廣義離散時(shí)間系統(tǒng)的P-D 反饋控制器設(shè)計(jì)

任禎琴，李靜，李德光

洛陽(yáng)師范學(xué)院 信息技術(shù)學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471934

廣義系統(tǒng)是比正常系統(tǒng)更一般的動(dòng)力系統(tǒng)，有著廣泛的應(yīng)用背景。廣義系統(tǒng)大量出現(xiàn)在電力系統(tǒng)、能源系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、宇航系統(tǒng)和化學(xué)過(guò)程等描述中[1-4]，這是因?yàn)閷?shí)際應(yīng)用中，廣義系統(tǒng)較一般系統(tǒng)可以用來(lái)描述系統(tǒng)更多的性能特征。隨著科學(xué)研究的深入，廣義系統(tǒng)被學(xué)術(shù)界廣泛關(guān)注，廣義離散時(shí)間系統(tǒng)理論已有了豐富的研究成果[5-7].

對(duì)于正常系統(tǒng)，反饋控制的研究已經(jīng)趨于完善。但對(duì)于廣義系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，脈沖的存在可能引起系統(tǒng)不能正常運(yùn)行甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的損壞，這就需要所設(shè)計(jì)的控制器不僅要保證閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而且是要正則化和因果的(連續(xù)系統(tǒng)無(wú)脈沖)，即容許性。而P-D 反饋控制在這方面發(fā)揮了很大的作用，它是消除脈沖的一個(gè)很有效途徑，相關(guān)研究已取得了一些成果[8-14]。但由于P-D 反饋控制器在實(shí)際處理時(shí)的負(fù)面影響，很難使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。然而隨著先進(jìn)的生產(chǎn)設(shè)備和計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，大大降低了這種負(fù)面影響，使得P-D 反饋具有很高的理論意義和工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

本文針對(duì)廣義離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)出一種簡(jiǎn)單的PD 反饋控制器，突破了文獻(xiàn)[13]中輸出反饋控制器的局限性，使閉環(huán)系統(tǒng)更容易達(dá)到穩(wěn)定，并消除了脈沖。

1 預(yù)備知識(shí)及問(wèn)題描述

考慮如下的廣義離散時(shí)間系統(tǒng)：

式中：x(k)∈Rn為狀態(tài)向量；u(k)∈Rr為輸入向量；E、A、B為具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；E為奇異矩陣，滿足rank(E)＜n。

定義1[15]若存在復(fù)數(shù)s0，使得det(s0E-A)≠0，那么稱式(1) 廣義離散時(shí)間系統(tǒng)是正則的。

本文假定廣義離散時(shí)間系統(tǒng)是正則且能穩(wěn)定的。

定義2[15]若對(duì)任意復(fù)數(shù)z滿足degdet(zE-A)=rank(E)，則稱廣義離散系統(tǒng)是因果的。

定義3[15]如果式(1)正則廣義離散時(shí)間系統(tǒng)是因果且穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是容許的。

定義4[15]如果存在P-D 反饋，使閉環(huán)系統(tǒng)成為正常系統(tǒng)，則稱廣義離散系統(tǒng)是能正?；?。

下面給出本文需要用到的相關(guān)引理。

引理1[15]式(1)廣義離散系統(tǒng)是容許的充要條件為：存在對(duì)稱矩陣X∈Rn×n滿足如下廣義Lyapunov 不等式：

引理2[16]對(duì)于正常系統(tǒng)x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)，設(shè)性能指標(biāo)函數(shù)為

式中：Q為對(duì)稱半正定矩陣，R為對(duì)稱正定矩陣。系統(tǒng)滿足能穩(wěn)定，能檢測(cè)，則最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器為

其中P為黎卡提方程

的對(duì)稱半正定解.

引理3[15]式(1)廣義離散系統(tǒng)是因果的充要條件為

引理4[15]式(1)廣義離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的充要條件為：它的有限極點(diǎn)集合σ(E,A)是在復(fù)平面的單位圓內(nèi)（用Ω(0,1)表示）。

引理5[15]式(1)廣義離散系統(tǒng)能穩(wěn)定的充要條件為

引理6[15]P-D 反饋保持了廣義系統(tǒng)的能穩(wěn)定性。

為了研究的需要，我們要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行正?；姆纸?。所謂正?；纸?，就是通過(guò)線性變換將原系統(tǒng)分解為2 個(gè)子系統(tǒng)，其中1 個(gè)子系統(tǒng)是能正?；模崔D(zhuǎn)化為正常系統(tǒng)，具體過(guò)程如下。

