］任樹聯(lián).討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處極限、連續(xù)性及導(dǎo)數(shù)的定理［J］.宜賓學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,28（4）:15-17.

［4］李嘉.關(guān)于《高等數(shù)學(xué)》中分段函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)探討［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,39（10）:162-165.

［5］張鴻鷹.分段函數(shù)的二重積分［J］.高等數(shù)學(xué)研究,2006,24（2）:8-9.

［6］王利珍.分段函數(shù)的極值［J］.大學(xué)數(shù)學(xué),2007,23（6）:86-188.

［7］蔡瑾.淺談高等數(shù)學(xué)一元微積分中的分段函數(shù)［J］.長(zhǎng)春理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,30（2）:121-122.

【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

Induction in teaching about related problems of segmented function

MA Yan-li,PAN Juan-juan,CHU Zheng-qing,LI Hai-xia
（Department of Public Curriculum,Anhui Xinhua University,Hefei 230088,China）

Function is the main research object in higher mathematics.Segmented function is a kind of very special and representative function.It is the key point in mathematics teaching,and also the difficulty point which is not easy for students to learn.The limit,the derivative,the integral and the extreme value of the segmented function at the boundary point are the more difficult contents for the students.This paper analyzed the method and problems of the limit,the continuity,the derivative,the integral and the extreme value of the segmented function by giving some examples,and pointed out that the key to understanding the segmentation function is to master the special changes in the boundary points,which helps the deep understanding and comprehension.

segmented function;continuity;derivative;integration;extreme value

O174

A

1008-0171（2016）06-0037-07

2016-05-13

馬艷麗（1983-），女，安徽合肥人，安徽新華學(xué)院講師。