信息不對稱下可分公共物品的拍賣研究

盧允照，劉樹林

(1.福州外語外貿學院經貿系，福建 福州 350202；2.對外經濟貿易大學國際經濟貿易學院，北京 100029)

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信息不對稱下可分公共物品的拍賣研究

盧允照1,2，劉樹林2

(1.福州外語外貿學院經貿系，福建 福州 350202；2.對外經濟貿易大學國際經濟貿易學院，北京 100029)

在賣者面對兩個風險厭惡的信息不對稱知情投標者和一個風險中性的不知情投標者的假設下，研究可分公共物品的拍賣機制設計問題。通過最大化賣者的期望收入，同時滿足所有投標者的理性參與約束與知情投標者的激勵相容約束，建立了最優(yōu)機制設計模型；給出了知情投標者的激勵相容約束成立的充要條件，并用來簡化了賣者的期望收入最大化問題。當不考慮隨機性的賣方期望收入最大化問題時，利用Kuhn-Tucker條件進行求解，得到對每個知情投標者都存在一個臨界值。當且僅當所報告的估價大于該值時，知情投標者可分配到一定數量拍品；同時，投標者報告的估值越高，就越能獲得更多數量的拍品。研究結果對股票或債券發(fā)行的機制設計有參考價值，這是因為它們可看做可分的具有公共價值的商品。

機制設計；風險厭惡；非對稱拍賣；可分物品；公共價值

1 引言

許多研究公共價值物品非對稱拍賣的文獻都只是研究兩個買者的情形，即假設一個是具有私人估價信息的知情買者，另一個是沒有私人估價信息的不知情買者。但是，在實踐中，往往存在多個知情買者，且不同的知情買者在估價信息的數量以及準確性方面也存在著不對稱。

關于面向非對稱買者的公共物品拍賣，比較經典的有Wilson[1]和Reichert[2]的文章，他們用一個微分方程系統(tǒng)的隱式解刻畫了相應的均衡結果；而Engelbrecht-Wiggans等[3]則對存在一個完全知情買者和一個完全不知情買者時的一級價格拍賣給出了一個均衡報價策略。這些經典的公共物品非對稱拍賣研究，主要側重于針對給定的拍賣機制，從競拍者的角度求解均衡報價結果，我們將這一領域的研究問題進一步深入到拍賣的機制設計問題。

Paul和Rajdeep[4]刻畫了知情買者間不對稱程度的大小，研究了買者之間的不對稱性對可分公共物品拍賣收入的影響，并得出買者的不對稱程度越大，越有利于增加賣者收入。在可分物品拍賣方面，Bennouri和Falconieri[5]研究了新股的最優(yōu)拍賣問題，他們利用最優(yōu)拍賣方法研究知情買者即機構投資者的風險態(tài)度對新股分配結果的影響，并指出當買賣雙方都是風險中性時，發(fā)行人的最優(yōu)選擇是將股票全部分配給散戶，當機構投資者風險厭惡時，機構投資者有可能獲得部分或全部股票。王彥和李楚霖[6]討論了非對稱情況下的多物品拍賣，即當投標人之間存在不同的預算約束時兩物品的序貫增價拍賣，對于物品之間不同的關系(互補、替代或者不相干的關系)，物品價值大小的不同及與預算大小之間的關系，在一個簡單的完全信息模型下，分不同情況討論投標人的均衡出價策略，并發(fā)現對賣方來說，先拍賣價值高的物品是弱占優(yōu)的策略。饒從軍等[7]對統(tǒng)一價格下可分物品的拍賣問題進行了研究，他們首先在買者報價連續(xù)、買者和賣者風險中立、賣者采取可變供給量的策略下，設計了一個新的基于可變供給量的可分物品統(tǒng)一價格拍賣機制，研究了其信息激勵作用和分配的有效性，給出了賣者的最佳供給策略和買者的均衡報價策略；然后，將拍賣機制推廣到風險中立、風險偏好和風險厭惡三類風險買者共存的情形，并給出了相應的均衡結論，該結論與現有的一些成果相比更具一般性。Shi Xinyan[8]研究了信息不對稱下帶保留價的公共物品靜態(tài)與動態(tài)拍賣，得到相應的最優(yōu)保留價以及其中一種拍賣形式優(yōu)于另一拍賣的條件。這一結果對于IPO時，發(fā)行人設置最優(yōu)保留價以及選擇一次詢價或兩階段詢價的定價形式，具有一定參考作用。Liu Heng[9]考慮在面向兩個投標人的公共價值物品的第二價格拍賣時的均衡選擇問題，并得到對連續(xù)且非占優(yōu)策略的每個均衡，都可以構造一個序列的“幾乎公共價值”物品拍賣，使得每一個拍賣都有一個唯一的非占優(yōu)連續(xù)均衡且相應的均衡序列收斂于之前那個事后均衡。Einy等[10]研究面對兩個有預算約束的信息不對稱知情投標者的公共價值物品全支付拍賣并指出在這種拍賣環(huán)境下，充分高的競價上限不能改變相對于沒有上限的基準拍賣的投標者的期望收益。Liu Heng[9]和Einy等[10]研究公共價值物品拍賣都是從投標者的期望收益角度考慮，本文認為通常賣者才是拍賣市場的主導力量與規(guī)則制定者，所以我們從賣者的期望收益研究最優(yōu)拍賣機制的設計。

