考慮剪切變形影響的樁基m法計(jì)算理論

楊美良,羅婉慶,張建仁

(長沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，長沙 410114)

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考慮剪切變形影響的樁基m法計(jì)算理論

楊美良,羅婉慶,張建仁

(長沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，長沙 410114)

考慮樁基的剪切變形影響，利用單廣義位移深梁理論，建立了樁基m法的計(jì)算方法，導(dǎo)出了水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的初參數(shù)表達(dá)式和無量綱參數(shù)函數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)式，根據(jù)樁底邊界條件建立了初參數(shù)解的計(jì)算公式；給出了無量綱參數(shù)函數(shù)隨換算深度和彎剪剛度比的變化圖形。研究表明,換算深度小于3.0時(shí)，彎剪剛度比對(duì)無量綱參數(shù)函數(shù)影響較小，換算深度大于4.0時(shí)，彎剪剛度比對(duì)無量綱參數(shù)函數(shù)影響的趨勢(shì)非常明顯，樁基剪切變形的影響程度與樁的邊界條件有關(guān)。算例結(jié)果表明，樁身的剪切變形有增大樁頂水平位移、提高彎矩零點(diǎn)位置、改變彎矩分布特征、擴(kuò)大樁側(cè)土壓力大小等影響。

樁；單廣義位移梁理論；剪切變形；初參數(shù)； m法

目前,考慮剪切變形影響的深梁有0～3階剪切變形理論，被廣泛認(rèn)同的理論有Timoshenko理論[6]、Jemielita理論[7]、Levinson理論[8]、Bickford理論[9]、Reddy理論[10]等，這些理論都有2個(gè)或以上的位移，計(jì)算上不方便。2000年，龔克提出了單廣義位移深梁理論[11]，該理論能用單一的廣義撓度表出轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力，計(jì)算上非常方便，本文選擇該理論來建立樁基m法分析方法，以考慮基樁的剪切變形影響，推動(dòng)樁基計(jì)算理論的發(fā)展。

1 單廣義位移深梁理論

2000年龔克提出單廣義位移深梁理論，建立理論模型時(shí)取梁的中心線為x軸，梁的撓曲面為xy平面, 對(duì)梁的變形作如下假設(shè)[11]：1)梁的中性軸的軸向位移不計(jì)，y方向的擠壓變形不計(jì)；2)變形前垂直于中心線的平面在變形后仍保持為平面(不一定垂直于撓曲線) ；3)剪切轉(zhuǎn)角隨x二階變化率不計(jì)。相應(yīng)的平衡方程、轉(zhuǎn)角ψ、彎矩M和剪力Q表達(dá)式如下[13]見式(1)。

(1)

式中：D(=EI)為樁身的抗彎勁度、C(=kGA)為樁身的抗剪勁度、k為樁身截面的剪切修正系數(shù)，圓形截面取9/10、矩形截面取5/6。

從以上計(jì)算公式可以看出，單廣義位移深梁理論的平衡方程與Euler梁理論一致，轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力用廣義位移撓度表示，該理論的正確性和推廣應(yīng)用已在文獻(xiàn)[11]中有充分論證。

2 彈性樁的m法計(jì)算理論

采用彈性樁m法的計(jì)算假定，彈性樁側(cè)受水平分布力的平衡條件為

(2)

α5·x·w

(3)

設(shè)樁側(cè)水平位移解為級(jí)數(shù)解，如式(4)所示。

a0+a1x+a2x2+…+anxn+…

(4)

將式(4)求導(dǎo)，其第一、二、三、四階導(dǎo)數(shù)為

·i·xi-1

(5)

將式(4)、(5)代入式(3)，并展開，使等式恒成立，則應(yīng)有a4=0，除a4=0外，其他系數(shù)應(yīng)滿足關(guān)系式

(6)

式中：n=1,2,3,…,∞。

進(jìn)一步分析，可知

a5k-1=0,k=1,2,3,…

(7)

式中：()!!符號(hào)含義式(8)所示。

(5k-T)!!=

[5k-T][5(k-1)-T][5(k-2)-T]…

[5·2-T][5·1-T]

(8)

將各系數(shù)表達(dá)式等代入位移解，有

w(x)=a0·Y0(x)+a1·Y1(x)+

a2·Y2(x)+a3·Y3(x)

