基于零控脫靶量的衛(wèi)星末端追逃控制方法

王強， 葉東， 范寧軍， 吳炎烜

(1.北京理工大學 機電學院，北京 100081；2.國防知識產(chǎn)權局，北京 100088；3.哈爾濱工業(yè)大學 衛(wèi)星技術研究所，黑龍江，哈爾濱 150001)

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基于零控脫靶量的衛(wèi)星末端追逃控制方法

王強1，2， 葉東3， 范寧軍1， 吳炎烜1

(1.北京理工大學 機電學院，北京 100081；2.國防知識產(chǎn)權局，北京 100088；3.哈爾濱工業(yè)大學 衛(wèi)星技術研究所，黑龍江，哈爾濱 150001)

針對攔截衛(wèi)星和目標航天器都可以采用幅值受限連續(xù)推力進行軌道機動時的衛(wèi)星末端攔截控制問題，由于對抗雙方都會采用對自己有利的控制策略來實現(xiàn)追擊和逃逸，因此將該問題可以看作追蹤逃逸問題. 由于兩衛(wèi)星距離較近，因此將非線性攔截逃逸相對動力學簡化為CW方程. 根據(jù)攔截任務終止要求引入零控脫靶矢量將動力學方程降階，采用攔截脫靶量和燃料消耗作為二次最優(yōu)目標函數(shù)，推導了衛(wèi)星軌道次優(yōu)控制策略. 仿真表明該控制方法可以在目標衛(wèi)星具有機動逃逸能力時仍能成功將其攔截.

衛(wèi)星追逃；連續(xù)推力；零控脫靶量；燃料子優(yōu)控制

衛(wèi)星作為航天器的主體為國家安全提供重要的保障，它可以為指揮者制定作戰(zhàn)策略提供有效戰(zhàn)場信息，為導彈、飛機等傳遞制導導航指令，為地面其他作戰(zhàn)單元提供環(huán)境信息和作戰(zhàn)命令. 因此采用攜帶戰(zhàn)斗部或軟殺傷武器的攔截衛(wèi)星，在戰(zhàn)爭時期對于戰(zhàn)場上方或者本國領土上方空域的偵查衛(wèi)星和預警衛(wèi)星進行攔截可以保證己方在作戰(zhàn)中具有優(yōu)勢.

當攔截衛(wèi)星和目標之間的距離很近時，認為衛(wèi)星攔截過程進入到終端攔截，此時攔截衛(wèi)星自身攜帶的電子偵測設備可以識別并定位目標衛(wèi)星. 學者們對于目標衛(wèi)星無法進行機動時攔截衛(wèi)星的控制策略進行充分的研究. 高曉光等[1]基于改進高斯法(IGM)和遺傳算法(GA)的混合優(yōu)化算法，為解決空間攔截軌道燃料消耗和轉移時間的綜合最優(yōu)問題，提出一種空間攔截軌道設計方法. Lu S等[2]針對目標航天器運行軌道為橢圓且星間無通信時衛(wèi)星交會問題，采用Lawden方程作為動力學模型，提出了一種幅值有限連續(xù)推力交會的自適應軌道控制方法. 變推力發(fā)動機可進行閉環(huán)控制，精度極高. Singla等[3]針對星載設備測量不確定性，根據(jù)輸出反饋控制提出了結構模型參考自適應控制器，并將其應用在衛(wèi)星自動交會過程中.

目標軌道靜止時衛(wèi)星交會和攔截的研究技術已經(jīng)在航天工程領域得到應用. 但對于攔截問題，更嚴格的場景中目標航天器也可以實施軌道機動對攔截器進行躲避. 此時該問題可以看作衛(wèi)星非合作交會對接，鄔樹楠等[4]針對快速接近非合作目標航天器任務，提出了一種基于觀測器的相對軌道有限時間控制算法. Gao H等[5]針對衛(wèi)星交會中存在的參數(shù)不確定，未知干擾和控制輸入受限等問題，基于Lyapunov穩(wěn)定理論提出了一種H1狀態(tài)反饋魯棒控制器. 作者將多個控制目標，轉化為線性矩陣不等式，求解得到有效控制參數(shù).

