軟可補(bǔ)子半環(huán)

袁惠淑，袁志玲，孔祥智

(江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇 無錫 213122)

軟可補(bǔ)子半環(huán)

袁惠淑，袁志玲，孔祥智

(江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇 無錫 213122)

定義了軟可補(bǔ)子半環(huán)的概念，研究了軟可補(bǔ)子半環(huán)的基本性質(zhì).進(jìn)一步，應(yīng)用對偶軟集的方法研究了軟可補(bǔ)子半環(huán)和對偶軟集之間的關(guān)系.最后，探討了軟可補(bǔ)子半環(huán)像與原像的性質(zhì).

軟集；對偶軟集；可補(bǔ)子半環(huán)；軟可補(bǔ)子半環(huán)

Zadeh[1]提出的模糊集理論、Pawlak[2]提出的粗糙集理論與Atanassov[3]提出的直覺模糊集理論都是刻畫不完整性和不確定性信息的數(shù)學(xué)工具.但這些數(shù)學(xué)理論都存在參數(shù)工具不足的缺陷，針對此問題，Molodstov[4]提出了軟集的概念，它是一個(gè)包含模糊集、直覺模糊集、粗糙集等內(nèi)涵的理論，許多學(xué)者在這方面做出大量工作.

目前，軟集理論被廣泛應(yīng)用到數(shù)學(xué)、信息科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域.將軟集與代數(shù)學(xué)交叉，Aktas和Cagman[5]提出了軟群的新概念，并討論了其基本性質(zhì)，建立了軟代數(shù)學(xué)的新研究領(lǐng)域.楊聞起[6]提出交換可剩余半群的剩余BCI-代數(shù)的概念，討論其性質(zhì)并給出了軟半群的剩余BCI-代數(shù)，使半群的理論進(jìn)一步得到充實(shí).Ummahan等[7]把軟集理論運(yùn)用到環(huán)中，建立了軟環(huán)理論.廖祖華等[8]在軟集理論的基礎(chǔ)上給出了軟坡的概念，并進(jìn)一步研究了它的一些相關(guān)性質(zhì).

半環(huán)是環(huán)概念的推廣，將軟集運(yùn)用到半環(huán)上，得到了很多有價(jià)值的結(jié)果.豐建文等[9]提出了可補(bǔ)半環(huán)的概念.本文將軟集理論運(yùn)用到可補(bǔ)半環(huán)上，提出了軟可補(bǔ)子半環(huán)的概念，并研究了它的一些基本性質(zhì).

1 預(yù)備知識

設(shè)U是初始全集，E是參數(shù)集，P(U)表示U的冪集，A?U.

定義1.1[10]設(shè)F：A→P(U)為映射，則稱(F，A)為集合U上的軟集.

定義1.2[8](軟集的交) 設(shè)(F，A)，(G，B)是U上的軟集.若軟集(H，C)滿足：

(1)C=A∩B；

(2)?e∈C，H(e)=F(e)∩G(e).

則稱(H，C)是軟集(F，A)和(G，B)的交，記作(H，C)=(F，A)∩(G，B).

定義1.3[10](軟集的且運(yùn)算) 設(shè)(F，A)，(G，B)是U上的軟集，令(H，A×B)=(F，A)∧(G，B)，其中H(α，β)=F(α)∩G(β)，?(α，β)∈A×B.則稱(H，A×B)是(F，A)與(G，B)的且運(yùn)算，記為(F，A)∧(G，B).

為軟集H的對偶.若A：X→P(E)為一個(gè)軟集，則軟集

是A對偶.

定義1.5[12]設(shè)E是一個(gè)具有二元運(yùn)算“+”和“·”的非空集合，且滿足條件：

(1) (E，+，0)和(E，·，1)都是幺半群；

(2) (E，+)是交換半群；

(3) ?a，b，c∈E，(a+b)c=ac+bc和c(a+b)=ca+cb；

(4) ?a∈E，0·a=a·0=0.

則稱E為結(jié)合半環(huán)，簡稱半環(huán).若E只滿足條件(1)，(3)，(4)，則稱E為加法非交換半環(huán).

定理1.2[13]E是可補(bǔ)半環(huán)，則E是乘法冪等的，即aa=a，?a∈E.

定理1.3[13]可補(bǔ)半環(huán)E必是加法和乘法可交換的.

定義1.8[7](同態(tài)映射) 設(shè)E1，E2是可補(bǔ)半環(huán)，f：E1→E2為一個(gè)映射.稱f是同態(tài)映射，若滿足：

(1)f(a+b)=f(a)+f(b)，?a，b∈E1；

(2)f(ab)=f(a)f(b)，?a，b∈E1；

定義1.9[7](笛卡爾積)A，B是兩個(gè)非空集合，記A×B為A，B的笛卡爾積，且

A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}.

