代數(shù)搭橋，巧算面積

安徽省蕪湖市鏡湖區(qū)教育局(241000)

吳定根●

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代數(shù)搭橋，巧算面積

安徽省蕪湖市鏡湖區(qū)教育局(241000)

吳定根●

馬克思說過:“代數(shù)是懶人的算術(shù)”.一語道破了代數(shù)解題的便捷性.學(xué)會(huì)用代數(shù)法解題，就好比掌握了解題的“金鑰匙”.

一些數(shù)量關(guān)系較為隱蔽的幾何圖形的面積計(jì)算，僅機(jī)械地應(yīng)用幾個(gè)求積公式，是難以解答的.如果能運(yùn)用代數(shù)思想，抓住問題與條件間的紐帶，充分利用已知條件中的數(shù)值，讓代數(shù)牽線搭橋，就可巧算面積.下面就是幾個(gè)很好的實(shí)例.

例1 已知圖中四分之一圓的面積為157cm2，求陰影部分的面積.

怎樣計(jì)算正方形面積，是解答本題的關(guān)鍵.可以1/4圓的面積157cm2為突破口，追本求源.借助代數(shù)，將1/4圓的半徑(正方形邊長(zhǎng))設(shè)為rcm，其面積可表示為：πr2/4，先求出r2值. 因?yàn)棣衦2/4 = 157, 所以r2=157÷(1/4)÷3.14=200(cm2)，而r2的值所表示的意義，不正是正方形面積嗎？這樣，問題就迎刃而解了，陰影部分的面積是： 200-157=43(cm2).

例2 已知右圖中的兩個(gè)正方形相差400 cm2.求圓A比圓B的面積多多少平方厘米.

乍看此題，好像這兩幅圖沒有直接關(guān)系.其實(shí)，題中的兩個(gè)正方形的面積差，已將本無直接關(guān)系的兩圖緊系在一起了.

從兩個(gè)正方形的關(guān)系入手，創(chuàng)設(shè)新的條件后，再解決兩圓面積差的問題.

令大正方形邊長(zhǎng)為A圓的兩個(gè)半徑(2R)，那大正方形的面積可表示為： 2R×2R=4R2. 再設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為B圓的兩個(gè)半徑(2r),那么小正方形面積可表示為： 2r×2r=4r2.由兩個(gè)正方形的面積差400cm2可知：4R2-4r2=4(R2-r2)=400， 那么，R2-r2=400÷4=100(cm2) .

這個(gè)條件的創(chuàng)設(shè)，為求兩個(gè)圓面積差鋪平了道路： 3.14×R2-3.14×r2=3.14×(R2-r2)=3.14×100=314(cm2)

例3 如圖，任意五邊形ABCDE的周長(zhǎng)為64cm，O點(diǎn)到各邊的距離都是12cm，求五邊形ABCDE的面積.

例4 求右圖的面積.

例5 右圖長(zhǎng)方形面積為35cm2，左邊直角三角形的面積為5cm2，右上角直角三角形面積為7cm2,求陰影部分的面積.

因此，圖中的陰影面積為：35-(7+5+7.5)=15.5(cm2)

以上各題都是抓住題中隱蔽條件的連接點(diǎn)，依據(jù)已知條件的數(shù)值，用代數(shù)法求出相關(guān)未知量的數(shù)值，以轉(zhuǎn)化條件，達(dá)到化難為易之目的，巧算面積.這里，代數(shù)僅起到橋梁作用，而并不需要求代數(shù)的解.可見，學(xué)會(huì)從代數(shù)的視角思考算術(shù)求積問題，讓代數(shù)與算術(shù)完美結(jié)合，確實(shí)是將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的有效策略.當(dāng)然，上述各題也可以用其他方法解答.本文只是以此為例，談如何運(yùn)用代數(shù)法求積而已.

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1008-0333(2016)23-0007-01