(9)

式中：

當(dāng)x=0時(shí)，假定樁頂?shù)奈灰啤⑥D(zhuǎn)角、彎矩和剪力代入式(9)，可確定參數(shù)a0、a1、a2、a3。由式(1)的第2、3、4式可知，樁的轉(zhuǎn)角、彎和剪力用廣義位移表示為

a1·Y?1(x)+a2·Y?2(x)+a3·Y?3(x)]

Da0·Y″0(x)+a1·Y″1(x)+a2·Y″2(x)+

a2·Y?2(x)+a3·Y?3(x)]

(10)

當(dāng)x=0時(shí)，有

M0=2D·a2,Q0=6D·a3

(11)

解得

(12)

用x=0時(shí)的初參數(shù)表示的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力為

(13)

式中：

(14)

式中：EA1(x),EB1(x),EC1(x),ED1(x)為不考慮剪切變形影響時(shí)基于Euler梁理論的對(duì)應(yīng)無量綱參數(shù)函數(shù)，具體表達(dá)式為[2]

(15)

轉(zhuǎn)角表達(dá)式為

(16)

式中：

·EA4(x)

(17)

式中：EA2(x),EB2(x),EC2(x),ED2(x)為不考慮剪切變形影響時(shí)基于Euler梁理論的對(duì)應(yīng)無量綱參數(shù)函數(shù)，分別由EA1(x),EB1(x),EC1(x),ED1(x)求一次導(dǎo)數(shù)后再除以α得到。

彎矩表達(dá)式為

(18)

式中：

·EA5(x)

(19)

式中：EA3(x)、EB3(x)、EC3(x)、ED3(x)和EA5(x)、EB5(x)、EC5(x)、ED5(x)為不考慮剪切變形影響時(shí)基于Euler梁理論的對(duì)應(yīng)無量綱參數(shù)函數(shù)，分別是由EA2(x)、EB2(x)、EC2(x)、ED2(x)和EA4(x)、EB4(x)、EC4(x)、ED4(x)求一次導(dǎo)數(shù)后再除以α得到。

剪力表達(dá)式為

(20)

式中：

(21)

EA4(x)、EB4(x)、EC4(x)、ED4(x)為不考慮剪切變形影響時(shí)基于Euler梁理論的對(duì)應(yīng)無量綱參數(shù)函數(shù)，分別是由EA3(x)、EB3(x)、EC3(x)、ED3(x)求一次導(dǎo)數(shù)后再除以α得到。

從以上所推導(dǎo)的計(jì)算公式可以看出，正是由于單廣義位移深梁理論具有位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力都可用單廣義位移來表示的特點(diǎn)，使得考慮剪切變形影響的樁基m法分析仍可用級(jí)數(shù)來求解。如果采用經(jīng)典的Timoshenko深梁理論來考慮剪切變形的影響，其級(jí)數(shù)解非常復(fù)雜?？梢赃@樣說，選用單廣義位移深梁理論是建立考慮剪切變形影響的樁基m法分析模型的最成功技巧。

3 計(jì)算公式的統(tǒng)一表達(dá)

從上述計(jì)算公式可以看出，考慮剪切變形的計(jì)算函數(shù)EAi(x)、EBi(x)、ECi(x)、EDi(x)(i=1、2、3、4、5)都可由不考慮剪切變形的無量綱參數(shù)函數(shù)表示，而不考慮剪切變形影響的計(jì)算函數(shù)可用一種統(tǒng)一的公式來表達(dá)[12]。即

AA(i,j)=S(i,j)·(αx)j-i+

(22)

式中：i=1、2、3、4、5代表上式中撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力及補(bǔ)充項(xiàng)的計(jì)算，j=1、2、3、4代表各計(jì)算公式中的A、B、C、D。其中的S(i,j)表達(dá)式如式(23)。

(23)

式(23)中，級(jí)數(shù)收斂很快，一般取前10項(xiàng)就有很高的計(jì)算精度，甚至取前5項(xiàng)即可。

4 邊界條件的處理及樁頂位移的確定

4.1 摩擦樁、柱承樁w0、ψ0的計(jì)算

當(dāng)摩擦樁的αh≥2.5、柱承樁的αh≥3.5時(shí)，樁底轉(zhuǎn)角很小，可以忽略[2]，相應(yīng)的樁頂位移、轉(zhuǎn)角用樁頂彎矩、剪力表示為

