《九章算術(shù)》方程章“麻麥”問劉徽注中“算”字新釋及方程“舊術(shù)”新校

魏雪剛 郭世榮

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院,呼和浩特 010022)

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《九章算術(shù)》方程章“麻麥”問劉徽注中“算”字新釋及方程“舊術(shù)”新校

魏雪剛 郭世榮

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院,呼和浩特 010022)

在分析前人對《九章算術(shù)》方程章“麻麥”問之劉徽注中的方程“舊術(shù)”和“新術(shù)”的研究基礎(chǔ)上,對其中“凡用七十七算”和“一百二十四算”之“算”做了新的解釋,認為“算”可做算籌解。此外,討論了校正“舊術(shù)”需要注意的幾個問題,并給出了與前人不同的新校正。

算 《九章筭術(shù)》方程章 方程舊術(shù)

劉徽在《九章算術(shù)》方程章第十八問“麻麥術(shù)”的注文中,有關(guān)于方程“舊術(shù)”和“新術(shù)”的討論。數(shù)學(xué)史家對于新、舊二術(shù)的理解,雖然都能在算理上說得通,但是在對劉徽注文的具體疏通?？鄙蠀s有不同的解讀。其中,各家對方程“新術(shù)”的校勘結(jié)果沒有本質(zhì)差別,且演算程序一致,而對“舊術(shù)”的術(shù)文校正則頗多分歧。清代戴震整理《九章算術(shù)》時就認為舊術(shù)文字“訛舛不可通”([1],187頁)。從他開始,不斷有學(xué)者對這段文字進行校正。這里,一個關(guān)鍵點是,劉徽在“舊術(shù)”結(jié)尾時總結(jié)說“如此凡用七十七算”,在“新術(shù)”后又說“如此凡一百二十四算”。然而,迄今為止,雖然各家已有的校改與解釋均能夠從數(shù)理和演算上自成體系,但都不能很好地解釋劉徽“凡用算若干”類用語的意思。因而劉徽所言“算”指什么？數(shù)學(xué)史學(xué)者一直沒有公認的意見,依然見仁見智。

既然大家對“新術(shù)”理解相同,沒有疑義,那么我們就可以嘗試從新術(shù)中尋求劉徽在什么意義上使用“算”字,然后再考察這個意義在舊術(shù)中能不能說得通。如果可以解釋得通,則說明對“算”的理解有其合理性。本文在假設(shè)“七十七算”和“一百二十四算”無誤的前提下,首先解釋“新術(shù)”中“一百二十四算”之“算”的含義,然后對“舊術(shù)”進行再校,分析它的“凡用算”情況,再結(jié)合“新舊”兩術(shù)給出對“算”的一種解釋。僅提供一家之言,就正于方家。

1 “算”的釋義

史家對“算”有三種具體解釋*白尚恕《九章算術(shù)注釋》(北京：科學(xué)出版社,1983,第293頁)給出了“舊術(shù)”細草,認為“凡用七十七算”為“共計77次運算”,但沒有給出如何算作一次運算。我們分析了幾種可能性,均未得到相合的解釋,故暫不論此說。。第一,李繼閔《〈九章算術(shù)〉校證》統(tǒng)計“新術(shù)”用124算時認為“每算出行、列中某位上一個新數(shù)據(jù),稱為一‘算’”([2],454頁)。第二,李繼閔《〈九章算術(shù)〉導(dǎo)讀與譯注》按照每算出行、列中某位上一個數(shù)據(jù),稱為一“算”來統(tǒng)計“舊術(shù)”所用的77算([3],674～676頁)。第三,郭書春《〈九章算術(shù)〉譯注》*1998年遼寧教育出版社出版的郭書春《九章算術(shù)》譯注本與《〈九章算術(shù)〉譯注》本對“算”解釋一樣,今取后者為例。認為“一算即一次運算”([4],362～364頁)。

