QR分解與GLS改進算法在壓力傳感器動態(tài)性能改善中的應用

楊文杰，張志杰，李巖峰，穆欣榮

（中北大學儀器科學與動態(tài)測試教育部重點試驗室，太原030051）

QR分解與GLS改進算法在壓力傳感器動態(tài)性能改善中的應用

楊文杰，張志杰*，李巖峰，穆欣榮

（中北大學儀器科學與動態(tài)測試教育部重點試驗室，太原030051）

將矩形矩陣的正交（QR）分解和改進的最小二乘（GLS）算法相結合，實現(xiàn)傳感器的動態(tài)建模，運用零極點配置理論改善傳感器動態(tài)性能。利用傳感器動態(tài)校準實驗數(shù)據(jù)，首先構造矩形數(shù)據(jù)矩陣并對矩陣進行正交分解確定傳感器模型階次，繼而利用改進的最小二乘算法建立傳感器的數(shù)學模型，而后運用零極點理論對模型零極點進行重新配置改善傳感器的動態(tài)性能。實驗結果表明：該方法簡潔，建模精度高，能夠較準確得到反映傳感器動態(tài)特性的數(shù)學模型，且基于該方法的傳感器動態(tài)性能改善效果明顯。

壓力傳感器動態(tài)建模正交分解最小二乘零極點

隨著科學技術的發(fā)展，在科學研究、技術開發(fā)、工程實踐等領域，越來越多的要求進行動態(tài)測試，要求定量、深入地了解瞬態(tài)過程參數(shù)的變化規(guī)律［1-2］。動態(tài)測試產(chǎn)生的誤差主要是由于傳感器動態(tài)性能不佳引起的，因此改善傳感器的動態(tài)性能是減小測試誤差的一條有效途徑。

改善傳感器動態(tài)性能的方法根據(jù)是否依賴傳感器動態(tài)模型可分兩類：依賴傳感器動態(tài)模型類型和不依賴傳感器動態(tài)模型類型。零極點配置法［3］，反濾波法［4］等屬于典型的依賴傳感器動態(tài)模型類型的改善方法。利用PSO算法直接對硅加速度傳感器進行動態(tài)補償?shù)姆椒ǎ?］，基于神經(jīng)網(wǎng)絡逆系統(tǒng)的傳感器動態(tài)補償方法［6-7］等都屬于不依賴傳感器動態(tài)模型方法。不依賴傳感器動態(tài)模型的改善方法較依賴傳感器動態(tài)模型的方法少了一個求解傳感器系統(tǒng)特性的環(huán)節(jié)，顯得簡便，但是卻得不到傳感器系統(tǒng)特性，并且傳感器動態(tài)性能改善程度也很難定量表示。兩種類型的改善方法共同面臨著階次確定的問題，即依賴傳感器動態(tài)模型類型面臨著模型階次判定問題，不依賴傳感器動態(tài)模型類型面臨著補償環(huán)節(jié)階次確定問題。本文用矩陣正交分解來判定傳感器動態(tài)模型階次，用改進的最小二乘算法建立傳感器動態(tài)模型，用零極點配置理論對傳感器動態(tài)模型的零極點進行重新配置以改善傳感器的動態(tài)性能。

1 壓力傳感器動態(tài)校準

動態(tài)校準的首要問題是要有頻帶能夠充分覆蓋被校傳感器模態(tài)的動態(tài)激勵信號發(fā)生器，這樣才能將被校準傳感器的主要模態(tài)激發(fā)出來。本文選用激波管作為壓力傳感器動態(tài)校準實驗所施加激勵信號發(fā)生器。選用激波管作為激勵源是因為激波管可以產(chǎn)生上升沿很短（可以為納秒級），持續(xù)時間為數(shù)個毫秒的理想階躍信號［8］。校準時，將壓力傳感器齊平安裝在激波管末端端面上，如圖1所示。

