案例教學在大學?？茢?shù)學建模教學中的應(yīng)用

郭 輝，屈 哲，鄭 虹

(青島濱海學院，山東 青島 266555)

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案例教學在大學專科數(shù)學建模教學中的應(yīng)用

郭 輝，屈 哲，鄭 虹

(青島濱海學院，山東 青島 266555)

圍繞實現(xiàn)大學?？茖哟螌W生的培養(yǎng)目標，以運籌學中的加工方式選擇問題為教學案例，通過將案例教學法具體運用到該問題的準備、分析、討論、歸納總結(jié)等各教學階段，論證了案例教學在大學?？茢?shù)學建模教學中的必要性、可行性、有效性問題。

案例教學；數(shù)學建模；?？?；線性規(guī)劃

一、案例與案例教學

案例就是為實現(xiàn)一定的教學目的，以事實為素材編寫的對某一實際情境的客觀描述。案例通常具有真實性、完整性、典型性和啟發(fā)性等特點。教學中所選擇的案例應(yīng)該能夠引人深思，啟迪思路，幫助學生深化理解教學內(nèi)容[1]。

案例教學，即教育者以案例為基本教學材料，通過師生之間、學生之間的多向互動、平等對話和積極研討等形式，通過分析解決案例所設(shè)定的問題，做出決策的一種教學方法。案例教學不僅強調(diào)教師的“教”(引導(dǎo))，更強調(diào)學生的“學”(研討)，主要特點包括：(1)明確的目的性，即在案例教學中，案例的編寫和教學設(shè)計，都為了實現(xiàn)特定的教學目標；(2)結(jié)果多元性，即案例教學不刻意尋找惟一答案，但可從多種解答中選出最佳答案；(3)學生的主體地位，在案例教學中，學生是案例教學的主體，教師的職責是精心編寫案例，指導(dǎo)課堂討論，學生在教師的指導(dǎo)下，積極參與到案例所描述的情境中，充分體驗案例角色，對案例進行分析、討論，在此過程中相互學習提高；(4)較強的綜合性，案例的分析需要學生具備相應(yīng)的理論知識，還應(yīng)審時度勢、權(quán)衡應(yīng)變、果斷決策，需要學生綜合運用各種知識和交流技巧來處理案例中涉及的問題，提高分析和解決實際問題的能力[2]。

二、大學?？茢?shù)學建模課程的教學規(guī)劃

(一)大學專科教育培養(yǎng)目標

大學?？平逃俏覈叩冉逃闹匾M成部分，其培養(yǎng)目標和對象不同于普通本科教育，目標是培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新精神，對象是面向生產(chǎn)和服務(wù)一線崗位所需要的技術(shù)技能型人才。這類人才主要從事技術(shù)性管理或高智能技術(shù)操作或技術(shù)服務(wù)，其知識能力結(jié)構(gòu)特點是:專業(yè)技術(shù)知識面寬、實踐能力強。

(二)數(shù)學建模在大學專科教育體系中的作用

數(shù)學作為大學?？浦匾幕A(chǔ)課程，不僅能夠培養(yǎng)和提高學生的邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力，而且在培養(yǎng)學生科學理性精神方面也發(fā)揮重要作用，同時還是學生學習專業(yè)課程的基礎(chǔ)，在人才培養(yǎng)過程中起基礎(chǔ)性作用。但目前大學?？茢?shù)學教學存在著理念落后、學生學習的積極性不足、數(shù)學應(yīng)用能力較低等問題，這些問題制約著大學專科學生培養(yǎng)目標的實現(xiàn)，根據(jù)《中共中央國務(wù)院關(guān)于深化教育改革全面推進素質(zhì)教育的決定》，大學專科數(shù)學教學改革應(yīng)該體現(xiàn)創(chuàng)新能力培養(yǎng)的總目標，體現(xiàn)學生邏輯思維、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，教學應(yīng)由“教師為中心”向“教師為主導(dǎo)，學生為主體”轉(zhuǎn)變。而作為聯(lián)系數(shù)學理論和實際問題橋梁作用的數(shù)學建模教學正好適應(yīng)了這一要求，體現(xiàn)了大學?？茢?shù)學教學應(yīng)該注重應(yīng)用性的特點，所以大學?？茖W生學習數(shù)學建模就成為數(shù)學教學改革的重要抓手。

