把握定理特點(diǎn) 感受公式之美

丁有剛

二項(xiàng)式定理是安排在排列組合后的一個內(nèi)容，其形成過程是組合知識的應(yīng)用，同時也是自成體系的知識塊，為后續(xù)課程中的某些內(nèi)容也起到一定的鋪墊作用. 本文對二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用進(jìn)行剖析，進(jìn)一步加深大家對定理的認(rèn)識和理解，從而達(dá)到靈活應(yīng)用定理解決有關(guān)問題之目的.

研究定理、體會美感

1. 記定理

（1）二項(xiàng)式定理：[（a+b）x=C0nan+C1nan-1b+…][+Crnan-rbr+…+Cnnbn]，其中右端為[（a+b）n]的展開式.

（2）常用結(jié)論：

[（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Crnxr+…+Cnnxn.]

[（1-x）n=C0n-C1nx+C2nx2-…+Crn（-x）r+…+（-1）nCnnxn.]

2. 識通項(xiàng)

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即[（a+b）n]展開式中的第[r+1]項(xiàng)：[Tr+1=Crnan-rbr（0≤r≤n，r∈N）.]

3. 認(rèn)系數(shù)

二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)依次為[C0n，C1n，C2n，…，Cnn.]

4. 探性質(zhì)

（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即[Cmn=Cn-mn].

（2）增減性：當(dāng)[rn+12] （[n∈N*]）時，二項(xiàng)式系數(shù)遞減.

（3）最大值：當(dāng)[n]是偶數(shù)時，中間項(xiàng)是第[n2+1]項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)[Cn2n]最大；當(dāng)[n]是奇數(shù)時，中間項(xiàng)有兩項(xiàng)，即第[n+12]項(xiàng)和第[n+12+1]項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且[Cn-12n=Cn+12n].

（4）系數(shù)和：

[C0n+C1n+…+Cnn=2n.]

[C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1].

5. 研形式

二項(xiàng)式定理形式簡潔優(yōu)美，語言表達(dá)精煉.

（1）項(xiàng)數(shù)：項(xiàng)數(shù)為[n+1].

（2）各項(xiàng)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)[n]，即[a]與[b]的指數(shù)的和為[n].

（3）字母排列：字母[a]按降冪排列；字母[b]按升冪排列.

（4）字母次數(shù)：從第一項(xiàng)開始，字母[a]的次數(shù)由[n]逐項(xiàng)減小1直到零，字母[b]的次數(shù)由零逐項(xiàng)增加[1]直到[n].

6. 辨異同

在[Tr+1=Crnan-rbr（0≤r≤n，r∈N）]中，[Crn]是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，它與該項(xiàng)的系數(shù)是兩個不同的概念. 前者是指[Crn]，只與[n]和[r]有關(guān)，且恒為正數(shù)；后者不僅與[n]和[r]有關(guān)，其值還與[a，b]有關(guān)，可正可負(fù).

應(yīng)用定理、體驗(yàn)收獲

1. 逆用定理

例1 [C1n+C2n?6+C3n?62+…+Cnn?6n-1= .]

解析 ∵[（1+6）n=C0n+C1n?6+C2n?62+…+Cnn?6n]，

[∴C1n+C2n?6+C3n?62+…+Cnn?6n-1=16（C1n?6+C2n?62+…+Cnn?6n）]

[=16（C0n+C1n?6+C2n?62+…+Cnn?6n-1）=16[（1+6）n-1]=16（7n-1）.]

點(diǎn)撥 根據(jù)題設(shè)形式，結(jié)合二項(xiàng)式定理，我們構(gòu)造[（1+6）n=C0n+C1n?6+C2n?62+C3n?63+…+Cnn?6n]，通過變形，逐步消除與題設(shè)形式的差異，從而得以逆用二項(xiàng)式定理求解.

2. 活用通項(xiàng)

例2 在二項(xiàng)式[（1x4+x23）n]的展開式中倒數(shù)第[3]項(xiàng)的系數(shù)為[45]，求含有[x3]的項(xiàng)的系數(shù).