整個校準系統(tǒng)由高壓氣源、激波管、測速傳感器、信號調(diào)理電路、多通道數(shù)據(jù)采集卡等組成。標定激波管的主體為高壓區(qū)和低壓區(qū)兩部分，中間使用膜片隔開，校準時打開高壓氣瓶，當兩室壓差達到破膜壓力時膜片破裂，高壓室氣體沖向低壓室形成入射激波［9］。

圖1 激波管動態(tài)校準系統(tǒng)原理圖

2 QR分解判定動態(tài)模型階次

矩形矩陣的正交分解又稱QR分解，是把一個m×n的矩陣A分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積，即A=QR。

利用實驗數(shù)據(jù){(u(k)，y(k))|k=1,2,…,N}構造如下矩陣：

矩陣D中的v為待考察的階次，N為數(shù)據(jù)長度，對D陣進行矩陣QR分解，得到如下上三角陣。

式中，M=2v+2，×為任意元素。R′是一個M×M維的上三角方陣。則R′陣對角線偶元素平方和是各階差分方程模型對應于最小二乘估計的殘差平方和［10］，因此可以通過對比各階模型對應的殘差平方和的大小來判斷模型的階次。

3 改進GLS算法進行線性動態(tài)建模的原理與實現(xiàn)

單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)可以用下面差分方程描述

如果考慮噪聲，則式（1）可寫為

式（2）簡寫為

式中：u(k)為系統(tǒng)輸入數(shù)據(jù)，y(k)為輸出數(shù)據(jù)，d-1為延遲算子，ε（k）為擬合殘差，有

建模就是根據(jù)標定實驗得到的輸入、輸出序列{(u(k),y(k))|k=1,2,…,N}確定模型階次n，并對模型參數(shù)ai，bi，i=0,1,…,n(a0=1)做出估計。模型的最小二乘格式

式中，數(shù)據(jù)向量和參數(shù)向量定義為

定義最小二乘優(yōu)化算法的指標函數(shù)

由于建模時輸入是假定的理想階躍信號序列，此時輸入端噪聲可不予以考慮。如果假定輸出端是零均值的白噪聲，式（6）可變?yōu)?/p>

即

令

則式（3）可寫為

式（15）可以用最小二乘求得參數(shù) ai，bi，i=0,1,…,n(a0=1)的無偏估計。但由于在ai，bi尚未估計出之前，是未知的，因而需利用迭代法加以估計，其步驟如下：

Step 1：由輸入、輸出數(shù)據(jù)(u(k)，y(k))，用最小二乘法求出參數(shù)的最小二乘估計值，作為迭代運算的初值。

Step 2：設迭代第l次時，求得

計算

Step 4：令l=l+1，回到第二步，直到迭代收斂或者達到迭代次數(shù)為止。當?shù)諗繒r，可以得到下式：

4 傳感器動態(tài)補償方法

傳感器的動態(tài)特性與其傳遞函數(shù)的零極點尤其是極點位置密切相關［11］，對傳遞函數(shù)的零極點進行分析，觀察它們對傳感器動態(tài)性能的影響，繼而采用零極點相消補償原理，即串接一個補償環(huán)節(jié)，而將原來不符合要求的零極點消去，配以新的零極點，使系統(tǒng)動態(tài)特性得以改善，這便是零極點相消補償法。本文應用參考文獻［12］補償傳感器動態(tài)特性的基本思路對傳感器動態(tài)特性進行改善。

5 仿真實驗

5.1 模型辨識方法驗證

設壓力傳感器為二階系統(tǒng)，模型為

式（18）中假定，k=1，ξ=0.01，ω0=3.6×105π。傳感器的動態(tài)特性一般用傳遞函數(shù)描述，為了便于數(shù)據(jù)采集、處理和存儲，通常用離散傳遞函數(shù)描述。離散傳遞函數(shù)的一般表示形式為