(三)大學?？茢?shù)學建模教學應(yīng)堅持案例教學

數(shù)學建模采取案例教學就是在教師的引導(dǎo)下，學生通過對實際案例的分析與討論，系統(tǒng)地運用數(shù)學方法綜合分析和解決實際問題，把學生從課堂的被動位置推到主動位置上，學生通過對實際問題分析、討論和比較，尋求解決問題的最佳方案，這種教學方法有利于調(diào)動學生的主動性和積極性，較好地解決理論聯(lián)系實際問題。數(shù)學建模教學強調(diào)對實際問題的分析和討論，要求學生從不同立場、不同角度分析問題，注重問題的解決過程和解決方法，特別強調(diào)學生團隊合作意識和創(chuàng)新能力[3]。這一過程體現(xiàn)了應(yīng)用型人才的培養(yǎng)要求，與大學專科教育培養(yǎng)目標一致，因此，在大學?？茢?shù)學建模教學應(yīng)堅持案例教學法。

三、數(shù)學建模課程案例教學實施方案

數(shù)學建模課程案例教學實施方案大致可分為準備階段、分析階段、討論階段和總結(jié)階段[4]，案例教學實施流程如圖1所示。本部分通過以運籌學中線性規(guī)劃模型中的加工方式選擇問題為例，論證數(shù)學建模采取案例教學的實施方案。

圖1 案例教學實施流程

(一)準備階段

準備階段是順利實施數(shù)學建模案例教學的重要保證，為了培養(yǎng)學生掌握線性規(guī)劃的理論和方法，教師根據(jù)培養(yǎng)目標和教學課程標準編寫如下實際案例：某企業(yè)計劃生產(chǎn)4000件A產(chǎn)品，該產(chǎn)品可以自己加工，也可以外協(xié)加工，生產(chǎn)的固定成本、單件成本每種生產(chǎn)形式的最大加工數(shù)量等具體要求如表1所示，針對這一生產(chǎn)過程，該企業(yè)怎樣安排產(chǎn)品加工，才會使生產(chǎn)總成本最小。這一教學案例實際上就是為培養(yǎng)學生掌握“加工方式選擇問題”而設(shè)計的[5]。為實現(xiàn)教學目的，教師應(yīng)首先進行教學設(shè)計，明確案例教學目標、教學過程和教學手段，然后確定案例教學的重點和難點，最后擬定具體的案例教學計劃，明確學生需要在課前查閱的運籌學相關(guān)知識，理解線性規(guī)劃模型解決問題的范圍和方案，掌握加工方式選擇這類問題特點及其所需的建模方法，要求學生在課前準備期間掌握Lingo，Matlab等相關(guān)數(shù)學軟件在運籌學中的運用等，再根據(jù)學生的課前準備情況進行合理分組。

表1 企業(yè)產(chǎn)品加工具體要求

(二)案例分析階段

作為案例教學的組織者，教師在該階段需全面分析案例教學本身的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，把握案例中的重點、難點和關(guān)鍵點，以便處理課堂討論的時間分配、提示程度等問題；確定案例涉及的基本原理，引導(dǎo)學生在思考和討論案例時學習運用相應(yīng)的理論與方法。案例教學還需教師剖析案例所蘊含的深層次的教育價值，明確各個案例之間的教學聯(lián)系，將《數(shù)學建?！氛T課的教學作為一個整體通盤考慮，從而使案例教學克服就事論事、各個案例的教學支離破碎的弊端。