上述方法在求解控制策略時已經(jīng)考慮了目標的機動能力，但它們并沒有考慮攔截和目標衛(wèi)星機動的最優(yōu)性. 更合理的方法將該問題看作零和微分對策問題，Iaacs首先在該領域展開研究，并將對策雙方都選擇對自己有利的控制策略時的解定義為鞍點解[6]. Menon[7]利用反步法和二次目標函數(shù)得到控制輸出具有飽和特性時航天器追逃問題的反饋控制策略，然而其仿真中所用推力加速度很大不具有工程意義. Mauro等將攔截問題轉化為TPBVP，提出半直接法來求解鞍點解. 該方法被應用在兩航天器遠距離攻防攔截逃[8]問題中. Stupik[9]采用Kriging方法在CW方程的基礎上研究了衛(wèi)星攻防實時反饋解的求取，文章利用打靶法計算不同初值時的雙邊最優(yōu)解，并將這些最優(yōu)解進行插值獲得初態(tài)域和干擾有限時的次優(yōu)反饋控制策略.

上述方法求解得到的是雙邊最優(yōu)控制開環(huán)解，不能直接為攔截衛(wèi)星提供有效的實時反饋控制. 本文將研究攔截衛(wèi)星和目標航天器都采用幅值受限連續(xù)推力進行軌道機動時的末端攔截問題，由于攔截衛(wèi)星和目標會采用對自己有利的控制策略，因此采用微分對策理論進行分析. 兩衛(wèi)星相對距離較近，因此非線性相對動力學模型將被簡化為CW方程. 通過引入零控脫靶矢量對系統(tǒng)降維，聯(lián)合燃料消耗和攔截脫靶量構建對策目標函數(shù)，推導了燃料次優(yōu)反饋控制策略. 通過仿真分析了所提出方法的優(yōu)缺點.

1 相對動力學模型

如圖1所示，在攔截衛(wèi)星P附近建立虛擬衛(wèi)星O軌道，以O為原點建立相對軌道坐標系Oxyz，其中Ox軸指向衛(wèi)星O的位置矢量r1方向，Oz軸沿軌道角動量矢量方向，Oy軸在軌道與Ox，Oz成右手系. 假設：① 衛(wèi)星P為質點模型；② 虛擬衛(wèi)星O無機動；③ 忽略地球非球形攝動，大氣阻力攝動，太陽光壓和其他天體產(chǎn)生的引力攝動項的影響. 最后兩項假設可以保證參考衛(wèi)星軌道的形狀不發(fā)生變化.

令攔截衛(wèi)星P在慣性坐標系下的位置矢量為r2，可得到兩星在赤道慣性坐標系下的動力學方程為

(1)

(2)

虛擬衛(wèi)星軌道坐標系為旋轉動坐標系，則由矢量求導關系可得

(3)

式中：δr′表示δr的相對導數(shù)；Ω為虛擬軌道角速度.

(4)

式中：u=[uxuyuz]為攔截衛(wèi)星推力加速度矢量；

；

式(4)稱為CW方程，其線性形式給衛(wèi)星交會和攔截的求解帶來了方便. 文獻[4-5]中給出的軌道動力學模型假定目標航天器靜止或加速度極小，因此其動力學模型與本文有區(qū)別.

(5)

其中Φ11，Φ12，Φ21，Φ22可參考文獻[9]給出.

假設攔截衛(wèi)星P和目標E相對距離遠小于兩星質心到地心的距離，則可在其附近設置虛擬衛(wèi)星，分別對攔截衛(wèi)星和目標，在該虛擬衛(wèi)星軌道坐標系下建立相對軌道運動學方程，可得如下式

(6)

式中xP，E分別為攔截衛(wèi)星和目標在虛擬軌道坐標系下的狀態(tài).uP，E為兩星的推力加速度. 它們滿足如式(7)所示幅值限制

(7)

為分析簡單，將攔截衛(wèi)星和目標的相對位置和速度作為新狀態(tài)xPE=xP-xE，對xPE求導可得

(8)

其中C=-B.

z方向運動與軌道面內(nèi)運動解耦，后面的控制器設計和分析只針對軌道面內(nèi)運動，此時系統(tǒng)方程與式(4)相似，但參數(shù)矩陣發(fā)生變化.

