一道電源輸出功率變化問題的七種解法

張洪明

題目 （2014浙江東陽市高三模擬第15題）

兩電源電動勢分別為E1，E2（E1>E2），內(nèi)阻分別為r1，r2.當(dāng)這兩個電源分別和一個阻值為R的電阻連接時，電源輸出功率相等.若將R增大到R′，電源輸出功率為P1，P2則

A.r1P2

C.r1>r2，P1r2，P1>P2

分析 由題目已知條件可得

I0=E1R+r1=E2R+r2 （1）

即E1E2=R+r1R+r2>1r1>r2， 所以答案在C，D中選擇，當(dāng)R增大到R′時，

I1=E1R′+r1，I2=E2R′+r2.因此，不能直接判斷出I1與I2的大小關(guān)系，所以不好選擇了.

解 比值比較法

令P1=（E1R′+r1）2×R′，P2=（E2R′+r2）2×R′ （2）

則P1P2=（E1E2）2（R′+r2R′+r1）2=（E1E2）2（1+r2-r1R′+r1）2，

令y=1+r2-r1x+r1，當(dāng)x=R時，y=1；r2-r1<0（3）

此函數(shù)為增函數(shù)（由y=kx，k>0減函數(shù)，k<0為增函數(shù)推出）

所以，當(dāng)R′>R時，P1P2>1，即P1>P2，答案選擇D， 同理可以推出R′

點評 此方法是根據(jù)題目中的問題是比較功率大小，所以回憶起數(shù)學(xué)中常用的比較方法有比值比較法，此方法利用了數(shù)學(xué)中函數(shù)的函數(shù)知識（增函數(shù)與減函數(shù)），根據(jù)初始時P1=P2時的結(jié)論進(jìn)行演算推理，其中判斷函數(shù)的增減性是關(guān)鍵性步驟.

解2 差值比較法

P1-P2=（E1R′+r1）2×R′-（E2R′+r2）2×R′ （4）

由（1）、（2）、（4）式可得

P1-P2=E21R′（RR′+r1R′+r2R+r1r2）2-E21R′（RR′+r2R′+r1R+r1r2）2[（R′+r1）（R′+r2）（R+r1）]

（5）

r1>r2，R′>R

由（r1-r2）R′>（r1-r2）R，

即RR′+r1R′+r2R+r1r2>RR′+r2R′+r1R+r1r2 （6）

由（5）、（6）式可得P1-P2>0P1>P2， 結(jié)論同上.

點評 此方法也是比較法中常用的差值比較法，此方法中進(jìn)行的推理計算過程比較復(fù)雜，然后根據(jù)已知條件聯(lián)系到比較的表達(dá)式進(jìn)行變化是此方法的難點，此方法思路簡單清晰計算復(fù)雜.

解3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義法

函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在這點切線的斜率，因此如果函數(shù)f（x）的一階導(dǎo)數(shù)大于零，則f（x）為增函數(shù)，如果函數(shù)f（x）的一階導(dǎo)數(shù)小于零，則f（x）為減函數(shù)，如果函數(shù)f（x）的一階導(dǎo)數(shù)等于零，則f（x）有極值.

令R=x，由（1）、（2）式子得

f（x）=p1P2=（E1E2）2（x+r2x+r1）2 （7）

對（7）式自變量x求一階導(dǎo)數(shù)得

f ′（x）=p1P2=（E1E2）2（r1-r2）（x=r1）2 （8）

因為r1-r2>0，所以f ′（x）>0，函數(shù)為增函數(shù).

當(dāng)x=R時（7）式等于1，所以x=R′>R時（7）式p1P2>1P1>P2，結(jié)論同上.

點評 利用此方法需要兩個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，一是要知道函數(shù)某一點導(dǎo)數(shù)的幾何意義即表示某一點切線的斜率；二是要熟練掌握求導(dǎo)函數(shù)的相應(yīng)數(shù)學(xué)公式和求導(dǎo)法則.此方法比較巧妙的將數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)與增減函數(shù)應(yīng)用到解決物理實際問題當(dāng)中，是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的典范.

解4 畫曲為直法

由閉合電路歐姆定律I=ER+r可知I與R非線性變化，兩側(cè)同時取倒數(shù)有

1I=RE+rE （9）

由（9）式可得當(dāng)R′=R+ΔR（ΔR>0）時，對兩個電源分別應(yīng)用（9）式有

1I1=R+ΔRE1+r1E1=ΔRE1+R+r1E1

1I2=R+ΔRE2+r2E2=ΔRE2+R+r1E2 （10）

由（1）、（10）和E1>E2可以推出I1>I2， 此時P1=I21× R′>P2=I22×R′.