圖1 算例示圖

下面我們對這三種解釋逐一進行分析。首先看第一種理解,它認為算出行列一個新數(shù)據(jù)為一算,也就是說,如果算得數(shù)據(jù)與舊數(shù)據(jù)相同則不能當做一算。舉例來說,如圖1,左側(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)過運算得到右側(cè)數(shù)據(jù),其中改變了三個數(shù)據(jù),所以這次運算當作3算。李繼閔統(tǒng)計“新術(shù)”用124算即采用這種說法。這里有兩點需要指出,首先,化簡相約時得到的新數(shù)據(jù)應(yīng)該計算在內(nèi),李繼閔沒有考慮這部分；其次,“新術(shù)”可以分為三部分,第一部分計算出“相與之率”,第二部分用“今有術(shù)”求解,第三部分用“列衰術(shù)”求解。劉徽說“如此凡用一百二十四算”,并沒有明確說明計算到哪一步為止,所以三種可能都要考慮,即計算到“相與之率”為止,到“今有術(shù)”為止,到“列衰術(shù)”為止。我們對“新術(shù)”核算的結(jié)果是共用了119+20+8算,也就是說,計算到“相與之率”為止用了119算,到“今有術(shù)”為止用了139算,到“列衰術(shù)”為止用了147算,無論如何都滿足不了124算。另外,按照這種理解,統(tǒng)計李繼閔校正的“舊術(shù)”所用的“算”數(shù),結(jié)果是68算,不是77算。

第二種理解認為無論重復(fù)與否,只要某個數(shù)據(jù)參加運算即為一算。上例中雖然有一個數(shù)據(jù)沒有變動,也應(yīng)該當作一算,所以上例共4算。按此理解,李繼閔校正的“舊術(shù)”所用的“算”數(shù)為77算。但是當用這種理解考察“新術(shù)”時,得到的“算”數(shù)卻是142+20+10算,結(jié)果是142算或162算或172算,皆與124算不符。

第三種理解認為運算一次就是一“算”。按此,上例當為1算。郭書春認為依照這種理解，他校正的“舊術(shù)”滿足77算。按照他的統(tǒng)計規(guī)則*郭書春認為類似“A行去B行頭位”這樣的論述,假設(shè)A行頭位數(shù)為a,B行頭位數(shù)為b,則它的運算步驟是：布置B行,以a遍乘B行,再b次減A行；統(tǒng)計“算”的規(guī)則是：“布置”為1算，“遍乘”為1算，b次減為b算,共1+1+b算。如“以第二行去第四行頭位”,第四行頭位為2,則本次“算”為1+1+2,即共4算。,“以右行去第二行頭位”一句,因第二行頭位為20,應(yīng)該是22算,而不是21算。所以其“舊術(shù)”應(yīng)該是78算,而不是77算。再者,利用這種對“算”的解釋,統(tǒng)計“新術(shù)”用算數(shù)當為250+11+6算,結(jié)果或250算或261算或267算,皆與124算不符。

綜上,這三種對“算”的解釋,只有第二種解釋符合了李繼閔對“舊術(shù)”的校正,其余則有出入。另外,它們都不能與“新術(shù)”用124算的論述相吻合。也就是說,以上三種對“算”的解釋有進一步討論的空間。

本文對“算”提出一種新的解釋,即每用一根算籌為一“算”。也就是說,“凡用算”指整個運算過程中用籌最多的一次計算所用算籌數(shù)。這里有兩點需要說明,第一,負數(shù)的“邪置”我們認為是斜放的意思,筆錄中用斜杠表示負數(shù),大概由此而來；第二,因為中算有“副置”的習(xí)慣,我們認為“舊術(shù)”中每步的具體演草過程當在主籌算板外另外計算,這部分演算不在考慮范圍之內(nèi)。分析“新術(shù)”細草可知,整個過程只有“次以左行減第三行下位。次以第三行去左行下位,訖,廢去第三行”([1],187頁)中的“次以左行減第三行下位”及“次以第三行去左行下位”兩步驟用籌最多,皆為124根算籌,分別見圖2*其中右、二、三、四、左表示第幾行,( )內(nèi)的阿拉伯數(shù)字表示本次用籌數(shù),為了方便籌算都換成阿拉伯數(shù)字。以下皆仿此。、圖3。為節(jié)省篇幅,不再逐一列出細草。另外,劉徽在論述新舊術(shù)之前有段類似引言的話,其中談到“記其施用之例,著策之數(shù),每舉一隅焉?！?[1],186頁)“策”就是算籌。由此可以看出,統(tǒng)計用算籌的數(shù)量是他的目的之一,所以“新術(shù)”中“凡用一百二十四算”是他統(tǒng)計的“著策之數(shù)”。

左四三二右-22-2623-25-2635-367-90-10994-124-1377793-8010110754-53530100次以左行減第三行下位(124)

圖2 “次以左行減第三行下位”算圖

左四三二右-91-2623-25-26125-367-372-10994-124-13731793-80101107204-53500100次以第三行去左行下位(124)