采用雙線性變換法，可以將連續(xù)傳遞函數(shù)離散化，變換公式為

式中：T為采樣時間，本文假定為0.5 μs。則式（18）在Z域的表達式為

圖2 壓力傳感器模型階躍響應曲線

從圖2可以比較直觀看出，該傳感器模型對輸入階躍信號的響應存在超調(diào)量大，響應時間長等不足，在實際應用中會帶來較大的動態(tài)誤差，必須改善傳感器的動態(tài)性能。

改善傳感器的動態(tài)性能之前往往需要獲取反映傳感器動態(tài)特性的動態(tài)指標，欲獲取動態(tài)指標需要建立全面描述傳感器動態(tài)特性的動態(tài)數(shù)學模型，而建立模型之前需要確定傳感器的階次。運用矩陣QR分解求得模型階次與殘差平方和的關系如圖3所示。

圖3 殘差平方和隨模型階次變化曲線

分析圖3數(shù)據(jù)知，前1、2階模型對應的殘差平方和分別為19.042 0、0.193 7，之后的變化都比較緩慢，因此可以認定該壓力傳感器模型為2階。

當模型階次確定后，利用改進的最小二乘求得系統(tǒng)離散傳遞函數(shù)為

圖4反映的是辨識系統(tǒng)與原始系統(tǒng)對階躍信號的響應，從圖4可以看出，兩者吻合較好，幾乎重疊在一起。

圖4 原始系統(tǒng)和辨識系統(tǒng)階躍響應曲線

5.2 改善模型特性方法驗證

為了使系統(tǒng)滿足測試要求，必須要改善其動態(tài)特性，具體是拓寬傳感器的工作頻帶，因為對于傳感器而言，工作頻帶是其最重要的動態(tài)指標。參照零極點相消補償方法設計步驟［3，12］，設計補償濾波器

該濾波器串聯(lián)在原系統(tǒng)后面便能夠拓寬工作頻帶，圖5是傳感器系統(tǒng)頻帶拓寬效果。

圖5 補償前后傳感器系統(tǒng)幅頻特性曲線

圖5從頻率域表明，補償后傳感器的工作頻帶被大大拓寬，且補償后系統(tǒng)抗干擾性能提高。進一步分析圖5中的數(shù)據(jù)知，辨識系統(tǒng)在176 kHz附近發(fā)生諧振，接近之前設定的系統(tǒng)諧振頻率180 kHz，說明辨識系統(tǒng)與原始系統(tǒng)達到了很好的逼近效果。為了說明補償后系統(tǒng)時間域改善效果，繪制圖6。

圖6 補償前后傳感器階躍響應

圖6從時間域表明，補償后傳感器的超調(diào)量和響應時間都得到很大程度上的改善。為了更加直觀的得到補償前后傳感器各動態(tài)參數(shù)的改善程度，繪制補償前后系統(tǒng)各項動態(tài)參數(shù)于表1。

表1 傳感器補償前后各項動態(tài)參數(shù)

表1中，ts為響應時間，表征的是傳感器響應速度性能；σp為超調(diào)量，表征的是傳感器穩(wěn)定性能；wq為工作頻帶，這里取幅值誤差在±5%范圍內(nèi)的頻帶。

5.3 補償模型適應性驗證

補償模型設計后，需要判斷該補償模型的適應性及抗干擾性。對于模擬的理想系統(tǒng)，該環(huán)節(jié)是必不可少的，因為該環(huán)節(jié)可以驗證補償及建模方法。具體方法是：在理想系統(tǒng)的階躍響應輸出數(shù)據(jù)中添加不同類型，不同信噪比的噪聲信號構成混合信號，將這種混合信號通過補償系統(tǒng)，以此檢驗補償模型的一般適應性，即補償模型對外界擾動保持自身穩(wěn)定的性能。