解析 由條件知，[Cn-2n=45]，即[C2n=45]，解得，[n=10]，或[n=-9]（舍去）.

由題意得，[Tr+1=Cr10（x-14）10-r（x23）r=Cr10x-10-r4+23r].

令[-10-r4+23r=3]，∴[r=6].

故含有[x3]的項(xiàng)是第[7]項(xiàng)，[T6+1=C610x3=210x3]，其系數(shù)為[210].

點(diǎn)撥 此例為求某項(xiàng)的系數(shù)問題，先由題意求出[n]是解題的突破口，進(jìn)而利用通項(xiàng)公式求出[r]，最終再利用通項(xiàng)公式求得結(jié)果. 這里的二項(xiàng)式系數(shù)和通項(xiàng)公式是二項(xiàng)式定理的核心元素，應(yīng)熟練掌握，并能靈活應(yīng)用. 注意，在求解進(jìn)程中，應(yīng)先將根式化為指數(shù)式，以方便運(yùn)算.

例3 求二項(xiàng)式[（x2+12x）10]的展開式中的常數(shù)項(xiàng).

解析 由題意得，

[Tr+1=Cr10（x2）10-r（12x）r=Cr10（12）rx20-52r].

令[20-52r=0]，則[r=8].

所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第九項(xiàng)，

[T9=C810（12）8=45256].

點(diǎn)撥 此例是求常數(shù)項(xiàng)問題. 在通項(xiàng)公式中令[x]的指數(shù)為0，則該項(xiàng)就變?yōu)榱顺?shù)項(xiàng)，由此求得[r=8]，也就自然求出了常數(shù)項(xiàng).

例4 求二項(xiàng)式[（x-x3）9]展開式中的有理項(xiàng).

解析 由題意得，

[Tr+1=Cr9（x12）9-r（-x13）r=（-1）rCr9x27-r6].

令[27-r6∈Z]（[0≤r≤9]），則[r=3]，或[r=9].

當(dāng)[r=3]時，[27-r6=4]，[T4=（-1）3C39x4=-84x4].

當(dāng)[r=9]時，[27-r6=3]，[T10=（-1）9C99x3=-x3].

所以，展開式中的有理項(xiàng)為[-84x4]，[-x3].

點(diǎn)撥 對于求有理項(xiàng)問題，應(yīng)先得出通項(xiàng)公式，整理后使[x]的指數(shù)為整數(shù)即可. 求解過程中，要注意討論或驗(yàn)證，防止出錯.

3. 巧用二項(xiàng)式系數(shù)特點(diǎn)或性質(zhì)

例5 若[（x2+1x3）n]展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為[-256]，求[n].

解析 設(shè)[（x2+1x3）n]展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次為[a0，a1，???an，]

[令x=-1]，則有[a0-a1+a2-a3+???+（-1）nan=0] ①.

[令x=1]，則有[a0+a1+???+an=2n] ②.

①-②得，[2（a1+a3+a5+???）=2n].

[∴a1+a3+a5+???=2n-1].

由題意得，[2n-1=256=28]，[∴n=9].

點(diǎn)撥 本題是利用“奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和”這一性質(zhì)求解的，解題過程中用到了“賦值法”，此法是二項(xiàng)式定理中的一種重要方法，應(yīng)熟練掌握，靈活應(yīng)用.

例6 已知[（12+2x）n]，若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù).

解析 由題意，[∵C4n+C6n=2C5n，][∴n2-21n+98=0.]

∴[n=7， 或n=14].

當(dāng)[n=7]時，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是[T4]和[T5]，[T4]的系數(shù)為[C37（12）423=352]，[T5]的系數(shù)為[C47（12）324=70].

當(dāng)[n=14]時，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是[T8]，[T8]項(xiàng)的系數(shù)為[C714（12）727=3432].

點(diǎn)撥 利用等差數(shù)列，求出[n=7或n=14]是解題的前提，然后利用“中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大”的性質(zhì)求解. 解題過程中，要注意“二項(xiàng)式系數(shù)”與“某一項(xiàng)的系數(shù)”的區(qū)別.