綜上，我們發(fā)現，針對可分公共物品，同時面向風險厭惡的信息不對稱知情競拍者與風險中性的不知情競拍者的最優(yōu)拍賣機制設計問題，還鮮有研究。而事實上，這樣的研究情景設定，在真實的拍賣或類拍賣市場上是很常見的。比如在IPO(首次公開發(fā)行)市場，根據中國證監(jiān)會2013年11月發(fā)布的《關于進一步推進新股發(fā)行體制改革的意見》，我國采取的是一種類似拍賣的詢價機制，發(fā)行人具有新股定價與自主配售權，發(fā)行人根據機構投資者以及承銷商認定的符合資質的個人投資者報告的新股申購價格與數量，決定新股的定價水平與配售數量。由于發(fā)行人擬募集的新股數量通常都在數千萬到數十億不等，所以如果把所有新股看成一個整體，顯然可以將IPO近似看成一個可分物品的拍賣過程。同時，可以把參與新股申購的公募基金和全國性大型券商等機構投資者視為具有信息優(yōu)勢的知情買者，把私募基金和區(qū)域性小型券商等機構投資者視為處于信息劣勢的知情買者，把個人投資者視為不知情買者；而機構投資者相對理性，可以認為他們是風險厭惡的；個人投資者往往缺乏理性，對待風險的態(tài)度通常顯得中性一些。另外在國債拍賣以及并購等其它金融領域，也不難發(fā)現符合我們研究的情景設定。

基于Myerson[11]的機制設計研究框架，本文主要研究可分公共物品的非對稱拍賣機制設計問題。賣者面對兩個風險厭惡的具有私人估值信息的不對稱投標者和一個沒有私人信息的不知情投標者，根據知情投標者報告的估價，確定最優(yōu)的物品分配與支付規(guī)則使得拍賣收入最大化。本文的工作主要拓展了Paul和Rajdeep[4]的不對稱拍賣模型，假設知情買者是風險厭惡的并引入沒有私人信息的不知情買者，在此基礎上分析最優(yōu)拍賣問題。而關鍵的風險厭惡型效用函數則采用了Bennouri和Falconieri[5]中的形式。

2 模型假設

我們將知情投標者看成拍賣市場上的具有較強實力的買者，他們無論在資金實力還是信息獲取等能力上都強于不知情投標者，而具有公共價值的拍品的市場價格，主要受知情投標者的估價的影響。注意，此處的市場價格不同于投標者的最終支付價。投標者的支付價格仍然由賣方決定；拍賣結束后，物品的市場價值由知情投標者的估價確定。比如IPO時，打新的投資者支付價是由發(fā)行人和承銷商確定的發(fā)行價；新股上市后的市場價格的形成可以認為主要是參考機構投資者的估價。

拍品的市場價值v是兩知情投標者估值的加權平均，即v=w1s1+w2s2，其中 w1+w2=1，0

當w1

Var(v|s2)=w12Var(s1)

即基于信號s2得到的估值的方差小于基于信號s1得到的估值的方差，可認為強知情投資者2的估值比弱知情投資者1的估價精確度更高。

假設知情投標者是風險厭惡的，其效用函數采用Bennouri和Falconieri[5]中的形式：

(1)

其中qi為知情投標者i分配到的拍品數量，pi為相應的支付，v為拍品價值。顯然Ui關于拍品數量qi是凹的，從而知情投標者關于拍品數量是風險規(guī)避的，這與經濟學里消費者關于商品的邊際效用遞減的假設是一致的，同時知情投標者以機構買家為主，投標也相對理性，風險偏好較低；同時，Ui關于貨幣支付pi是風險中性即線性的，這樣的假設在拍賣文獻里是很常見的(Cremer和Mclean[12])。

