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    例談數(shù)學(xué)中考中直尺、直角三角板放置的問題

    2016-12-19 10:08:41鐘雁平
    初中生世界 2016年5期
    關(guān)鍵詞:對(duì)頂角補(bǔ)角三角板

    鐘雁平

    例談數(shù)學(xué)中考中直尺、直角三角板放置的問題

    鐘雁平

    直尺、直角三角板這兩種學(xué)具是大家再熟悉不過的操作工具.以往的考場(chǎng)上,這些學(xué)具主要是用來測(cè)量和作圖的.在近幾年的中考試卷中,這些學(xué)具又呈現(xiàn)出不同的角色,它們成了一些中考數(shù)學(xué)試題的問題背景,操作工具演變成了探究載體.學(xué)具的融入讓“冰冷”的中考題透出一股靈氣,勾畫出一道道立意新穎、構(gòu)思巧妙的數(shù)學(xué)模型,為同學(xué)們的思維搭建起操作平臺(tái),使同學(xué)們的探究多了一份空間,較好地考查了同學(xué)們觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、聯(lián)想、類比、歸納的能力以及運(yùn)動(dòng)變化、分類討論思想等的綜合運(yùn)用能力,因此受到了各地中考命題專家的青睞.現(xiàn)就近年來中考試題中選取一些有代表性的以三角板、直尺為背景材料設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問題,結(jié)合“平面圖形的認(rèn)識(shí)”進(jìn)行分類評(píng)析,與同學(xué)們分享.

    一、由一塊直角三角板和直尺組成的問題

    此類問題是將直角三角板與直尺疊放在一起,利用平角、直角三角板的內(nèi)角度數(shù)的兩種情況:90°,45°,45°和90°,60°,30°,求邊線形成的角度.解這類題要利用好對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、余角等知識(shí)點(diǎn).

    例1(2012·孝感)如圖1,某同學(xué)在課桌上隨意將一塊三角板的直角疊放在直尺上,求∠1+∠2的度數(shù).

    圖1

    【解答】如圖1所示,

    ∵∠1和∠3互為對(duì)頂角,∴∠1=∠3,

    又∵∠2和∠4互為對(duì)頂角,∴∠2=∠4,

    ∴∠1+∠2=∠3+∠4,

    又∵∠A=90°,∴∠3+∠4=90°,

    ∴∠1+∠2=90°.

    【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)頂角的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是把所求角與已知角轉(zhuǎn)化到同一個(gè)直角三角形中,利用三角板直角的特性,尋找角的等量關(guān)系.

    例2(2010·荊州)如圖2,一根直尺EF壓在三角板30°的角∠BAC上,與兩邊AC、AB交于M、N.那么∠CME+∠BNF是().

    A.150°B.180°

    C.135°D.不能確定

    圖2

    【解答】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可知,

    ∠CME=∠NMA,∠BNF=∠MNA,

    所以∠CME+∠BNF=∠NMA+∠MNA.

    又因?yàn)椤螹NA+∠NMA+∠A=180°,∠A=30°,

    所以∠MNA+∠NMA=180°-30°=150°.

    從而可知,∠CME+∠BNF=150°,故選A.

    【點(diǎn)評(píng)】本題以同學(xué)們非常熟悉的三角板和直尺為背景,創(chuàng)設(shè)了既具有一定現(xiàn)實(shí)意義又貼近學(xué)習(xí)生活的問題情境,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系,能激發(fā)同學(xué)們將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中去.

    例3(2015·四川廣元,改編)一直角三角板與一直尺如圖3所示方式擺放,并且∠1比∠2大50°,求∠1與∠2的度數(shù).

    圖3

    【解答】∵∠1比∠2大50°,

    ∴∠1=∠2+50°,

    ∵∠1與∠2互余,∴∠1+∠2=90°,

    ∴∠2+50°+∠2=90°,∴∠2=20°,

    ∴∠1=20°+50°=70°.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了補(bǔ)角和余角的概念,以及方程思想的運(yùn)用.

    二、由一副直角三角板組成的問題

    一副直角三角板是由兩種直角三角形(30°,60°,90°和45°,45°,90°)組成.以它為媒介,充分利用這些角度和邊長(zhǎng)之間的關(guān)系進(jìn)行拼接,可以拼出許許多多、形形色色的數(shù)學(xué)題,挖掘很多的數(shù)學(xué)知識(shí).解決這類中考試題,我們要認(rèn)清這樣的一些事實(shí):它的每個(gè)角的度數(shù),邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系,角與邊之間的關(guān)系.要充分利用這些隱含的條件,再結(jié)合其他的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題.當(dāng)然同學(xué)們?cè)谒伎紗栴}時(shí),自然也會(huì)用手中的直角三角板實(shí)際操作,更能體現(xiàn)中考注重“做數(shù)學(xué)”的原則.