圖3 “次以第三行去左行下位”算圖

2 劉徽注方程“舊術(shù)”新校

2.1 各家對“舊術(shù)”的校勘

根據(jù)郭書春的研究,現(xiàn)存方程章的版本有兩個系統(tǒng)[5]。前人對方程章“舊術(shù)”的?？倍嘁赃@兩個系統(tǒng)中的某一個或某幾個版本為底本。通過對校乾隆御覽本[1]、宜稼堂叢書《詳解九章算法》[6]、《四庫全書》本[7]、微波榭本[8],并且參考宋景昌《詳解九章算法札記》[9],發(fā)現(xiàn)這些版本只有一字之差,為了方便起見,暫稱它們?yōu)闂钶x本。這段文字衍脫嚴重,不易通讀,但它卻是各家校證的基礎(chǔ),現(xiàn)錄如下*因研究者對這段文字的句讀有所差別,故此處暫不加標點。：

以舊術(shù)為之凡應(yīng)置五行今欲要約先置第三行以減第四行及減第三行次置第二行以第二行減第三行去其頭位次置右行去其頭位次以第四行減左行頭位次以左行去第四行及第二行頭位次以第五行減第二行頭位余可半次以第二行去第四行頭位余約之為法實如法而一得空即有黍價以法治*宜稼堂叢書《詳解九章算法》等本此處為“減”,郭書春在《匯校〈九章算術(shù)〉》(增補版,上)?？庇浿兄赋鏊涡１尽⒀a刊本、錢校本依孔刻本采用“治”字,其增補本從此說([10],400頁)。李繼閔也從此說。今從之。第二行得荅價左行得麥價第三行麻價右行得菽價如此凡用七十七算

2.1.1 戴敦元的?？苯Y(jié)果

李潢在《〈九章算術(shù)〉細草圖說》中給出了戴敦元的一個校正。此書以“微波榭本為底本細草圖說”([5],91頁),推測戴敦元可能是以微波榭本為底本做的?？?。這種校正改10字,添26字,移29字,共65字([10],414頁)。以后各家,如李銳[11]、李潢[12]、錢寶琮[13]、白尚恕[14,15]、沈康身[16]等,對“舊術(shù)”的校正雖然有時會用到不同的底本,但結(jié)果皆與此一致,故不再考慮他們的校正情況,僅錄出戴敦元校正本為例做一說明。戴敦元校改結(jié)果如下：

先置第四行,以減第三行。反減第四行,去其頭位。次置第二行,以第三行減第二行,去其頭位。次置右行及左行,去其頭位。次以第二行減右行頭位。次以右行去左行及第二行頭位。又去第四行頭位,余,可半。次以第四行減左行頭位。次以左行去第四行及第二行頭位。次以第二行去第四行頭位,余,約之為法。實如法而一,得六,即黍價。以法減第二行得荅價,左行得菽價,右行得麥價,第三行麻價。([12],1170～1171頁)

2.1.2 李繼閔的?？苯Y(jié)果

通過對?？芍?李繼閔《〈九章算術(shù)〉校證》校證該部分所用的底本與楊輝本相同。他的校正改2字,添8字,刪24字,移9字,共43字([2],101頁)。李繼閔校勘結(jié)果如下：

以舊術(shù)為之,凡應(yīng)置五行。今欲要約,先置第三行。以第四行反減第三行。以第三行去其頭位。次以第二行減右行。次置右行去其頭位；余可半。次以第四行減左行。次以左行去第四行及第二行頭位。次以第二行去第四行頭位。余,約之為法、實。如法而一得六,即黍價。以法治第二行得荅價,左行得菽價,右行得麥價,第三行麻價。如此凡用七十七算。([2],101頁)

2.1.3 郭書春的?？苯Y(jié)果

1990年郭書春在《匯?！淳耪滤阈g(shù)〉》一書中對“舊術(shù)”進行了校正,2004年他在《匯校〈九章算術(shù)〉(增補版)》(以下簡稱“增補本”)中做了修訂,得到新的校正結(jié)果。經(jīng)過比較可知,其后他對“舊術(shù)”的校正都依此說[4,17- 19]。所以,這里只給出他2004年的這種校正。對校知道,他對該部分的校正所用的底本與楊輝本一致。他的校正改11字,添30字,刪4字,移8字,共53字([10],401頁)。其結(jié)果如下：

以舊術(shù)為之,凡應(yīng)置五行。今欲要約。先置第三行,減以第四行,又減第五行；次置第二行,以第二行減第一行,又減第四行,去其頭位；余,可半；次置右行及第二行,去其頭位；次以右行去第四行頭位；次以左行去第二行頭位；次以第五行去第一行頭位,次以第二行去第四行頭位；余,可半；以右行去第二行頭位,以第二行去第四行頭位。余,約之為法、實,實如法而一,得六,即有黍價。以法治第二行,得荅價,右行得菽價,左行得麥價,第三行麻價。如此凡用七十七算。([10],368頁)