不知情投標者和賣方都是風險中性的。不知情投標者以個人買家為主，風險偏好相對較高；賣方預期獲得貨幣收入，對貨幣收入的風險中性態(tài)度與知情投標者是一致的。

拍品價值信號的分布及市場價值的構成是公共信息。賣方具有對拍品的分配權。賣方根據知情投標者報告的估價信號，確定所有投標者的拍品分配數量及相應的支付金額，使得拍賣收入最大化。

3 模型分析

賣方根據知情投標者報告的估值信號，確定分配給所有投標者的物品數量以及收取相應的支付金額。根據顯示原理，我們只需關注直接機制即可，即只考慮投標者的真實信號。給定兩個知情投標者報告的真實信號s=(s1,s2)，設qi(s1,s2)和qr(s1,s2)分別為知情投標者i和不知情投標者獲得的拍品數量，pi(s1,s2)和pr(s1,s2)為相應的支付。從而知情投標者i的期望分配數量是：

(2)

(3)

當i如實報告信號時的期望收益為：

(4)

不知情投標者的期望收益為：

(5)

最優(yōu)機制設計要求能滿足知情投標者的理性約束IRi：

Vi(si)=Ui(si|si)≥0

(6)

與激勵相容約束IC：

(7)

還應滿足不知情投標者的理性約束IRr：

EUr(si,sj)≥0

(8)

賣方的期望收益為：

(9)

顯然拍品分配機制還應是可行的FC:

(10)

則我們的最優(yōu)機制設計問題可表述為：

(11)

將(3)式代入上式，并整理可得：

再將v(s1+s2)=w1s1+w2s2代入，可進一步化簡為：

(必要性)首先，我們有：

性質2：賣方的期望收入最大化問題可化簡為：

(12)

證明：首先，賣方為了使得拍賣收入最大化，將不會保留物品，從而約束(10)是緊的：

同時，對于沒有估值信息的不知情投標者，賣方會將支付定在使得不知情投標者期望收益為零的水平上，即約束(8)也是緊的，從而不知情投標者的期望支付為：

(13)

根據(4)式，知情投標者i的期望支付可寫為：

(14)

又根據性質1，Vi(si)可寫為：

(15)

(16)

從而有：

(17)

交換積分次序得：

(18)

其中：

所以：

將上式代入(14)式得：

(19)

對于性質2的最優(yōu)化問題，由于隨機性的存在，使得求解較為復雜，且沒有常規(guī)的解析解。我們按照文獻[5]的處理方法，考慮放松情形，即拋去問題的隨機性，在每一個信號組合處，求解最優(yōu)的分配方案，使得收入最大，即得到最優(yōu)化問題(12)的非隨機形式：

從而我們有以下最優(yōu)分配與支付機制：

其中s=(s1，s2)

證明：首先，問題顯然等價于：

(20)

對于以上最優(yōu)化問題的分配方案，可做如下分析。首先，(20)式的Lagrange函數為：

(21)

從而可得Kuhn-Tucker條件：

(22)

其中λi(s),θ(s)≥0為相應的Kuhn-Tucker乘子。

(23)

成立的一個充分條件是hi(s)>0，即：

所以有

解得：

4 結語

通常的投標者分類是按照是否擁有關于拍品的估值信息分為知情投標者和不知情投標者。但事實上，知情投標者由于獲取信息的能力不同等因素，還可以按照對物品估價信息的數量與準確性不同分為強知情投標者與弱知情投標者。本文從機制設計的角度研究最優(yōu)的具有公共價值的可分物品非對稱拍賣機制，即賣方根據不對稱知情投標者報告的估值信息確定分配給知情投標者和不知情投標者的拍品數量。本文假設物品的價值是由知情投標者的估價構成的，而我們認為知情投標者是非對稱的，其表現形式之一是知情投標者的估價在拍品的市場估值中權重是不相等的，從而賣方在設計最優(yōu)的物品分配機制時必須考慮這一因素。這一現象導致了兩知情投標者雖然擁有相同的估值分布，但他們獲得拍品的概率卻是不一樣的，強知情投標者想要獲得拍品，需要比弱知情投標者報告更高的估價，而強知情投標者的估價在拍品市場價格構成當中有更高的權重，更有利于增加賣者的收入。

