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    特定抽樣下有效樣本量的性質(zhì)研究

    2016-12-20 12:30:46艾小青
    統(tǒng)計(jì)與決策 2016年23期
    關(guān)鍵詞:北京工業(yè)大學(xué)置信區(qū)間樣本量

    艾小青

    (北京工業(yè)大學(xué)a.經(jīng)管學(xué)院;b.首都社會(huì)建設(shè)與社會(huì)管理協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100124)

    特定抽樣下有效樣本量的性質(zhì)研究

    艾小青a,b

    (北京工業(yè)大學(xué)a.經(jīng)管學(xué)院;b.首都社會(huì)建設(shè)與社會(huì)管理協(xié)同創(chuàng)新中心,北京 100124)

    常見的放回抽樣等方法操作比較簡(jiǎn)單,但缺點(diǎn)是有效樣本量是不確定的,而是取決于抽樣的隨機(jī)結(jié)果。文章對(duì)PPS抽樣和泊松抽樣下有效樣本量的性質(zhì)進(jìn)行了研究,通過數(shù)理推導(dǎo)和統(tǒng)計(jì)模擬揭示了有效樣本量的分布特征,給出了特定條件有效樣本量的置信區(qū)間。

    有效樣本量;PPS抽樣;泊松抽樣

    0 引言

    很多抽樣方法都存在有效樣本量不能事先確定的問題,最終的有效樣本量往往取決于抽樣的結(jié)果,所以是隨機(jī)的[1]。比如群規(guī)模不相等時(shí)的整群抽樣,當(dāng)抽出群的規(guī)模較大時(shí),最終樣本單元就多,反之就少;比如各種放回抽樣,在依次抽取時(shí)都將已抽出的樣本單元放回抽樣總體再重新抽取,導(dǎo)致有些單元可能會(huì)重復(fù)抽到,抽出的有效樣本量小于等于抽取的次數(shù)。

    PPS抽樣和泊松抽樣是現(xiàn)實(shí)中兩種應(yīng)用較多的抽樣方法,它們都存在有效樣本量非確定性的問題[2],但少有文獻(xiàn)深入研究其有效樣本量的具體性質(zhì)到底是怎樣的[3],本文將對(duì)此問題進(jìn)行深入探討,通過數(shù)理推導(dǎo)和統(tǒng)計(jì)模擬揭示有效樣本量的分布特征。對(duì)有效樣本量性質(zhì)的準(zhǔn)確把握,能夠更好地指導(dǎo)實(shí)際的抽樣設(shè)計(jì)。

    1 理論基礎(chǔ)

    有限總體包含N個(gè)單元,單元變量取值分別為Y1,Y2,…,YN,總體總量為

    任何概率抽樣的關(guān)鍵是了解總體單元的入樣概率。一階入樣概率πi表示單元i被抽出的概率;二階入樣概率πij表示不同兩個(gè)單元i和 j都被抽出的概率。

    定義一階示性函數(shù):

    二階示性函數(shù):

    單元i在最終的樣本中則一階示性函數(shù)取值為1,否則為0。因?yàn)榭傮w單元中抽出了n個(gè)有效樣本單元,意味著必有n個(gè)單元的一階示性函數(shù)值為1,所以,有效樣本量與一階示性函數(shù)值的關(guān)系是:

    示性函數(shù)具有如下性質(zhì):

    有效樣本量n的期望即總體所有單元的入樣概率之和:

    有效樣本量n的方差為:

    2 PPS抽樣下有效樣本量的性質(zhì)

    設(shè)存在一個(gè)規(guī)模輔助變量,總體N個(gè)單元的規(guī)模分別為X1,X2,…,XN,總體規(guī)??偭繛閱卧猧的規(guī)模比重為Pi=Xi/X。

    以規(guī)模變量作為輔助信息,進(jìn)行PPS抽樣:設(shè)樣本量為T,即獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行T次放回抽取,每次抽取時(shí)單元i被抽到的概率都為Pi。單元i的一階入樣概率為:

    單元i,j(i≠j)的二階入樣概率:

    特別注意的是,這里的樣本量T,實(shí)質(zhì)是抽取的次數(shù),而實(shí)際抽出的有效樣本量n必然小于等于T,因?yàn)樵诜呕爻槿∠掠行﹩卧獣?huì)重復(fù)抽到。

    根據(jù)式(9)和式(10),有效樣本量n的期望和方差為:

    當(dāng)總體單元數(shù)N較大且各單元的規(guī)模比重都接近為0時(shí),單元被重復(fù)抽到的概率很小,有效樣本量n的期望值接近T。

    n的理論取值范圍為1到T之間,P(n),n≤T表示T次抽取后,有效樣本量為n的概率,其概率分布比較復(fù)雜,根據(jù)全概率公式,其理論表達(dá)式為:

    當(dāng)N較大于T且總體單元沒有規(guī)模比重極大的個(gè)體時(shí),單元被重復(fù)抽到的概率很低,有效樣本量n一般接近T。當(dāng)抽取次數(shù)T較大或者總體單元中存在規(guī)模比重極大的個(gè)體時(shí),單元被重復(fù)抽到的概率較大,有效樣本量n將小于T。

    使用R軟件進(jìn)行了PPS抽樣的統(tǒng)計(jì)模擬,其中規(guī)模比重輔助變量根據(jù)均勻分布生成,總體單元數(shù)N確定為1000。模擬次數(shù)為10萬(wàn)次,考察了不同抽取次數(shù)T下,不確定性有效樣本量的分布(直方圖)以及特征值(期望和標(biāo)準(zhǔn)差等)。