2.2 “舊術(shù)”再校

對“舊術(shù)”的校正需要考慮如下幾個問題：

(1)應(yīng)該合理解釋“置”字。原文“以舊術(shù)為之,凡應(yīng)置五行,今欲要約,先置第三行”中的兩個“置”意義相同,即放置或擺放。李繼閔將后一“置”訓(xùn)為“擱開或廢置”([2],99頁),值得進一步討論。劉徽為了“要約”并不是像傳統(tǒng)的方程術(shù)那樣,把五行全部擺放在算板上,而是逐一放置,且每次放置時都會說明,所以在沒有說明的情況下不應(yīng)該自行放置。但是,戴敦元本自行放置了第三行,郭書春自行放置了第四行。

(2)要注意左右行問題。通過方程章文本分析可知,沒有把左行說成是第五行,把右行說成第一行的情況,在校正“舊術(shù)”時應(yīng)該遵從這個原則。另外,左右兩字容易混淆,而左、右與第幾(如第一、第二等)是不易混淆的,故校正時應(yīng)該盡量不要把左、右行與第幾行互改。戴敦元本出現(xiàn)了第五行,并且有三處左、右行與第幾行互改的情況。增補本出現(xiàn)了第五行及第一行,并且有一處把右行與第四行互改的情況。

(3)李繼閔認為“舊術(shù)”消元的先后順序共有兩種可能,“三、右、左、二、四”和“三、左、右、二、四”[2]。究竟應(yīng)該是哪一種呢？因為我們在校證原文之前暫無法確定“舊術(shù)”中關(guān)于消元的次序,也就是說暫不把消元的順序作為判斷校正是否合理的依據(jù)。

(4)校正應(yīng)該較少地改動原文,這不僅涉及改動字數(shù)多少問題,而且還要考慮校正與原文的符合程度。

基于以上考慮,我們以楊輝本為底本給出新校如下：

以舊術(shù)為之,凡應(yīng)置五行,今欲要約,先置第三行及第四行,以減第三行。次置第二行,以第三行減第二行,去其頭位。次置右行,去其頭位。次以第二行減右行。次去第四行頭位。次以右行去第四行及第二行頭位,余可半。次以第四行去第二行頭位。次置左行,去其頭位。次去左行及第四行頭位。次以第二行去第四行頭位,余，約之為法。實如法而一,得六,即有黍價。以法治第二行得荅價,左行得菽價,右行得麥價，第三行麻價。如此凡用七十七算。

此校改6字,添25字,刪3字,移12字,共46字。

李繼閔曾把底本分為8個片段[2],討論校正后與底本相符程度。結(jié)果是戴敦元本有2個片段與底本一致,3個片段與底本較為接近,改寫了3個片段,增添了2個片段。按照他的規(guī)則,我們分析李繼閔“校證本”知,它有2個片段與底本一致,4個片段與底本較為接近,改寫了2個片段,增添了1個片段。增補本有1個片段與底本一致,4個片段與底本較為接近,改寫了3個片段,增添了2個片段。我們的校正有2個片段與底本一致,3個片段與底本較為接近,改寫了3個片段,增添了3個片段。綜合地看,我們的校正在與底本相符程度上,較之各家并不遜色。另外,這個校正沒有自行放置某行的情況,而且沒有出現(xiàn)第一行,第五行,以及左右行與第幾行互改的現(xiàn)象。下面我們給出新校演算圖(圖4),并統(tǒng)計其所用算籌數(shù)。

圖4 新校方程舊術(shù)演算圖

其中用籌最多一步用了77根算籌,符合“凡用七十七算”之說。

綜上可知,把“算”作算籌解,符合了“凡用一百二十四算”和“凡用七十七算”之說。此外,考察劉徽在方程章中有關(guān)“算”的其他用法,如“其拙于精理徒按本術(shù)者,或用算而布氈,方好煩而喜誤,曾不知其非,反欲以多為貴?！薄半m布算不多,然足以算多。”[1]等句,也是把算解釋為算籌的?，F(xiàn)存清代以前的《九章算術(shù)》版本,均用“筭”字。《說文解字》說“筭：長六寸。計歷數(shù)者。從竹從弄。言常弄乃不誤也?！盵20]此處“筭”即算籌。段玉裁在《說文解字注》稱：“‘筭’為‘算’之器,‘算’為‘筭’之用,二字音同而義別?！盵21]此處“筭”也作算籌解。概而論之,把方程章“麻麥”問劉徽注中的“算”字當作算籌解,有一定的合理之處。