定義1.10[7](笛卡爾積的乘法運(yùn)算)A，B是兩個(gè)非空集合，定義A×B上的乘法運(yùn)算，使得?(x，y)，(m，n)∈A×B，(x，y)(m，n)=(xm，yn).

定義1.11[7]設(shè)E1，E2是可補(bǔ)半環(huán)，規(guī)定E1×E2的運(yùn)算為：

(1) (x1，y1)+(x2，y2)=(x1+y1，x2+y2)，?x1，x2∈E1，y1，y2∈E2；

(2) (x1，y1)·(x2，y2)=(x1y1，x2y2)，?x1，x2∈E1，y1，y2∈E2；

定理1.4 設(shè)E1，E2是可補(bǔ)半環(huán)，則E1×E2是可補(bǔ)半環(huán).

證明 易證E1×E2滿足加法交換律、加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律、乘法對加法的左右分配律.?(x1，y1)∈E1×E2，有

(x1，y1)+(0，0)=(x1+0，y1+0)=(x1，y1)=(0+x1，0+y1)=(0，0)+(x1，y1)，

故(0，0)是加法單位元；又因?yàn)?/p>

(x1，y1)(1，1)=(x11，y11)=(x1，y1)=(1x1，1y1)=(1，1)(x1，y1)，

故(1，1)是乘法單位元；由

且

定理1.5[13]設(shè)E1，E2是可補(bǔ)半環(huán)E的可補(bǔ)子半環(huán).若E1∩E2≠?，則E1∩E2也是E的可補(bǔ)子半環(huán).

由定義1.8的條件(3)，有如下結(jié)論.

2 軟可補(bǔ)子半環(huán)

定理2.1 設(shè)E是可補(bǔ)半環(huán)，H：E→P(X)為一個(gè)軟集.若H為E的軟可補(bǔ)子半環(huán)，則

H(g1g2)?H(g1)∩H(g2)，?g1，g2∈E，

證明 因?yàn)镠是E的軟可補(bǔ)子半環(huán)，?g1，g2∈E，有

定理2.2 設(shè)E1，E2分別是可補(bǔ)半環(huán)E的可補(bǔ)子半環(huán)，H1，H2分別為E1，E2的軟可補(bǔ)子半環(huán).若E1∩E2≠?，(H，E1∩E2)=(H1，E1)∩(H2，E2)，則H是E1∩E2的軟可補(bǔ)子半環(huán).

證明E1，E2是可補(bǔ)半環(huán)E的可補(bǔ)子半環(huán)，且E1∩E2≠?，由定理1.5知E1∩E2也是E的可補(bǔ)子半環(huán).?g1，g2∈E1∩E2，

H(g1+g2)=H1(g1+g2)∩H2(g1+g2)?[H1(g1)∩H1(g2)]∩[H2(g1)∩H2(g2)]=

[H1(g1)∩H2(g1)]∩[H1(g2)∩H2(g2)]=H(g1)∩H(g2)，

H(g1g2)=H1(g1g2)∩H2(g1g2)?[H1(g1)∩H1(g2)]∩[H2(g1)∩H2(g2)]=

[H1(g1)∩H2(g1)]∩[H1(g2)∩H2(g2)]=H(g1)∩H(g2)，

從而H是E1∩E2的軟可補(bǔ)子半環(huán).

定理2.3 設(shè)E1，E2分別是可補(bǔ)半環(huán)，H1，H2分別是E1，E2的軟可補(bǔ)子半環(huán).令E=E1×E2，則軟集(H，E)=(H1，E1)∧(H2，E2)是E的軟可補(bǔ)子半環(huán).

證明 因?yàn)镋1，E2是可補(bǔ)半環(huán)，由定理1.4知E1×E2也是可補(bǔ)半環(huán).?(x，y)，(m，n)∈E，有：

H[(x，y)+(m，n)]=H(x+m，y+n)=H1(x+m)∩H2(y+n)?[H1(x)∩H1(m)]∩

[H2(y)∩H2(n)]=[H1(x)∩H2(y)]∩[H1(m)∩H2(n)]=H(x，y)∩H(m，n)，

H[(x，y)(m，n)]=H(xm，yn)=H1(xm)∩H2(yn)?[H1(x)∩H1(m)]∩[H2(y)∩

H2(n)]=[H1(x)∩H2(y)]∩[H1(m)∩H2(n)]=H(x，y)∩H(m，n)，

從而可知(H1，E1)∧(H2，E2)是E1×E2的軟可補(bǔ)子半環(huán).

定理2.4 (1)H是E的軟可補(bǔ)子半環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)AH(x)是E的可補(bǔ)子半環(huán)，?x∈X；

(2) 設(shè)A：X→P(E).則?x∈X，A(x)是E的可補(bǔ)子半環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)HA是E的軟可補(bǔ)子半環(huán).

