帶有耗散項的KdV-BO方程解的適定性研究

孫海霞，王虎生，楊 晗，馬 宇

(西南交通大學數(shù)學學院，四川 成都 611756)

帶有耗散項的KdV-BO方程解的適定性研究

孫海霞，王虎生，楊 晗，馬 宇

(西南交通大學數(shù)學學院，四川 成都 611756)

研究帶有一般耗散項的KdV-BO方程的柯西問題.KdV-BO方程是描述長波在深槽雙流體系統(tǒng)中傳播的模型，該流體系統(tǒng)中的低層流體是具有很大密度，交界面處有毛細現(xiàn)象.首先，本文借助半群和壓縮映像原理得到了方程柯西問題的局部適定性.其次，基于能量積分估計，對滿足一定條件的耗散項，得到方程的整體適定性，最后，文章研究了方程解的指數(shù)衰減性.

KdV-BO方程；耗散項；適定性；衰減性

1 引言

本文研究帶有耗散項Lγ(u)的KdV-BO方程的柯西問題

其中阻尼算子Lγ(u)是由如下的傅里葉變換算子給定

這里γ(ξ)＞0，ξ∈R，且滿足如下性質(zhì)

首先我們來回顧經(jīng)典的KdV-BO方程的柯西問題

的已有研究結果，其中α，β為常數(shù)，且滿足αβ≠0，H為Hilbert變換，即

方程(1.2)是描述長波在深槽雙流體系統(tǒng)中傳播的模型，該流體系統(tǒng)中的低層流體是具有很大密度，交界面處有毛細現(xiàn)象.KdV-BO方程中既包含KdV方程的成分，又包含BO方程的成分，這兩種方程有許多類似的性質(zhì)，例如N-孤子解，Baclund變換與Lax對以及無窮多個守恒律等(參見文獻[10]).

事實上，當α＝0時，(1.2)描述的是長波在淺水中的傳播，(1.2)則變?yōu)橹腒dV方程.KdV方程模型是在研究小振幅長波單向傳播時得到的(文獻[1])，記為

對于(1.3)有許多的研究，例如在文獻[2]中，Bona等人研究了KdV方程的周期初邊值問題

并研究了耗散項Lγ(u)對解的整體適定性的影響.事實上他們研究了Lγ(u)為 －δuxx與σu兩個耗散項時的情形，并得出當p≥4時，存在臨界值δc和σc使得當δ＞δc或σ＞σc時，整體解是存在的.

文獻[3]中作者考慮了更一般的耗散項Lγ(u)，并研究了帶有耗散項的KdV方程

解的適定性問題，得到當 p＜4時，整體解在H1(R)中存在，p≥4時，整體解在H2(R)中存在.

當β＝0時描述的是長波在深水中的傳播，即是BO方程.文獻[4]中，Ponce證明了BO方程

關于研究KdV-BO方程的解的存在性，穩(wěn)定性及其孤波解有很多文章研究過，例如文獻[6]，[7].文獻[8]研究了如下柯西問題

在本文中，我們考慮(1.4)帶有耗散項Lγ(u)的情形，即研究了柯西問題(1.1)的解的適定性，同時在給定Lγ(u)條件下研究解的整體適定性，作為附加產(chǎn)品，也研究了方程解的L2范數(shù)的指數(shù)衰減性.

下面給出一些記號:空間Hγs(R)定義為

其空間范數(shù)為

2 預備知識

本節(jié)給出耗散項、空間和線性半群的一些性質(zhì)，將在后面用到.

其線性部分生成的半群可以表示為

在后面的部分，將f(u)定義為方程的非線性項，即f(u)＝?x(ul＋1).

引理2.1 假定s，r∈R＋，存在一個僅依賴于r的一個常數(shù)Cr＞0使得對?u∈Hγs(R)和?t＞0，我們有

下面給出關于空間Hγs(R)中嵌入的一些結論及KdV-BO方程中算子的一些性質(zhì).

引理2.3 設γ和β使的對所有的ξ∈R有γ(ξ) ＞β(ξ).定義

Hγ(R)到Hβ(R)的連續(xù)嵌入是緊的當且僅當

引理2.4 假設u，v∈Hγ(R)且存在一個常數(shù)C ＞0使得對?ξ，η∈R我們有

引理2.5 H為Hilbert變換，它具有下述的重要性質(zhì):

3 局部適定性

我們研究方程的柯西問題:?x∈R，?t＞0，

首先我們來陳述問題的適定性.

定理3.1 假設γ(ξ)滿足以下條件

此外，對所有的M ＞0有‖u0‖γs≤M，‖v0‖γs≤M，存在常數(shù)C1＞0使得方程與初值u0，v0有關聯(lián)的解u，v滿足對所有的有

讓來證明解的存在唯一性.對?T＞0定義 B (T)

由此容易得知空間B(T)是一個完備的度量空間.

應用皮卡不動點定理，首先來證明Φ(B(T))?B(T).取u∈B(T)，我們有

因此，由(3.2)、(3.3)和(3.4)式得:

現(xiàn)在來證明Φ是一個嚴格的壓縮映射.令u，v ∈B(T)，證明對?t∈ 0，T[ ]，

4 整體適定性

在前面引理假設的前提下，使用能量方法來研究KdV-BO方程的整體適定性.

定理4.1 當l＜4時，對所有的γ，整體解在H1(R)中.否則(當l≥4時)，存在常數(shù)θ＞0使得當γ(ξ)≥θ，?ξ∈R，整體解在H2(R)中.

證明:當l＜4時，N(u)和E(u)是方程的不含耗散項的兩個量，他們分別是L2范數(shù)和能量.其表達式為

Ω是一個遞增的函數(shù)，而‖u(·，t)‖L2關于t是遞減的，則當t＝0，γ(ξ)－Ω≥0時，‖uxx(·，t)‖L2關于t≥0不可能是遞增的.

特別地，當γ(ξ)≥Ω (‖u0‖L2，‖u0xx‖L2)＝:θ時，半范數(shù)‖uxx(·，t)‖L2在t＝0下是有界的.

5 方程解的衰減性

定理5.1 KdV-BO方程具有L2范數(shù)守恒的性質(zhì)，但加了耗散項Lγ(u)之后，L2范數(shù)指數(shù)衰減，即

證明:對方程

作能量積分.用u乘方程的兩邊，然后對x積分:

因此，對所有的t，方程解是L2范數(shù)指數(shù)衰減的.

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(責任編輯：付強，張陽，李建忠，羅敏；英文編輯：周序林)

The well-posedness of KdV-BO equation with dissipation

SUN Hai-xia，WANG Hu-sheng，YANG Han，MA Yu

(Department of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 611756，P.R.C.)

This paper studies the Cauchy problem of the KdV-BO equation with dissipative term.The equation models are the undirectional propagation of long waves in a two-fluid system，where the lower fluid with greater density is infinitely deep and the interface is subject to capillarity.Firstly，the local well-posedness for the Cauchy problem is obtained by the contraction mamapping theorem.Secondly，based on the energy estimates，the global well-posedness for the equation with the dissipative term which satisfies certain conditions is received.Finally，the exponential decay of the solutions to the equation is proved.

KdV-BO equation；dissipation；well-posedness；decay

O175

A

2095-4271(2016)04-0446-06

10.11920/xnmdzk.2016.04.014

2015-11-16

孫海霞(1990-)，女，漢族，山西人，碩士研究生，研究方向:偏微分方程，E-mail:1170537536＠qq.com.

楊晗(1969-)，男，漢族，教授，研究方向:非線性發(fā)展偏微分方程解的適定性.

國家自然科學基金項目(No.71572156).