為了驗證補償模型適應性，選取了信噪比分別為26 dB，30 dB和40 dB的均勻噪聲和隨機白噪聲構成混合信號，圖7是補償模型對不同混合信號的處理效果。

圖7 補償模型對不同類型和信噪比噪聲響應曲線

通過圖7可知，補償模型適應性能優(yōu)異，說明補償模型選取的適合，也進一步說明傳感器數(shù)據(jù)建模方法適用且建模精確。

6 實際應用

圖8是應用于爆炸沖擊波測試領域某型號壓阻傳感器階躍響應曲線（激波管標定實驗獲得）。運用矩陣QR分解方法判定該壓阻傳感器模型階次為2。

圖9是辨識系統(tǒng)的階躍響應和激波標定響應，從圖上看出辨識系統(tǒng)模型階躍響應曲線與標定實驗數(shù)據(jù)曲線比較一致。

圖8 某壓阻傳感器階躍響應曲線

圖9 原始系統(tǒng)和辨識系統(tǒng)階躍響應曲線

圖10為補償前后傳感器幅頻特性曲線，分析補償前系統(tǒng)幅頻特性曲線可知，該系統(tǒng)幅值誤差在±2%范圍內(nèi)的工作頻帶約為50 kHz，不能有效覆蓋爆炸沖擊波信號帶寬（約為70 kHz），因此需要進行補償，即拓寬工作頻帶。分析補償后系統(tǒng)幅頻特性曲線可知，系統(tǒng)幅值誤差在±2%范圍內(nèi)的工作頻帶約為180 kHz，完全覆蓋了沖擊波信號帶寬。

圖11為補償前后傳感器對階躍信號響應曲線，從圖中可以看出補償后系統(tǒng)階躍響應的超調(diào)量降幅明顯，響應時間也明顯縮短。

圖10 補償前后傳感器系統(tǒng)幅頻特性

圖11 補償前后傳感器系統(tǒng)階躍響應

7 結論

矩陣QR分解方法用以判定傳感器模型階次有著簡單、準確和實用等優(yōu)點。傳感器模型結構確定之后，用改進的最小二乘算法優(yōu)化傳感器模型參數(shù)，能夠尋求一組實用參數(shù)，且該算法易收斂，建模精度高。基于零極點理論的傳感器動態(tài)補償方法對傳感器動態(tài)性能改善顯著，且方法簡便。

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楊文杰（1990-），男，河南駐馬店人，碩士研究生，主要從事動態(tài)測試系統(tǒng)搭建，信號獲取，存儲與處理以及智能儀器開發(fā)，1210921680@qq.com；

張志杰（1965-），男，山西五臺人。現(xiàn)任中北大學教授、博導，儀器科學與技術學科帶頭人之一，主要從事動態(tài)測試理論、技術與應用，信號處理理論與技術的研究。教育部儀器科學教學指導委員會協(xié)作委員，zhangzhijie@nuc.edu.cn。

The Application of QR Decomposition and GLS Improved Algorithm in Improving the Dynamic Performance of Pressure Sensor

YANG Wenjie，ZHANG Zhijie*，LI Yanfeng，MU Xinrong
（Key Laboratory for Instrumentation Science&Dynamic Measurement，Ministry of Education，North University of China，Taiyuan 030051，China）

Combining rectangular matrix orthogonal（QR）decomposition with improved least squares（GLS）algo?rithm，the dynamic mathematical model of the sensor can be established and the dynamic performance of the sensor can be improved by utilizing zero-pole assignment theory.Firstly，using the dynamic calibration test data of the pressure sensor to construct a rectangular data matrix，the model order of sensor was determined by using the method of matrix orthogonal decomposition.Secondly，the mathematical model of the sensor was established by using improved least squares algorithm.Lastly，the performance of the sensor was improved by using the zero-pole assignment theory to reconfigure the zero-pole of the model.The experimental results show that the method is simple and the modeling precision is high.A mathematical model which reflecting the dynamic perfor?mance of the sensor can be obtained accurately and the dynamic performance of the sensor can be improved sig?nificantly.

pressure sensor；dynamic modeling；orthogonal decomposition；least square；zero-pole

TP274

A

1004-1699（2016）11-1698-07

EEACC：7230 10.3969/j.issn.1004-1699.2016.11.012

2016-05-11 修改日期：2016-07-02