2 衛(wèi)星追蹤逃逸的次優(yōu)控制策略

由于衛(wèi)星自身攜帶燃料的約束，衛(wèi)星攔截時間有限. 而在追蹤逃逸過程中，攔截衛(wèi)星與目標圍繞攔截結束時的距離展開爭奪，因此只考慮兩星的位置矢量，引入零控脫靶矢量(ZEM)來將系統(tǒng)的維度降低[10]

Z(t)=DΦ(tf，t)xPE(t)=

(9)

式中：tf為衛(wèi)星攔截結束時間；Φ(tf，t)為xy方向動力學系統(tǒng)從時間t運動到tf時的狀態(tài)轉移矩陣；Z表示系統(tǒng)從t時刻無控轉移到末端時的脫靶矢量，根據(jù)系統(tǒng)理論可得零控脫靶矢量的狀態(tài)轉移矩陣滿足

(10)

對零控脫靶矢量關于時間求導可直接得到動力學方程

(11)

式中系數(shù)矩陣BP=-CE=Φ12(tf，t).

在衛(wèi)星追蹤逃逸過程中，攔截衛(wèi)星和目標盡可能使脫靶量對自己有利，因此定義脫靶量為終端目標函數(shù)；為延長攔截衛(wèi)星作用時間，得到反饋控制輸出，因此附加燃料消耗項作為過程控制目標函數(shù). 最終的目標函數(shù)為

(12)

式中：Q=qI2>0為二次系數(shù)矩陣；RP和RE都為正定矩陣. 而γ依賴攔截衛(wèi)星和目標的推力，定義了前者機動能力優(yōu)于后者的程度. 系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)如下式.

(13)

式中λ為系統(tǒng)狀態(tài)的協(xié)態(tài)變量.

為得到反饋控制器，先假設兩星的控制輸出滿足式(7)給出的幅值約束. 對系統(tǒng)哈密頓函數(shù)使用極大極小值可得攔截衛(wèi)星和目標航天器的控制輸出為

系統(tǒng)的共軛方程和協(xié)態(tài)變量終端條件如下

(15)

則有λ=λ(tf)=QZ(tf). 將兩星控制輸出帶入到系統(tǒng)動力學方程中可得

對式(16)積分，并帶入?yún)f(xié)態(tài)變量整理后可得終端時刻的零控脫靶矢量為

Z(tf)=F-1(tf，t)Z(t).

(17)

其中

令RP=RE=RI2，Q=qI4，定義攔截剩余時間為tgo=tf-t，因此F(tf，t)可以如下給出

(18)

將式(18)帶入到(14)中，可得反饋控制的顯式形式為

uP=-q/RF-1Z， uE=-q/(Rγ2)F-1Z.

(19)

該控制策略具有最優(yōu)性[11]. 系統(tǒng)閉環(huán)軌跡可將控制輸出帶入方程中積分得到.

若預期控制指令幅值超過推力上限，則無法得到最優(yōu)控制. 下面給出一個可以實用的次優(yōu)控制策略.

對于變量x定義它的飽和函數(shù)為[12]

對于哈密頓函數(shù)，利用函數(shù)取極大極小值的必要條件得到兩星最優(yōu)控制輸出，并將其帶入到狀態(tài)方程，可以得到

此時系統(tǒng)共軛方程和橫截條件與式(15)相同，對式(21)積分，可以得到終端時刻零控脫靶矢量滿足式(22)

(22)

式中Z(tf)為飽和函數(shù)的自變量，無法得到解析Z(t)，為了給出反饋解，依然假設等式成立. 此時攔截衛(wèi)星和目標航天器的控制輸出可如下給出

綜上，考慮目標航天器的機動能力時，兩星的反饋控制策略可如式(23)給出，明顯只有當攔截衛(wèi)星和目標的預定控制輸出滿足式(7)的幅值約束時，該策略為最優(yōu)控制，否則非最優(yōu).

3 仿真和控制性能分析

假設攔截衛(wèi)星和目標航天器都在地球同步軌道周圍運動，則將虛擬衛(wèi)星選為GEO上軌道與這兩星相近的衛(wèi)星. 軌道角速度為ω=7.272 2×10-5rad/s. 攔截和目標衛(wèi)星的推力加速度幅值上限分別為ρP=0.686 m/s2和ρE=0.343 m/s2，分別對兩組算例進行仿真.