(24)

4.2 嵌巖樁w0、ψ0的計(jì)算

嵌巖樁樁底固結(jié)，據(jù)此條件可求出樁頂位移、轉(zhuǎn)角用樁頂彎矩、剪力表示為

(25)

5 無量綱參數(shù)函數(shù)

(26)

改變樁的彎剪剛度比R和換算深度αh，各無量綱參數(shù)函數(shù)隨R、αh的變化如下圖1所示。計(jì)算中R取0、0.1、0.125、0.15、0.175、0.20、0.22、0.23、0.24。當(dāng)R=0時(shí)，表示抗剪勁度無窮大，即為不考慮樁的剪切變形影響的計(jì)算結(jié)果。

圖1 樁身位移和內(nèi)力的計(jì)算參數(shù)函數(shù)隨換算深度αh和彎剪剛度比R的變化Fig. 1 Calculating parameter functions of inner displacements and forces changing

從圖1可以看出，當(dāng)換算深度αh<3.0時(shí)，彎剪剛度比R對(duì)無量綱參數(shù)函數(shù)的影響較?。恢挥挟?dāng)αh>3.0后，彎剪剛度比R對(duì)無量綱參數(shù)函數(shù)的影響才開始顯示出來；在αh>4.0后，彎剪剛度比R對(duì)無量綱參數(shù)函數(shù)的影響的趨勢(shì)非常明顯。

根據(jù)式(24)，摩擦樁或柱承樁的計(jì)算參數(shù)隨彎剪剛度比R、換算深度αh的變化如圖2所示。計(jì)算中R取0、0.02、0.04、0.06、0.08、0.10、0.12、0.14、0.16、0.18、0.20、0.24。

圖2 摩擦樁或支承樁的計(jì)算參數(shù)隨換算深度αh和彎剪剛度比R的變化Fig.2 Calculating parameters of inner displacements and forces changing

從圖2 可以看出，彎剪剛度比R對(duì)摩擦樁、支承樁的計(jì)算參數(shù)的影響非常小，在圖中由于分辨的原因基本看不出來。其與不考慮剪切變形時(shí)(R=0)的相應(yīng)參數(shù)基本一致。因此對(duì)于摩擦樁、支承樁，可以不考慮剪切變形的影響。

根據(jù)式(25)，嵌巖樁的計(jì)算參數(shù)函數(shù)隨彎剪剛度比R、換算深度αh的變化如圖3所示。計(jì)算中R取0～3.6。從圖3可以看出，當(dāng)換算深度αh<3.0時(shí)，彎剪剛度比對(duì)嵌巖樁的計(jì)算參數(shù)影響較大、而在αh>3.0后，其影響則比較小。因此，剪切變形對(duì)樁基的影響與其邊界條件有關(guān)。

圖3 嵌巖樁的計(jì)算參數(shù)函數(shù)隨換算深度αh和彎剪剛度比R的變化Fig. 3 Calculating parameter functions of inner displacements andf forces changing with converting length and ratio bending stiffness to shear stffness

6 計(jì)算示例

已知一樁基，彈性模量E=2.6×107kPa、樁徑r=1.65 m、計(jì)算寬度b=0.9(r+1)=2.385 m、抗彎剛度折減系數(shù)0.67，樁身抗彎剛度實(shí)際取值為D=0.67EI=6.338×106kN·m2、抗剪剛度C=kGA=2.085×106kN，樁長10 m，邊界條件為嵌巖樁，按式(25)計(jì)算樁頂?shù)淖冃螀?shù)。樁頂作用的水平剪力Q0=35.70 kN、彎矩M0=684.70 kN·m。計(jì)算時(shí)樁的變形系數(shù)α=0.327 39。人為改變彎剪剛度比R，樁身水平變形、彎矩、樁側(cè)土水平壓力隨樁長的變化如圖4～6所示。

圖4 樁身水平變形分布圖Fig.4 Horizontal displacement

圖5 樁身彎矩分布圖Fig.

