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    由一道高考題談數(shù)形結(jié)合

    2016-12-16 08:20:10張永亮
    數(shù)理化解題研究 2016年28期
    關(guān)鍵詞:高考題一元二次方程圖象

    張永亮●

    陜西省安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(725000)

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    由一道高考題談數(shù)形結(jié)合

    張永亮●

    陜西省安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院(725000)

    對(duì)參數(shù)范圍的考查,是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),也是高考的熱點(diǎn).本文就浙江省2015年高考數(shù)學(xué)卷理科21題討論參數(shù)范圍的代數(shù)方法和數(shù)形結(jié)合思想.

    不等式;參數(shù);數(shù)形結(jié)合

    數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法,包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面,其應(yīng)用大致可以分為兩種情形:或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)為目的,比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì);或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的,如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

    分析 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值、分段函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查推理論證能力,分類討論等分析問題和解決問題的能力.

    例2 若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

    分析 將對(duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形,轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問題,再利用二次函數(shù)的圖象進(jìn)行解決,也可以直接用m表示出一元二次方程的根,再討論根的范圍.

    設(shè)曲線y1=(x-2)2,x∈(0,3)和直線y2=1-m,圖象如圖所示.

    由圖可知:(a)當(dāng)1-m=0時(shí),有唯一解,m=1;(b)當(dāng)1≤1-m<4時(shí),有唯一解,即-3

    解法二 原方程在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解,等價(jià)于方程-x2+3x-m=3-x在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解,即x2-4x+m+3=0在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解.

    (a)Δ=0時(shí),即m=1時(shí),方程為x2-4x+4=0,有唯一解x=2∈(0,3).

    綜上,要使原方程在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解,m=1或-3

    [1] 張肇平,吳佳薇 .一道高考題的多種解法 [J] . 理科考試研究,2010,38(2):20-23

    [2] 李明,唐小惠.巧用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2010,29(4):54

    [3] 曲一線.五年高考三年模擬[M] .北京:首都師范大學(xué)出版社,2016

    G632

    B

    1008-0333(2016)28-0032-01

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