① 攔截衛(wèi)星和目標初始時刻的狀態(tài)分別為

[-2，-1，0.005，0.001]T，[0，0，0，0]T，即目標衛(wèi)星初始時刻與虛擬衛(wèi)星位置相同，其中位置與速度的單位分別為km和km/s. 其他參數(shù)為R=1，Q=1，γ=2. 對攔截結束時間在200～2 000 s變化的攔截逃逸場景進行仿真，統(tǒng)計兩星攔截結束時的距離，可得圖2，可以看到，脫靶量隨攔截結束時間增大而減小，只有當攔截結束時間大于500 s時，脫靶量才能小于50 m. 當攔截時間為200 s時，脫靶量為149.89 m，大于100 m，可認為攔截失敗. 當攔截時間為600 s時，脫靶量為32.49 m. 此時兩星的相對距離如圖3所示. 圖4給出兩星的攔截逃逸軌跡. 可以看到隨著剩余時間減少，兩星的相對位移逐漸減少，在攔截時刻，y方向的相對位移收斂到較小值，而x方向仍有較小位置差異.

圖5和圖6給出了600 s時兩星在攔截逃逸過程中的推力加速度的變化曲線. 可以看到，兩星在初始時刻都不采用幅值最大的控制策略，直到攔截快要結束時，攔截衛(wèi)星最先開始使用最大幅值輸出控制，而目標衛(wèi)星的控制輸出也逐漸增大到最大幅值.

② 攔截衛(wèi)星和目標初始狀態(tài)分別為[-2.000，1.000，0.005，0]T和[2.000，-1.000，-0.005，0]T，即兩星關于狀態(tài)空間零點對稱. 攔截結束時間為1 000 s，可得攔截過程中兩星相對位置的變化曲線和兩星軌跡如圖7和圖8所示.

此時由于攔截衛(wèi)星初始時刻具有x正方向的速度，因此會先向右運動，而隨后由于目標衛(wèi)星向左運動，又向右運動追擊目標. 圖9和圖10給出了兩星的加速度曲線，明顯此時攔截衛(wèi)星和目標在攔截結束時刻的加速度幅值也迅速變大，直到達到上限.

上面兩個仿真工況中，攔截衛(wèi)星和目標航天器的控制矢量實時同向，這可以由式(23)得到，具體由于式(20)給出的飽和函數(shù)只改變自變量的幅值大小，而保留了它的方向性質，因此攔截衛(wèi)星和目標的控制向量實時共線，同向可以從式(23)中的負號以及BP=-CE得到.

4 結 論

研究了攔截衛(wèi)星和目標航天器都采用幅值有限連續(xù)推力進行變軌時的衛(wèi)星末端攔截軌道控制問題. 由于兩衛(wèi)星相對距離較近，因此可以在其附近建立虛擬衛(wèi)星軌道，進而簡化相對運動方程得到攔截逃逸動力學模型. 通過引入零控脫靶矢量可以將系統(tǒng)方程降維. 利用微分對策理論推導了系統(tǒng)的鞍點平衡解，最后得到了攔截衛(wèi)星在考慮目標最優(yōu)機動下的次優(yōu)反饋控制律. 仿真表明了該控制策略的有效性，并表明采用該策略時，攔截結束時間增加，攔截脫靶量減小；攔截衛(wèi)星和目標在追蹤逃逸過程中任何時刻的控制推力同向，而推力幅值剛開始時變化較小，攔截結束前迅速增加，最后達到衛(wèi)星所能提供的最大推力.

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(責任編輯：劉雨)

Terminal Orbital Control of Satellite Pursuit Evasion Game Based on Zero Effort Miss

WANG Qiang1，2， YE Dong3， FAN Ning-jun1， WU Yan-xuan1

(1.School of Electromechanical， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081, China；2.National Defense Intellectual Property Office， Beijing 100088, China；3.Institute of Satellite Technology， Harbin Institute of Technology， Harbin, Heilongjiang 150001, China)

In the satellite interception control strategies, both the interceptor and target could perform orbital maneuver with limited magnitude continuous thrust. Basically, this problem was regarded as a pursuit-evasion game since satellites in both sides would try their best to catch or escape. Assumption that the two player were close such that the nonlinear interception dynamics could be reduced to the CW equations. Zero effort miss was introduced to simplify the system. The controller was constructed by adding the interception miss and the fuel consumption to the optimal objective. Simulation was conducted to analyze the advantage and weakness of proposed control strategy.

satellite pursuit-evasion game; continuous thrust; zero effort miss; fuel suboptimal control

2015-11-17

中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目(HIT.NSRIF.2015033)；微小型航天器技術國防重點學科實驗室開放基金資助項目(HIT.KLOF.MST.201501)

王強(1977—)，男，博士生，E-mail：yeboyansha@163.com.

葉東(1985—)，男，博士，講師，E-mail:yed@hit.edu.cn.

V 27

A

1001-0645(2016)11-1171-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.11.014