如Bennouri和Falonieri[5]，Shi Xinyan[8]研究指出，當所有投標者都是風險中性時，賣方傾向于將所有物品都分配給不知情投標者，從而占有知情投標者所有的信息租金。本文指出當知情投標者是風險厭惡的，并且服從某一特定的風險厭惡效用函數時，原有分配機制得到根本轉變，此時，由于知情投標者的不對稱性，他們面臨著不同的報告臨界值，當報告值大于這一臨界值時，可獲得一定數量物品，否則將不會得到任何物品。

不同于過往文獻只側重討論信息不對稱下的拍賣問題[1,4,8,10]或者只是關注不同風險態(tài)度對機制設計結果的影響[2,5,12]，本文將符合典型機構投資者風險態(tài)度的特定風險厭惡函數引入包含兩個信息不對稱知情投標者和一個不知情投標者的可分公共物品拍賣機制研究，并得到最優(yōu)的分配與支付規(guī)則。在本文中，無論是拍品的可分與公共價值屬性，還是投標者的風險態(tài)度，或者三類投標者的不同信息結構，都比較符合新股發(fā)行和國債拍賣等金融市場，這使得本文的研究在相應的領域具備一定的理論價值。

[1] Wilson R. Competitive bidding with asymmetrical information [J]. Management Science, 1967, 13(11): 816-820.

[2] Reichert A O. Models for competitive bidding under uncertainty [D].California,U.S.:Department of Operations Research, Stanford University,1968.

[3] Engelbrecht-Wiggans R, Milgrom P, Weber R. Competitive bidding and proprietary information [J]. Journal of Mathematical Economics, 1983,11(2): 161-169.

[4] Paul P,Rajdeep S. Using bidder asymmetry to increase seller revenue[J]. Economics Letters, 2004,84(1): 17-20.

[5] Bennouri M, Falconieri S. The optimality of uniform pricing in IPOs: An optimal auction approach [J]. Review of Finance, 2008, 12(4), 673-700.

[6] 王彥，李楚霖. 非對稱情況下的多物品拍賣 [J]. 中國管理科學，2003, 12(06)：61-65.

[7] 饒從軍，趙勇，王清. 基于可變供給量的可分離物品拍賣及其應用[J]. 中國管理科學. 2012,20(01): 129-138.

[8] Shi Xinyan. Common-value auctions with asymmetrically informed bidders and reserve price[J]. International Journal of Economic Theory,2013, 9(2):161-175.

[9] Liu Heng. Equilibrium selection in common-value second-price auctions[J]. Games and Economic Behavior，2014, 84:1-6.

[10] Einy E, Haimanko O,Orzach R,et al. Common-value all-pay auctions with asymmetric information and bid caps [R]. Working Paper,Ben-Gurion University the-Negeu.

[11] Myerson R B. Optimal auction design [J]. Mathematics of operations research, 1981, 6(1): 58-73 .

[12] Cremer J, McLean R P. Full extraction of the surplus in Bayesian and dominant strategy auctions [J]. Econometrica, 1988, 56(6):1247-1257.

Asymmetric Auction of Divisible and Common-value Goods

LU Yun-zhao1,2, LIU Shu-lin2

(1.Opening Economy and Trade Research Center,Fuzhou College of Foreign Strdies and Trade,Fuzhou 350202,China;2.School of International Trade and Economics, University of International Business and Economics, Beijing 100029, China)

In this paper problem of optimal auction design of selling a divisible common-value object under an assumption that the seller faces two asymmetrically informed risk-averse bidders and one uninformed risk-neutral bidder is analyzed. The optimal mechanism design model is established for maximizing seller’s expected revenue under all bidders’ rational participation constraints and informed bidders’ incentive compatibility constraints . The necessary and sufficient condition for the informed bidders’ incentive compatibility constraints to be satisfied is given used and to simplify the seller’s expected revenue maximization problem. The seller’s revenue maximization problem is solved by ignoring its randomness and find that the seller allocates some goods to the informed bidder if and only if his reported value is higher than a particular threshold; the higher the reported value by the informed bidders is, the more goods will be allocated to him. Our research results can provide some suggestions for mechanism design for stock or bond issuance because the shares and bonds can be seen divisible and common-valued goods.

mechanism design; risk aversion; asymmetric auction; divisible goods; common value

1003-207(2016)03-0141-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.03.017

2014-03-26；

2015-03-17

簡介：劉樹林(1964-)，男(漢族)，內蒙古人，對外經濟貿易大學國際經濟貿易學院，教授，博士生導師， 系主任，研究方向：應用數理經濟學、招投標與拍賣理論及其在經貿與金融領域的應用、應用博弈論和多準則決策理論與應用的研究,E-mail:slliu@uibe.edu.cn.

F724.59

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