作為動直線運動軌跡的二次曲面

黃保軍

（淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北 235000）

作為動直線運動軌跡的二次曲面

黃保軍①

（淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北 235000）

二次曲面是空間解析幾何最重要的內容之一.研究二次曲面，除利用平行截割法，通過綜合分析截痕的變化來認識曲面的形狀外，還可通過分析曲面的內部結構來把握其幾何特征.文章基于單葉雙曲面和雙曲拋物面的直母線性質，詳細論證了這2類曲面均是遵循一定規(guī)律的動直線的運動軌跡，從而直觀揭示它們的幾何特征，為利用幾何法定義這些曲面奠定可靠的理論基礎.

單葉雙曲面；雙曲拋物面；直母線

0 引言

所謂二次曲面，是指在空間直角坐標系下，由三元二次方程

所表示的圖形.通過坐標變換可知，非退化實二次曲面共有9種：橢球面，2種雙曲面，2種拋物面，二次錐面和3種二次柱面［1］.這些二次曲面中，二次錐面和二次柱面，顯然分別是共點直線族和平行直線族的軌跡；而橢球面、雙葉雙曲面和橢圓拋物面上均沒有直線［1］，所以，它們不可能是動直線運動而形成的軌跡；至于單葉雙曲面和雙曲拋物面，一般教科書上僅就其直紋性和直母線族的性質作了簡單探討，多數教科書對它們的直母線的性質沒做證明（如文獻［2-3］等）.受這2種曲面直母線性質的啟發(fā)，文獻［4］通過實例驗證單葉雙曲面和雙曲拋物面，都可看成動直線運動而形成的軌跡；文獻［5］則在理論依據不夠充分的情況下，籠統(tǒng)地將單葉雙曲面定義為與3條互相異面的直線都共面的動直線所生成的曲面，而將雙曲拋物面定義為與2條異面直線都相交且平行于定平面的動直線所產生的曲面.本文一方面將文獻［4］中實例的結果向一般化推廣，同時也將糾正文獻［5］中所給出的單葉雙曲面和雙曲拋物面定義的理論和邏輯上的錯誤.

1 單葉雙曲面作為動直線運動的軌跡

定理1 設L1,L2,L3為3條兩兩異面的直線，且3條直線不平行于同一平面，則與3條異面直線均共面的動直線的軌跡是一單葉雙曲面.

定義1 設L1,L2,L3為3條兩兩異面的直線，且這3條直線不平行于同一平面，稱與L1,L2,L3均共面的動直線的軌跡為單葉雙曲面.

2 雙曲拋物面作為動直線運動的軌跡

定理2 設L1,L2,L3為3條兩兩異面直線，且這3條直線平行于同一平面，則與3條異面直線均共面的動直線的軌跡是一雙曲拋物面.

注1 定理2推廣了［4］中的例4.

定理3 設L1,L2為2條異面直線，π0為一定平面，L1,L2均不平行于π0，則與L1,L2均共面且平行于π0的動直線的軌跡是一雙曲拋物面.

注2 定理3推廣了［4］中的例6.

注3 若2條異面直線L1,L2有一與定平面π0平行，則與L1,L2均共面且平行于定平面π0的動直線的軌跡是二相交平面；若2條異面直線L1,L2均與定平面π0平行，則與L1,L2均共面且平行于定平面π0的動直線的軌跡是二平行于π0的平面.

由定理2和定理3，可給出如下的2個定義:

定義2 設L1,L2,L3為3條兩兩異面直線，且這3條直線平行于同一平面，稱與L1,L2,L3均共面的動直線的軌跡為雙曲拋物面.

定義3 設L1,L2是與定平面π0相交的2條異面直線，稱與L1,L2均共面且平行于定平面π0的動直線的軌跡為雙曲拋物面.

注4 對一種事物或一個概念下定義，即對這種事物的本質特征或這個概念的內涵和外延作簡要說明.結合定理1—3，不難發(fā)現(xiàn)，本文關于單葉雙曲面和雙曲拋物面的定義，較文獻［5］更為嚴密、準確，更切合定義的基本要求.

［1］楊文茂.解析幾何習題選集［M］.武漢：武漢大學出版社，1983:8.

［2］鄭崇友，王匯淳，侯忠義，等.幾何學引論［M］.2版.北京：高等教育出版社，2005:8.

［3］呂林根，許子道.解析幾何［M］.4版.北京：高等教育出版社，2005:8.

［4］劉紹穎.直紋面可視為動直線的軌跡［J］.承德民族師專學報，1995（2）：24-27.

［5］陳懷堂，杜彥武，劉建.關于單葉雙曲面和雙曲拋物面的定義［J］.臨沂師專學報，1997，19（3）：1-3.

Quadratic Surfaces Defined as Locus of Rectilinear Motion

HUANG Baojun
（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

Quadratic surfaces are important in solid analytic geometry.The shape of surfaces can be under?stood by using parallel section method and analyzing change of the sections.Geometric characteristics can al?so be understood by discussing internal structure of the surfaces.Based on the properties of the ruling of the surfaces，we concluded that hyperboloid of one sheet and hyperbolic paraboloid are loci of rectilinear motion complying with some rules，which reveal their geometric characteristics.These results would be a theoretical foundation on defining the surfaces with the use of geometric method.

hyperboloid of one sheet；hyperbolic paraboloid；ruling

O 182.2

A

2095-0691（2016）04-0004-04

2016-06-21

安徽省高校省級教學質量與教學改革工程項目（2012gxk191）

黃保軍（1957- ），男，安徽碭山人，教授，研究方向：幾何與拓撲.