具體到每一次案例教學，教師需要從學生的課前準備情況和案例內(nèi)容兩個方面進行深入分析，根據(jù)培養(yǎng)目標對所編寫的教學案例寫出細致而全面的案例分析提綱，這樣教師可以有效地調(diào)控整個教學過程，為教學過程中對學生進行及時引導(dǎo)與評價提供依據(jù)。在案例分析過程中教師應(yīng)掌握各分組不同學生的知識儲備情況，根據(jù)對學生的分析進一步優(yōu)化學生分組，使各分組都組成最佳組合，分組確定后，各小組需對案例的解決方案進行深入分析，教師可根據(jù)學生的分析情況進行適當?shù)囊龑?dǎo)，將可能出現(xiàn)的根本性錯誤及時予以糾正，將學生沒有掌握的必要性知識點進行啟發(fā)性講解，比如針對加工方式選擇問題，各小組在分析固定成本與生產(chǎn)方式的關(guān)系問題時，對于變量表示等技巧性問題，若學生運用不恰當，教師需采取啟發(fā)教學法給予必要的提示，例如根據(jù)案例所設(shè)定的條件，某一種生產(chǎn)方式可以被采用，也可以不被采用，若該種生產(chǎn)方式被采用，其固定成本才產(chǎn)生費用，否則就不產(chǎn)生費用，固定成本與生產(chǎn)方式的這種關(guān)系應(yīng)該采用0-1變量來表示[6]，否則最優(yōu)的數(shù)學模型將難以建立，具體可設(shè)第j(j=1,2,3) 種生產(chǎn)方式的產(chǎn)品數(shù)量為xj件，令：

中j=1,2,3

由此可得第j種生產(chǎn)方式的費用可表示為：

cj=ajy1+cjxj

式中aj是固定成本，cj單位產(chǎn)品成本。

(三)案例討論階段

在數(shù)學建模案例教學中，教師和學生在對案例進行分析之后，就進入了組織討論階段，案例討論是案例教學的主體和中心環(huán)節(jié)。案例討論就是以學生為主體，充分發(fā)揮學生的主體性、積極性和創(chuàng)造性，讓學生自主地、獨立地深入思考，運用所學的知識分析與處理案例所涉及的問題，在數(shù)學建模案例教學中，可先進行小組討論后進行班級討論。小組討論在個人分析的基礎(chǔ)上，小組成員集體對案例進行細致、深入、全面地討論，對解決問題的多種選擇方案的取舍、利弊及其后果進行重點討論，小組成員之間相互交流，每位學生都積極發(fā)言、參與討論，然后各小組寫出全面詳細的分析報告，進行全班討論。班級討論需要由每個小組選派一名代表做中心發(fā)言，向全班同學陳述本小組的案例分析報告，主要包括對案例的理解、分析、判斷、論證和決策過程，解決問題的實施方案和步驟說明，并對實施效果進行分析，小組其他同學進行補充，各小組都匯報完各自的工作后，教師組織全體學生對各小組的工作進行分析、討論、評價，最佳結(jié)果往往是在激烈地爭論和反復(fù)交流中逐步得到。

對于加工方式選擇這一教學案例，在確定生產(chǎn)方式的費用核算這一關(guān)鍵點后，就需要通過討論進一步明確實現(xiàn)總成本最低的約束條件，產(chǎn)品總數(shù)量約束為：x1≤1500,x2≤2000，yj和xj的關(guān)系線性化為：xj≤Myj，j=1,2,3，其中M是一很大的常數(shù)，此處可取為4000。當xj>0時，yj=1，xj=0時，為使總成本f最小，則yj=0；變量約束為：xj≥0，且為整數(shù)，j=1，2，3。

確定約束條件后，總成本的目標函數(shù)應(yīng)設(shè)為：

f=(500y1+8x1)+(800y2+5x2)+(600y3+7x3)

至此初步建立起了該案例的數(shù)學模型，由于決策變量既有0-1變量又有整數(shù)變量，所以可用混合線性規(guī)劃最終建立該案例的數(shù)學模型[7]，根據(jù)最終的討論結(jié)果，建立混合線性規(guī)劃模型為：

f=(500y1+8x1)+(800y2+5x2)+(600y3+7x3)

圖2 案例教學實施流程

圖3 Lingo求解結(jié)果

圖4 求解結(jié)果的總結(jié)分析

數(shù)學模型成功建立后，需要運用數(shù)學軟件進行求解，各小組所采用的數(shù)學軟件可能不同，通過對各種數(shù)學軟件的優(yōu)缺點進行比較，由于Lingo軟件作為求解線性規(guī)劃問題的專業(yè)軟件，比Matlab簡潔實用[8]，易于學生理解掌握，所以可以選用Lingo軟件對該案例模型進行求解，根據(jù)所建立的數(shù)學模型編寫的Lingo計算程序如圖2所示，求解結(jié)果如圖3所示，對求解結(jié)果的總結(jié)分析如圖4所示。