致 謝 本文曾在上海交通大學(xué)夏至?xí)蠄蟾孢^,得到與會師友諸多寶貴意見,特此致謝。感謝趙佳佳同學(xué)幫助進行部分數(shù)據(jù)計算。感謝審稿人的建設(shè)性意見。

1 九章算術(shù)[M]//郭書春.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷.第1分冊.鄭州：河南教育出版社,1993．

2 李繼閔.《九章算術(shù)》校證[M].太原：山西科學(xué)技術(shù)出版社,1993．

3 李繼閔.《九章算術(shù)》導(dǎo)讀與譯注[M].西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社,1998．

4 郭書春.《九章算術(shù)》譯注[M].上海：上海古籍出版社,2009．

5 郭書春.中國科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷[M].北京：科學(xué)出版社,2010．

6 楊輝.詳解九章算法[M].宜稼堂叢書.1842(道光壬寅)．

7 九章算術(shù)[M]//欽定四庫全書·子部.文淵閣本．

8 九章算術(shù)[M]//靖玉樹.中國歷代算學(xué)集成.上.濟南：山東人民出版社,1994.128～137．

9 宋景昌.詳解九章算法札記[M]. 1842(道光壬寅)．

10 郭書春. 匯校《九章算術(shù)》·增補版[M].上.沈陽：遼寧教育出版社,臺北：臺灣九章出版社,2004．

11 李銳.方程新術(shù)草[M].《李氏遺書》十一種本．

12 李潢.《九章算術(shù)》細草圖說[M]//郭書春.中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷.第4分冊.鄭州：河南教育出版社,1993．

13 錢寶琮.校點算經(jīng)十書[M]//李儼錢寶琮科學(xué)史全集.第4卷.沈陽：遼寧教育出版社,1998.174～188．

14 白尚恕.《九章算術(shù)》今譯.濟南：山東教育出版社,1990.356～417．

15 白尚恕.《九章算術(shù)》注釋[M].北京：科學(xué)出版社,1983.257～305．

16 沈康身.《九章算術(shù)》導(dǎo)讀[M].武漢：湖北教育出版社,1997.535～618．

17 郭書春,劉鈍.算經(jīng)十書[M].沈陽：遼寧教育出版社,1998.84～94．

18 郭書春.九章算術(shù)[M]//趙敏俐.國學(xué)備覽.北京：首都師范大學(xué)出版社,2007.259～268．

19 郭書春.《九章算術(shù)》新校[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2014.327～380．

20 許慎.說文解字[M].北京：中華書局,1963.99．

21 段玉裁.說文解字注[M].上海：上海古籍出版社,1981.372．

22 汪萊.校正九章算術(shù)及戴氏訂訛[M]//衡齋遺書.卷5.衡齋算學(xué)遺書合刻,聞梅舊墪藏板．

23 李繼閔.《九章算術(shù)》方程章校證一例[J].自然科學(xué)史研究,1993,12(3):220～224．

24 郭書春. 匯?！毒耪滤阈g(shù)》[M].沈陽：遼寧教育出版社,1990.385～417．

25 郭書春.《九章算術(shù)》方程章劉徽注新探[J].自然科學(xué)史研究,1985,4(1):1～5．

26 郭書春.《九章算術(shù)》譯注[M].沈陽：遼寧教育出版社,1998.400～443．

A New Explanation of the Meaning of “Suan” and A New Collation of Liu Hui’s Text of the “Old Equation Method” in theNineChaptersonMathematicalArts

WEI Xuegang GUO Shirong

(InstituteforHistoryofScienceandTechnology,InnerMongoliaNormalUniversity,Hohhot010022,China)

Based on a survey of historical studies of Liu Hui’s commentary to the so-calledoldmethodandnewmethodattached to the 18thproblem of the equation chapter in theNinechaptersonMathematicalArts, a new explanation of the meaning of the conceptsuanis proposed in the present paper. The authors argue thatsuanin this context should be understood as the number of counting rods which are used in computation. In addition, some principles for the collation of theoldmethodare proposed, and based on those principles the text of theoldmethodis re-collated.

NineChaptersonMathematicalArts, equation,suan

2015- 10- 13；

2016- 03- 22

魏雪剛,1990年生,安徽界首人,碩士研究生,研究方向為數(shù)學(xué)史。

郭世榮,1959年生,教授,主要從事數(shù)學(xué)史和科技史研究。

N092∶O112

A

1000- 0224(2016)01- 0010- 08