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    常用邏輯用語中的參數(shù)范圍問題歸類解析

    2016-12-16 02:32:34安徽省樅陽縣會宮中學246740
    數(shù)理化解題研究 2016年31期
    關鍵詞:值域量詞用語

    安徽省樅陽縣會宮中學(246740)

    付朝華● 朱賢良●

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    常用邏輯用語中的參數(shù)范圍問題歸類解析

    安徽省樅陽縣會宮中學(246740)

    付朝華● 朱賢良●

    在我們日常交往、學習和生活中,邏輯用語是必不可少的工具,正確、合理地使用邏輯用語,就成為現(xiàn)代社會公民必須具備的基本素質之一.數(shù)學是一門邏輯性非常強的學科,表述數(shù)學概念和結論、進行推理和認證,都要使用邏輯用語.在常用邏輯用語的學習中,常常會遇見許多求參數(shù)取值范圍的問題,本文擬對此類問題作一歸類解析,供讀者朋友參考.

    一、充分、必要條件中的參數(shù)范圍問題

    由x2-2x+1-m2>0(m>0)得x<1-m或x>1+m,故q:x<1-m或x>1+m.

    點評 本題以不等式為載體來考查充分、必要條件,求解的關鍵在于將其轉化為集合間的包含關系.特別需要注意的就是區(qū)分子集關系與真子集關系,比如本題中“p是q的必要不充分條件”的意思是“BA”,若改為“p是q的必要條件”,則意思是“BA”.

    點評 本題求解過程中,先求出函數(shù)f(x)有且只有一個零點的充要條件所對應的參數(shù)a的范圍,再根據(jù)集合間的包含關系找到充分不必要條件.

    二、復合命題中的參數(shù)范圍問題

    點評 此類已知復合命題真假性求參數(shù)取值范圍問題,經(jīng)常先借助真值表判斷p與q的真假性,再利用集合的觀點進行轉化:設參數(shù)所有可能的取值集合為U,若命題p為真時參數(shù)的取值集合為A,則命題p為假時參數(shù)的取值集合為UA;若命題q為真時參數(shù)的取值集合為B,則命題q為假時參數(shù)的取值集合為UB.因此,p與q一真一假時,參數(shù)的取值范圍就是(A∩UB)∪(B∩UA).

    例4 設命題p:關于x的方程2x2+x+a=0的兩個根x1、x2滿足x1<1

    因為p∨q為真命題,即p為真命題或q為真命題,故a<-3或a>1.

    點評 要避免在兩處轉化時犯錯:一是將命題p、q為真命題正確轉化為對應的參數(shù)范圍,二是將命題p∨q為真正確轉化為p與q的真假性.

    三、全稱命題與特稱命題中的參數(shù)范圍問題

    若0

    若a≥1,則f(x)在(0,a)上遞減,在(a,+)上遞增,故1≤a≤2.

    綜上,實數(shù)a的取值范圍是a≤2.

    例6 已知命題p:?x∈R,使得4x-2x+1+m=0成立,且p為假命題,則實數(shù)m的取值范圍是____.

    點評 轉化為方程有解問題處理:關于t的方程f(t)=m有解m的取值范圍是函數(shù)f(t)的值域.

    四、雙量詞命題中的參數(shù)范圍問題

    例7 已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若?x1∈[-1,2],?x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),則實數(shù)a的取值范圍是____.

    分析 由題意,?x1∈[-1,2],?x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2)x1∈[-1,2],x2∈[-1,2]時,f(x1)的值域是g(x2)值域的子集,即[-1,3]?[2-a,2+2a],即得a≥3.

    點評 本題求解的關鍵在于將題意即含雙量詞的命題等價轉化:?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)=g(x2)f(x1)在D1上的值域?g(x2)在D2上的值域.

    分析 由題意,?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得f(x1)>g(x2)x1∈[0,3],x2∈[1,2]時,f(x1)min>f(x2)min,即,即

    點評 與例7相同的是本題中也含“任意”與“存在”雙量詞,但本題是不等式“f(x1)>g(x2)”.求解這類問題時的等價轉化形式為:①?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2)f(x1)min>g(x2)min;②?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)

    G632

    B

    1008-0333(2016)31-0014-02

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