根據(jù)對Lingo軟件的運行結(jié)果分析可得，為使總成本最小，企業(yè)對該批產(chǎn)品的最優(yōu)加工方案：采用外協(xié)加工Ⅰ加工2000件，采用外協(xié)加工Ⅱ加工2000件，不采用本企業(yè)的加工方式，總成本最低為25400元。

案例討論是案例教學的主要形式，在這一過程中，教師不再是傳統(tǒng)的課程內(nèi)容的講授者，而要成為案例討論的組織者和引導(dǎo)者，學生也不再是傳統(tǒng)意義上的學習者，而是積極的參與者和分享者，不斷在交流中吸取他人的成功理念，提高自己分析問題解決問題的能力[9]。案例討論的有效進行，依賴于教師和學生角色的成功轉(zhuǎn)化和有效引導(dǎo)和參與。

(四)案例教學歸納總結(jié)

在教師的積極引導(dǎo)下，經(jīng)過全班同學的激烈討論，得到案例的最優(yōu)解決方案，教師需根據(jù)該最優(yōu)解決方案，結(jié)合學生對案例分析和交流的情況做出歸納和總結(jié)，總結(jié)教學中選擇的案例是否符合大學專科教育培養(yǎng)目標，是否符合教學設(shè)計要求，是否可以提高學生分析問題解決問題的能力，案例教學在課前準備、分析、討論、歸納總結(jié)等各階段的組織是否恰當，教學的重點和難點是否突出，對教學實施的安排是否與教學設(shè)計相符，案例教學是否達到了預(yù)期目的等等，通過歸納和總結(jié)本次案例教學的經(jīng)驗教訓(xùn)為下一次案例教學積累成功經(jīng)驗。

結(jié)語

為提高大學?？茖哟螌W生的數(shù)學應(yīng)用能力，實現(xiàn)其培養(yǎng)目標，通過在運籌學的“加工方式選擇問題”中運用案例教學法，論證了案例教學在大學專科數(shù)學建模教學中是非常必要、可行和有效的，研究表明數(shù)學建模采取案例教學符合應(yīng)用型人才的培養(yǎng)要求，能夠顯著提高學生分析和解決實際問題的能力，強化學生的實踐能力，培養(yǎng)學生的團隊意識和創(chuàng)新精神，可以作為實現(xiàn)大學?？茖W生培養(yǎng)目標的一種教學手段。

[1] 吳云鵬. 教育學案例教學教程[M].上海：華東師范大學出版社, 2015.

[2] 皮修平，周镕基. 經(jīng)濟學綜合案例教學[M].北京：中國人民大學出版社,2010.

[3] 高振濱，沈繼紅. 案例教學法在數(shù)學建模中的應(yīng)用[J]. 教育探索,2011,(5):65-66.

[4] 張 兵. 案例教學在運籌學教學中的運用[J].徐州教育學院學報,2008,(3):153-154.

[5] 郭培俊, 毛海舟. 高職數(shù)學建模[M].杭州：浙江大學出版社,2010.

[6] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型[M].北京：高等教育出版社,2003.

[7] 袁新生，邵大宏，郁時煉. lingo和excel在數(shù)學建模中的應(yīng)用[M].北京：科學出版社,2007.

[8] 郭景石. 高職數(shù)學教育改革中的數(shù)學建模[J].教育與職業(yè),2011,(26):97-98.

[9] 陳照輝. 以數(shù)學建模分析為基礎(chǔ)的運籌學案例教學[J].重慶科技學院學報：社會科學版,2011,(23):170-171.

(責任編輯：高 曼)

10.3969/j.issn.1009-2080.2016.06.023

2016-11-09

青島濱海學院教學改革研究項目(2014J10)。

郭輝(1971-)，男，山東青島人，青島濱海學院講師，碩士。

G642.4

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1009-2080(2016)06-0101-04