    例4(2014·漳州)如圖4,將一副直角三角尺疊放在一起,使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O,繞點(diǎn)O任意轉(zhuǎn)動(dòng)其中一個(gè)三角尺,則與∠AOD始終相等的角是_______.

    【解答】∵∠AOB=∠COD=90°,

    ∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD,

    ∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-∠BOD,

    ∴∠AOD=∠BOC.

    故答案為:∠BOC.

    【點(diǎn)評(píng)】本題以同學(xué)們非常熟悉的一副直角三角板為背景,為大家提供動(dòng)手實(shí)踐操作設(shè)計(jì)的空間.因?yàn)槭且桓敝苯侨前?,所以∠AOB=∠COD=90°,再利用∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD,∠BOC=∠COD-∠BOD= 90°-∠BOD,同角的余角相等,可知與∠AOD始終相等的角是∠BOC.本題主要考查了余角和補(bǔ)角,用到同角的余角相等.

    例5(2015·菏澤)將一副直角三角尺如圖5放置,若∠AOD=20°,則∠BOC的大小為().

    圖4

    圖5

    A.140°B.160° C.170°D.150°

    【解答】∵將一副直角三角尺如圖放置,∠AOD=20°,

    ∴∠COA=90°-20°=70°,

    ∴∠BOC=90°+70°=160°.

    故選:B.

    【點(diǎn)評(píng)】在進(jìn)行角度的有關(guān)計(jì)算時(shí),一個(gè)角在必要時(shí)應(yīng)將其拆成幾個(gè)角的和與差以及互余的關(guān)系,以便快速解決問題.

    例6(2015·黑龍江綏化)將一副三角尺按如圖方式進(jìn)行擺放,∠1、∠2不一定互補(bǔ)的是().

    【分析】如果兩個(gè)角的和等于180°(平角),就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角,即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角,據(jù)此分別判斷出每個(gè)選項(xiàng)中∠1+∠2的度數(shù)和是不是180°,即可判斷出它們是否一定互補(bǔ).

    【解答】如圖6,

    ∵∠2+∠3=90°,∠3+∠4=90°,

    ∴∠2=∠4,

    ∵∠1+∠4=180°,∴∠1+∠2=180°.

    ∴∠1、∠2互補(bǔ).

    圖6

    圖7

    如圖7,

    ∵∠2+∠4=90°,∠3+∠4=90°,

    ∴∠2=∠3,

    ∵∠1+∠3=180°,

    ∴∠1+∠2=180°,

    ∴∠1、∠2互補(bǔ).

    如圖8,

    ∵∠2+∠3=90°,∠3+∠4=90°,

    ∴∠2=∠4,

    ∵∠1+∠4=180°,

    ∴∠1+∠2=180°,

    ∴∠1、∠2互補(bǔ).

    圖8

    圖9

    如圖9,

    ∵∠1=90°,∠2=60°,

    ∴∠1+∠2=90°+60°=150°,

    ∴∠1、∠2不互補(bǔ).故選:D.

    【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了余角和補(bǔ)角的性質(zhì)和應(yīng)用,解答此題的關(guān)鍵是要明確:同角(等角)的補(bǔ)角相等,同角(等角)的余角相等,并能分別判斷出每個(gè)選項(xiàng)中的∠1+∠2的度數(shù)和是不是180°.

    中學(xué)數(shù)學(xué)課程,其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展.它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn),更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律,強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程,進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí),在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展.

    直尺與一副三角板是大家學(xué)習(xí)生活當(dāng)中經(jīng)常使用的測(cè)量工具和作圖工具,當(dāng)它們走進(jìn)中考試題時(shí),你們對(duì)它們有著異樣的親切感,這類題目巧妙地使直尺與三角板、三角板與三角板成為一對(duì)對(duì)默契搭檔,不斷地在中考中演繹出精彩,更好地激發(fā)你們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,更讓你們體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)生活,生活處處有數(shù)學(xué).通過對(duì)這類試題的解決,能夠充分鍛煉你們的數(shù)學(xué)思維,使你們體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂和成功感,有助于提升你們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

    江蘇省吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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