即P1>P2，結(jié)論同上.

點評 此方法十分巧妙的利用了題目中的初始條件，將本來無法直接判斷的曲線問題轉(zhuǎn)化為直線問題來解決，畫曲線為直線的方法是解決物理問題中經(jīng)常使用的方法.特別是設(shè)后來的電阻R′+R+ΔR（Δ>0） 將本來無法比較的問題變得十分容易比較.

解5 U-I圖象法

根據(jù)閉合電路歐姆定律E=U+Ir變形可以得

U=-rI+E （15）

將U看成I的函數(shù)可知是線性變化關(guān)系，圖象的斜率的絕對值代表內(nèi)阻，圖象的截距代表電源電動勢.而外電阻滿足U=IR在同一個坐標(biāo)系中將兩個函數(shù)同時畫出來，由（15）式可知得U=-r1I+E1，U=-r2I+E2，U=IR，滿足P1=P2初始條件點就是兩個函數(shù)的交點狀態(tài)，外電阻的大小由U=RI直線的斜率來表示，根據(jù)題意后來電阻R′>R與兩個電源的交點就分別代表了此時的狀態(tài)，由圖1直接可以看出后來電流關(guān)系為I1>I2，路端電壓關(guān)系為U1>U2，則關(guān)系P1=U1I1>P2=U2I2，即當(dāng)R′>R時，有P1>P2，結(jié)論同上.

點評 此方法是將教材中熟悉的知識（測電源電動勢與內(nèi)阻試驗數(shù)據(jù)處理知識）遷移到具體的情景之中，用此方法需要對U=-rI+E對應(yīng)的U-I圖象的物理意義掌握的十分清楚，對于圖象中的外電阻U=RI 在同一圖象中構(gòu)建出來是解決問題的關(guān)鍵步驟.同時對于圖象中的電源內(nèi)阻是斜率的絕對值要掌握，外電阻消耗的功率就是矩形的面積.

解6 功率圖象法

由P=（ER+r）2R=E2R+r2/R+2r

（11）

是高中常見的電源輸出功率公式對應(yīng)函數(shù)關(guān)系為

f（x）=E2x+r2/x+2r

當(dāng)x=r時，電源輸出電功率最大為P=E2/4r，對應(yīng)的函數(shù)圖象為圖2所示.要滿足初始條件功率相等也就是函數(shù)

P1=E21R+r21/R+2r1P2=E22R+r22/R+2r2 （12）

對應(yīng)兩個函數(shù)有交點，同時由于r1>r2所限制，所以兩條曲線相交的交點只能存在三種可能就是如圖3所示A，B，C三個點，無論哪種情況，在取R'>R時總有P1>P2結(jié)論同上.

點評 此方法是從我們熟悉的電源輸出功率問題進(jìn)行討論，要知道電源輸出功率最大時，就是當(dāng)外電阻（外電路是純電阻）等于電源內(nèi)阻時，同時要知道函數(shù)圖象的變化趨勢，從極限分析可以知當(dāng)R=0時，電源電路輸出功率等于零（相當(dāng)于短路），R=+∞時，輸出功率也是零（相當(dāng)于斷路），當(dāng)外電阻等于電源內(nèi)阻時，有最大值.這樣變化趨勢圖自然就畫出來了，同時兩曲線有一個交點（R>0時），結(jié)論就一目了然了.

解7 電流圖象法

由（1）式可得當(dāng)功率相等時外電阻的阻值為

R=E2r1-E1r2E1-E2 （13）

令E1=4V，E2=3V，r1=2Ω，r2=1Ω，

代入（13）式可以得到 R=2Ω

由閉合電路歐姆定律 I=ER+r （14）

可知I與R非線性關(guān)系，代入以上數(shù)據(jù)可以得到 i1=E1R+r1=1A

同理 I2=E2R+r2=1 A

當(dāng)R=1Ω和R=3Ω分別代入（14）式計算得到對應(yīng)的電流值分別為I1′=0.8A，I1″=1.33A，

I2′=0.75A， I2″=1.5A.

根據(jù)以上數(shù)據(jù)定性畫出電流隨電阻變化趨勢圖（圖4），從圖象分析可知，當(dāng)R′>R時I1>I2總有P1>P2 結(jié)論同上.

點評 此方法屬于特殊值檢測法，實際上所取得電阻的初始值滿足題目中要求，然后通過定量計算來分析那個答案是最可能的，由于學(xué)生知道反比例函數(shù)的圖象是減函數(shù)，所以結(jié)合題目條件可以選擇特定的點來作圖解決問題，體現(xiàn)的是作圖法與特殊值相互結(jié)合來解決物理問題.