圖6 樁側(cè)土水平壓力分布圖Fig.6 Horizontal stress

Table 1 Comparing of calculating results

R樁頂水平位移計(jì)算結(jié)果/m差別/%正側(cè)最大彎矩計(jì)算結(jié)果/(kN·m)差別/%負(fù)側(cè)最大彎矩/(kN·m)計(jì)算結(jié)果正側(cè)最大壓應(yīng)力計(jì)算結(jié)果/(kN·m-2)差別/%負(fù)側(cè)最大壓應(yīng)力計(jì)算結(jié)果/(kN·m-2)差別/%0．000．00209920．00716．230．00無負(fù)彎矩19．5590．0023．3400．000．100．00213301．61715．06-0．1610．23420．4714．6629．76927．540．150．00221495．51713．57-0．37110．1322．53115．2045．40894．55

從圖4和表1的樁頂水平位移數(shù)據(jù)欄可以看出，隨著R的加大，樁的抗剪剛度減小，樁頂水平位移加大。當(dāng)R=0.15時(shí)，樁頂水平位移與不考慮剪切變形的位移大5.51%。

從圖4和表2的正側(cè)最大彎矩、負(fù)側(cè)最大彎矩?cái)?shù)據(jù)欄可以看出，考慮剪切變形影響時(shí)，樁側(cè)最大正彎矩減小、負(fù)側(cè)最大彎矩增大。本算例中，不考慮剪切變形時(shí)，樁身長度范圍內(nèi)不出現(xiàn)負(fù)彎矩，但考慮剪切變形后，由于樁身的彎曲剛度減小，樁身變形加大，正側(cè)彎矩與不考慮剪切變形影響時(shí)的結(jié)果減小0.37%，同時(shí)，在另一側(cè)出現(xiàn)負(fù)彎矩現(xiàn)象，不考慮剪切變形影響時(shí)則無負(fù)彎矩出現(xiàn)。因此，剪切變形對(duì)樁身的彎矩分布有一定影響，并有提高彎矩0點(diǎn)位置的作用。

從圖5和表2的正側(cè)最大壓應(yīng)力和負(fù)側(cè)的最大壓應(yīng)力數(shù)據(jù)欄可以看出，考慮剪切變形的影響后，正、負(fù)側(cè)的最大壓應(yīng)力都有所擴(kuò)大，其中，正側(cè)正應(yīng)力與不考慮剪切變形時(shí)的結(jié)果擴(kuò)大15.20%、負(fù)側(cè)正應(yīng)力擴(kuò)大94.55%。

7 結(jié)論

從以上的分析、公式推導(dǎo)和算例分析可以看出：

1)本文精心選擇單廣義位移深梁理論，建立樁基m法分析方法，可以考慮樁身剪切變形影響，當(dāng)彎剪剛度比為0時(shí)可退化成不考慮剪切變形影響的形式，因此，所導(dǎo)出計(jì)算公式的適應(yīng)性比目前基于Euler梁理論的常用m法更好。

2)不考慮邊界條件時(shí)，樁身位移、內(nèi)力計(jì)算的無量綱參數(shù)函數(shù)有統(tǒng)一表達(dá)式，計(jì)算時(shí)取級(jí)數(shù)的前10項(xiàng)就有非常高的精度。

3)當(dāng)換算深度αh>3.0時(shí)，剪切變形對(duì)位移、內(nèi)力計(jì)算的無量綱參數(shù)函數(shù)的影響才開始顯示出來，當(dāng)換算深度αh<3.0時(shí)剪切變形影響甚小。

4)隨著彎剪剛度比的增大，剪切變形有擴(kuò)大樁頂位移、減小樁身正彎矩、改變樁身兩側(cè)彎矩的分布特征、提高彎矩0點(diǎn)位置等作用。

[1] 吳恒立.計(jì)算推力樁的綜合剛度原理和雙參數(shù)法[M].北京:人民交通出版社,2000:1-38. WU H L. Synthetical stiffness principle and biparameter method for lateral loaded piles[M].Beijing: China Communications Press,2000:1-38.(in Chinese)

[2] 凌治平.基礎(chǔ)工程[M].北京:人民交通出版社,1986:96-114. LIN Z P. Foundation engineering[M]. Beijing: China Communications Press,1986:96-114.(in Chinese)