    (1)由表1可以看出,抽取次數(shù)T較小時(shí),有效樣本量n分布比較集中,基本上等于或稍小于抽取次數(shù)T,差值一般不超過2。T越小,n=T的概率值就越大,有效樣本量n的期望值與抽取次數(shù)T也越接近,抽取次數(shù)小于40時(shí),兩者的絕對(duì)差值不超過1,相對(duì)差值不超過0.03。

    表1 不同抽取次數(shù)下有效樣本量的概率值和特征值

    (2)由圖1可以看出,隨著抽取次數(shù)T的增加,有效樣本量n分布將更為分散,并且趨于正態(tài)化。當(dāng)抽取次數(shù)等于100時(shí),有效樣本量近似為正態(tài)分布。這樣就能給出當(dāng)抽取次數(shù)T較大時(shí),有效樣本量的95%的置信區(qū)間為:

    圖1 不同抽取次數(shù)下有效樣本量的分布特征

    3 泊松抽樣下有效樣本量的性質(zhì)

    泊松抽樣是嚴(yán)格的不放回不等概率抽樣,總體單元i的入樣概率πi事先確定。針對(duì)總體的各個(gè)單元分別獨(dú)立抽取,每個(gè)單元可能抽出也可能沒抽出,這是它最特別的性質(zhì)。

    每個(gè)單元是否抽出是隨機(jī)的,服從0,1結(jié)果的二項(xiàng)分布,單元i抽出的概率即為事先確定的πi,而最終抽出的單元數(shù)量(有效樣本量)必然也是隨機(jī)的。

    單元之間的抽取都是相互獨(dú)立的,所以二階入樣概率為:

    根據(jù)式(9)和式(10),有效樣本量n的期望和方差為:

    n的概率分布相對(duì)比較簡(jiǎn)單,總體的N個(gè)單元有n個(gè)單元抽出來了,相應(yīng)單元被抽出的概率為πi,有N-n個(gè)單元沒被抽出來,相應(yīng)單元沒被抽出的概率為( ) 1-πj,不同單元的抽取是相互獨(dú)立的,所以根據(jù)全概率公式,有效樣本量n概率分布的理論表達(dá)式為:

    根據(jù)中心極限定理可知,當(dāng)總體單元數(shù)N較大時(shí)(N>30),在這現(xiàn)實(shí)中一般都是滿足的,有效樣本量n近似服從正態(tài)分布[4]。

    入樣概率確定后,有效樣本量n的期望和方差根據(jù)式(18)和式(19)可以直接計(jì)算出來。再通過R軟件統(tǒng)計(jì)模擬(模擬次數(shù)為10萬(wàn)次),其中各單元的入樣概率根據(jù)均勻分布隨機(jī)賦值,展示在不同總體單元數(shù)N下有效樣本量n的分布特征。

    由圖2可以看出,有效樣本量的分布基本都是對(duì)稱的,尤其是當(dāng)總體單元數(shù)N越大時(shí),越近似于正態(tài)分布。這樣就能給出總體單元數(shù)N較大時(shí),有效樣本量的95%的置信區(qū)間為:

    4 結(jié)論

    圖2 不同總體單元數(shù)下有效樣本量的分布特征

    PPS抽樣和泊松抽樣在實(shí)際抽樣調(diào)查中有著廣泛的應(yīng)用,但它們的有效樣本量實(shí)質(zhì)上無法事前確定,而是取決于抽取結(jié)果的隨機(jī)變量。本文對(duì)兩種抽樣下有效樣本量的性質(zhì)進(jìn)行了深入研究,通過數(shù)理推導(dǎo)給出了有效樣本量的概率分布,以及相應(yīng)的特征值(期望和方差),通過統(tǒng)計(jì)模擬給出了有效樣本量的分布特征,特別是給出了一定條件下有效樣本量的置信區(qū)間,這樣雖然無法事前確定有效樣本量的最終結(jié)果,但可以有概率層面的推斷和了解。

    本文研究結(jié)果有著一定的理論和現(xiàn)實(shí)意義,一方面有助于我們更加深入理解抽樣設(shè)計(jì)的原理和抽樣結(jié)果的特征,另一方面對(duì)有效樣本量有了更準(zhǔn)確的事前預(yù)判,能夠更好地指導(dǎo)抽樣的方法設(shè)計(jì)以及調(diào)查的組織開展。

    [1]Antal E,Tille Y.A Direct Bootstrap Method for Complex Sampling De?signs From a Finite Population[J].Journal of the American Statistical Association,2011,16(494).

    [2]Rao C R,Rubin H.On a Characterization of the Poisson Distribution[J]. Sankhyā the Indian Journal of Statistics,1964,(32).

    [3]Antal E,Tillé Y.Simple Random Sampling With Over-replacement[J]. Journal of Statistical Planning and Inference,141.

    [4]金勇進(jìn),杜子芳,蔣妍.抽樣技術(shù)(第二版)[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2008.

    (責(zé)任編輯/易永生)

    C811

    A

    1002-6487(2016)23-0012-03

    北京市社會(huì)科學(xué)基金基地項(xiàng)目(14JDJGC040);北京工業(yè)大學(xué)日新人才項(xiàng)目;北京工業(yè)大學(xué)首都社會(huì)建設(shè)與社會(huì)管理協(xié)同創(chuàng)新中心項(xiàng)目

    艾小青(1982—),男,湖南邵陽(yáng)人,博士,副教授,研究方向:抽樣調(diào)查、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)。

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