證明 (1) 必要性.?g1，g2∈AH(x)，則x∈H(g1)且x∈H(g2)，所以x∈H(g1)∩H(g2).因?yàn)镠是E的軟可補(bǔ)子半環(huán)，

H(g1)∩H(g2)?H(g1+g2)，H(g1)∩H(g2)?H(g1g2)，

H(g1)∩H(g2)?H(g1+g2)；

H(g1)∩H(g2)?H(g1g2)；

所以H是E的軟可補(bǔ)子半環(huán).

(2) 必要性.一方面，?x∈HA(g1)∩HA(g2)，g1∈A(x)，g2∈A(x).又因?yàn)锳(x)是E的可補(bǔ)子半環(huán)，g1+g2∈A(x)，即x∈HA(g1+g2).故：

HA(g1)∩HA(g2)?HA(g1+g2)；

g1g2∈A(x).

綜上，HA是E的可補(bǔ)子半環(huán).

綜上，由定義1.7知A(x)是E的軟可補(bǔ)子半環(huán).

3 軟可補(bǔ)子半環(huán)的像與原像

定義3.1[7]設(shè)E1，E2是可補(bǔ)半環(huán)，X是初始集合.f：E1→E2是一個(gè)映射，H1：E1→P(X)和H2：E2→P(X)是軟集.定義

f-1(H2)(g1)=H2(f(g1)).

則f(H1)，f-1(H2)分別為E2，E1上的軟集，稱f(H1)為H1的像，f-1(H2)為H2的原像.

定理3.1 設(shè)E1，E2是可補(bǔ)半環(huán)，X是初始集合，f：E1→E2是一個(gè)同態(tài)映射，H1：E1→P(X)與H2：E2→P(X)為軟集.則：

(1) 若H1為E1的軟可補(bǔ)子半環(huán)，則f(H1)為E2的軟可補(bǔ)子半環(huán)；

(2) 若H2為E2的軟可補(bǔ)子半環(huán)，則f-1(H2)為E1的軟可補(bǔ)子半環(huán).

綜上，f(H1)是E2的軟可補(bǔ)子半環(huán).

綜上，f-1(H2)是E1的軟可補(bǔ)子半環(huán).

[1] ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information and Control，1965，8：338-353.

[2] PAWLAK Z.Rough sets[J].International Journal of Information Computer Science，1982，11：341-356.

[3] ASTANASSOV K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20：87-96.

[4] MOLODTSOV D.Soft set theory：first results[J].Computers and Mathematics with Applications，1999，37：19-32.

[5] AKTAS H，CAGMAN N.Soft sets and soft groups[J].Information science，2007，177：2726-2735.

[6] 楊聞起.交換可剩余半群的剩余BCI-代數(shù)[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，47：22-25.

[7] UMMAHAN ACAR，F(xiàn)ATIH KOYUNCU，BEKIR TANAY.Soft sets and soft rings[J].Computers and Mathematics with Applications，2010，11：3458-3463.

[8] 廖祖華，芮明力.軟坡[J].計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用，2012(2)：30-32.

[9] 豐建文，黃福生，石定琴.可補(bǔ)半環(huán)[J].江西科學(xué)，2005，23(3)：207-209.

[10] MAJI P K，ROY A R.Soft set theory[J].Computers Mathematics with Applications，2003，45：555-562.

[11] 溫永川.關(guān)于軟集的研究[D].遼寧：遼寧師范大學(xué)，2008.

[12] 蒲保明，劉應(yīng)明.不分明拓?fù)鋵W(xué)Ⅰ：不分明點(diǎn)的鄰近構(gòu)造與Moore-Smith式收斂[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1977(1)：31-50.

[13] 豐建文，詹棠森.可補(bǔ)半環(huán)上的同余[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2010，24(6)：61-65.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Soft complemented subsemiring

YUAN Hui-shu，YUAN Zhi-ling，KONG Xiang-zhi

(School of Science，Jiangnan University，Wuxi 213122，China)

The concept of soft complemented subsemiring is given and some basic properties of soft complemented subsemiring are obtained.Furthermore，by adopting the dual soft sets，some properties of soft complemented subsemirings and the links with its dual soft sets are founded.Finally，the image of soft complemented subsemiring is discussed，also as the preimages.

soft sets；dual soft sets；complemented subsemiring；soft complemented subsemiring

1000-1832(2016)04-0005-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.002

2015-06-14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371174，11301227)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20130119).

袁惠淑(1986—)，女，碩士，主要從事模糊代數(shù)研究；袁志玲(1974—)，女，碩士，副教授，主要從事模糊代數(shù)研究；孔祥智(1971—)，男，博士，教授，主要從事模糊代數(shù)研究.

O 153 [學(xué)科代碼] 110·44

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