關(guān)于Hilbert空間中一類廣義隨機非線性變分不等式

周 武

(西南民族大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610041)

關(guān)于Hilbert空間中一類廣義隨機非線性變分不等式

周 武

(西南民族大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610041)

介紹并研究了Hilbert空間中的Minty型廣義隨機非線性變分不等式問題，并在適當(dāng)?shù)臈l件和假設(shè)下，得到了這類廣義非線性隨機變分不等式和Stampacchia型廣義隨機非線性變分不等式的等價的結(jié)論；運用該結(jié)論，結(jié)合隨機化的Banach壓縮映像原理得到了關(guān)于這一類廣義隨機非線性變分不等式問題的一些新的隨機解的存在性結(jié)果.

隨機變分不等式；隨機算子；隨機不動點；存在性

1 引言及預(yù)備知識

變分不等式的理論、方法與技巧，可以應(yīng)用于控制論、最優(yōu)化理論、數(shù)學(xué)規(guī)劃等許多問題的研究.在一定條件下，經(jīng)濟金融中的均衡問題、交通網(wǎng)絡(luò)中的運輸問題、物理中的一部分流體力學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為某一形式的變分不等式問題來加以研究.由于現(xiàn)實世界中的許多問題都會涉及的非線性和不確定性問題的處理，從而對非線性和隨機變分不等式的研究得到了許多作者的關(guān)注與研究[1-15].

本文的目的是研究一類Hilbert空間中的Minty型廣義隨機非線性變分不等式問題，并在適當(dāng)?shù)臈l件和假設(shè)下，得到了關(guān)于這類廣義隨機非線性變分不等式問題的一些新的隨機解的存在性結(jié)果.

本文以下處處設(shè)(Ω，μ)是一可測空間.X是一可分的Hilbert空間，〈.，.〉，‖.‖非別表示X上的內(nèi)積和范數(shù)；β(X)表示X中的Borel子集的σ-代數(shù).

一個映像 u:Ω→X稱為可測的，如果?B∈β(X)，集合 {ω∈Ω:u(ω)∈B}∈μ一個映像T:Ω×X→X稱為隨機的，如果對于任給的x∈X，ω→T(ω，x) ＝y(tǒng)(ω)是可測的.

定義1 設(shè)T:Ω×X→X是一個隨機映像，稱T 為

(1)單調(diào)的，如果?x，y∈X，〈T(ω，x)-T(ω，y)，xy〉≥0，ω∈Ω.

(2)T稱為強單調(diào)的，如果存在一可測函數(shù)α:Ω ?(0，∞)，使得對任一ω∈Ω有〈T(ω，x)-T(ω，y)，xy)〉≥α(ω)‖x-y‖2，?x，y∈X；

(3)稱T為Lipschity連續(xù)的，如果存在一可測函數(shù)β:Ω?(0，∞)，使得對一切ω∈Ω有

(4)T稱為半連續(xù)的，如果映像λ→T(ω，λx＋(1-λ)y):[0，1]→X對任給的序列{λn}?[0，1]

定義2 設(shè)K是X中的閉凸子集，S，T:Ω×X→X是兩個隨機算子.所謂的關(guān)于S和T的隨機Minty型廣義非線性變分不等式是求一可測映像x:Ω→K，使得

定義3 設(shè)K是X中的閉凸子集，S，T:Ω×X→X是兩個隨機算子，所謂的關(guān)于S和T的隨機Stampacchia型廣義非線性變分不等式是求一可測映像x:Ω →K，使得

引理1 設(shè)K是X中的閉凸子集，S，T:Ω×X→X是半連續(xù)的單調(diào)的隨機映像，則下列結(jié)論等價:

(1)x:Ω→K是隨機Minty型廣義變分不等式(1.1)的隨機解；

(2)x:Ω→K是隨機Stampacchia型廣義非線性變分不等式(1.2)的隨機解；證明:(2)?(1)設(shè)x:Ω→K是隨機Stampacchia型廣義非線性變分不等式(1.2)的隨機解，故有

即x:Ω→K是隨機Minty型廣義非線性變分不等

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)X是一實的可分的Hilbert空間，K是X中之一閉凸子集.T:Ω×K→X是一個強單調(diào)Lipschitz連續(xù)的隨機算子，其相應(yīng)的強單調(diào)系數(shù)和Lipschitz系數(shù)(均為可測函數(shù))分別為

而S:Ω×K→X是一個Lipschitz連續(xù)的隨機算子，其Lipschitz系數(shù)為可測函數(shù)γ:Ω→(0，∞)，并且滿足下述條件則隨機Minty型廣義非線性變分不等式(1.1)有唯一的隨機解x?:Ω→K.

證明:因為K是閉凸子集，由熟知的Hilbert空間中的極小化向量定理，對于每一y∈K和每一ω∈Ω存在唯一的x(ω)∈K，使得

由假定條件，隨機算子T是α-強單調(diào)，并且是β－Lipschitz連續(xù)的，其中α，β:Ω→(0，∞)是兩個可測函數(shù)，滿足0＜β2(ω)＜2α(ω)－γ(ω)，?ω∈Ω.

而S是γ-Lipschitz連續(xù)的，于是由(2.5)可得

則θ:Ω→(0，1)是一可測函數(shù)，故由(2.6)知道

F:Ω×K→K是一隨機的Banach壓縮映像，由隨機化的Bananch壓縮定理知道(參見 7[]):F存在一隨機不動點，即存在可測映像x?:Ω→K，使得

故x?:Ω→K是隨機Stampacchia型廣義非線性變分不等式(1.2)的隨機解.

由引理1即知x?:Ω→K是隨機Minty型廣義非線性變分不等式(1.1)的隨機解.

定理1 易有下述結(jié)果:

定理2 設(shè)X是一實的可分的Hilbert空間，K是X中之一閉凸子集.T:Ω×K→X是一強單調(diào)的Lipschitz連續(xù)的隨機算子，其相應(yīng)的強單調(diào)系數(shù)和Lipschitz系數(shù)(均為可測函數(shù))分別是α:Ω→(0，∞)，β:Ω→[0，∞)并滿足條件:0＜β2(ω)＜2α(ω)，?ω∈Ω則下述隨機Minty型非線性變分不等式〈T(ω，y)，y－x (ω)〉≥0，?y∈K，ω∈Ω有唯一的隨機解x?:Ω→K.

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(責(zé)任編輯：付強，張陽，李建忠，羅敏；英文編輯：周序林)

A class of generalized random nonlinear variational inequalities in Hilbert spaces

ZHOU Wu

(School of Computer Science and Technology，Southwest University for Nationalities，Chengdu 610041，P.R.C.)

This paper introduces and studies generalized random nonlinear Minty variational inequalities in Hilbert spaces.Under some suitable conditions，the equivalent relationship is obtained between generalized random nonlinear Minty variational inequalities and generalized random nonlinear Stampacchia variational inequalities.Using the radom Banach fixed point theorem，some new results of random solutions for this class of random varational inequalities in the setting of Hilbert spaces are obtained.

random varational inequality；random operator；random fixed point；existence

O177.1

A

2095-4271(2016)04-0443-03

10.11920/xnmdzk.2016.04.013

2015-10-13

周武(1962－)，男，漢族，四川人，副教授，研究方向:運籌學(xué).