[3] 夏桂云.嵌巖彈性樁的穩(wěn)定分析[J].重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào),2001,20(1):79-82. XIA G Y. Stability analysis of socketed poles[J]. Journal of Chongqing Communications University,2001,20(1):79-82.(in Chinese)

[4] 戴自航,陳林靖.多層地基中水平荷載樁計(jì)算m法的兩種數(shù)值解析[J].巖土工程學(xué)報(bào),2007,29(5):690-696. DAI Z H,CHEN L J. Two numerical solutions of laterally loaded piles installed in multi-layered soils by m method[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2007, 29(5):690-696.(in Chinese)

[5] 肖世衛(wèi).橫向受力樁中剪切變形影響的分析[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào),1992(1):28-31. XIA S W. Analysis of the influence of shear deformation on laterally loaded piles[J]. Journal of Southwest Jiaotong University,1992(1):28-31.(in Chinese)

[6] 夏桂云,李傳習(xí).考慮剪切變形影響的桿系結(jié)構(gòu)理論與應(yīng)用[M].北京:人民交通出版社,2008. XIA G Y,LI C X. Calculating theory and its applications of frame structures with shear deformation effects[M].Beijing:China Communications Press,2008.(in Chinese)

[7] WANG C M， REDDY J N， LEE K H. Shear deformable beams and plates[M]. Amsterdam:Elsevier, 2000.

[8] LEVINSON M. A new rectangular beam theory [J]. Journal of Sound and Vibration,1981(74):81-87.

[9] BRICKFORD W B. A consistent higher order beam theory [J]. Developments in Theoretical and Applied Mechanics,1982(11):137-150.

[10] REDDY J N. A simple higher order theory for laminated composite plates[J]. Journal of Applied Mechanics,1984(51):745-752.

[11] 龔克.單廣義位移的深梁理論與中厚板理論[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2000,21(9):984-990. GONG K. Bending Theories for beams and plates with single generalized displacement[J]. Applied Mathematics and Mechanics,2000, 21(9):984-990.(in Chinese)

[12] 周相略.樁基礎(chǔ)m法計(jì)算系數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)式[J].公路,1993(6):18-22. ZHOU X N. Uniform expressions for calculating parameters of piles by m method[J]. Highway,1993(6):18-22.(in Chinese)

(編輯 胡玲)

Calculating theory of m method assumption for piles with shear deformation effect

YangMeiliang，LuoWanqing，ZhangJianren

(School of Civil Engineering and Architecture, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, P.R. China)

Considering the shear deformation effect of piles, the calculating theory of m method assumption for piles was presented by using the single generalized displacement theory of deep beam. The initial parameter formulae to horizontal displacement, slope, moment and shear force were derived. The unified non-dimensional functions were also put forward. According to the boundary conditions, the initial parameters solutions were determined. The changing figures of non-dimensional functions with converting length and ratio of bend stiffness to shear stiffness were plotted. Some conclusions were summarized that when the converting length was less than 3.0, there was little influence of the ratio of bending stiffness to shear stiffness on the non-dimensional functions , while the converting length was greater than 3.0, the influence of the ratio of bending stiffness to shear stiffness on the non-dimensional functions became obvious; the influencing degree of the shear deformation effect was related to the boundary conditions. Example results showed that shear deformation can enlarge the horizontal displacement at the top, lift the position of zero moment, change moment distribution and magnify the soil pressure on pile.

pile; single generalized displacement beam theory; shear deformation; initial parameter; m method

2016-04-08

國家自然科學(xué)基金(51278072)；湖南交通科技創(chuàng)新項(xiàng)目(201452)

楊美良(1967-)，女，教授，博士，主要從事橋梁結(jié)構(gòu)理論分析,(E-mail)yangmeiliang@163.com。

Foundation item：National Natural Science Foundation of China(No.51278072)；Communication Science and Technology Innovation Project of Hunan(No.201452)

10.11835/j.issn.1674-4764.2016.06.008

TU473

A

1674-4764(2016)06-0054-08

Received:2016-04-08

Author brief：Yang Meiliang(1967-)，professor，PhD, main research interest：theoretical analysis of bridge structure,(E-mail)yangmeiliang@163.com.