考慮式（1）廣義離散系統(tǒng)：

1）若系統(tǒng)是正則的，則一定存在非奇異矩陣Q1、P1，使得

式中：N為冪零矩陣，那么，式(1)廣義離散系統(tǒng)將改寫(xiě)為

則式（2）改寫(xiě)為

式(2)可改寫(xiě)為

即

正文中已經(jīng)得到x2(k)=0，則式(4)可改寫(xiě)為

下面證明若原式(1)廣義離散系統(tǒng)是能穩(wěn)定的，則式(5)是能穩(wěn)定的。由引理5，我們只需證明?s∈C，|s|≥1，行滿秩，其中

首先N11是冪零矩陣，則是行滿秩的；原系統(tǒng)是能穩(wěn)定的，則

將式(1)廣義離散系統(tǒng)進(jìn)行正常化分解得

由式(6)中E22x2(k+1)=x2(k)得：

將式（7）左右分別相加并相消得：

所以式(6)可改寫(xiě)為

由于式(8)是能正?；模瑒t一定存在P-D反饋：

使得閉環(huán)系統(tǒng)

成為正常系統(tǒng)。

我們選擇一個(gè)合適的K2使得

2 P-D 反饋控制器的設(shè)計(jì)

本文的主要研究工作是設(shè)計(jì)一個(gè)P-D 反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)是容許的。首先對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行正?；纸?，得到的子系統(tǒng)是能正常化的。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一個(gè)P-D 反饋控制器。為了獲得控制器存在的充分條件，有如下定理。

定理1對(duì)于式(8)，若存在P-D 反饋控制器式(9)，使得閉環(huán)系統(tǒng)式(10)是容許的，條件是存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣Y，合適維數(shù)的矩陣Z滿足線性矩陣不等式（11）：

式中：

證明: 由于det(E11+B1K2)≠0，則E11+B1K2可逆，顯然滿足引理1 中的ETXE≥0，即(E11+B1K2)TY(E11+B1K2)≥0，又有

令

式(12)將改寫(xiě)為

利用schur 補(bǔ)引理[16]，我們可以將式(14)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式（11），其中：證畢。

通過(guò)Matlab 求解式(11)，可以求得Y、Z的值[17]。

接下來(lái)利用式(13)和Y、Z的值來(lái)求得K1的值，這就需要利用廣義逆的理論[18]。

由式(13)可得

下面我們利用廣義逆的知識(shí)來(lái)求得K1的值，先將B1進(jìn)行滿秩分解，記為B1=MN，其中M列滿秩，N行滿秩。若式(15)有解，則K1=NT(NNT)-1(MTM)-1MTY-1Z是式(14)的極小范數(shù)解；若式(15)無(wú)解，則K1=NT(NNT)-1(MTM)-1MTY-1Z是式(11)的極小范數(shù)最小二乘解，也稱最佳逼近解，需要進(jìn)一步驗(yàn)證式(11)。

對(duì)于式(10)，我們可以將其變形為正常系統(tǒng)：

對(duì)于式(16)，定義性能指標(biāo)函數(shù)為

式中：F為對(duì)稱半正定矩陣；G為對(duì)稱正定矩陣，且滿足能檢測(cè)。

再由正?；纸獾姆椒ㄒ约耙? 和引理6，可以得到式(16)是穩(wěn)定的。運(yùn)用引理2，就可以得到式(16)的狀態(tài)反饋控制器為

并使得閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其中P1是代數(shù)黎卡提方程的對(duì)稱半正定解：

由此，將式(18)代入P-D 反饋控制器式(9)，得到原系統(tǒng)式(1)的P-D 反饋控制器為

將式(20)代入式(1)可得閉環(huán)系統(tǒng)為

本定理得到的是P-D 反饋控制器存在的充分條件，而引理1 給的是廣義離散系統(tǒng)容許的充要條件，這是因?yàn)楸径ɡ碇袨榱死肕atlab 中的LMI 工具箱，規(guī)定Y是對(duì)稱正定矩陣，而引理1 中的X是對(duì)稱矩陣，這是在以后的研究中需要改進(jìn)的地方。在定理1 的基礎(chǔ)上，給出式（1）廣義離散系統(tǒng)的P-D 反饋控制器設(shè)計(jì)的定理。

定理2對(duì)于式(1)，存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣X和合適維數(shù)的矩陣Z滿足下面線性矩陣不等式：

式中：

則一定存在一個(gè)P-D 反饋控制器如式(20)，使得閉環(huán)系統(tǒng)(22)是容許的。

利用定理2 時(shí)，我們需要先將原系統(tǒng)式(1)進(jìn)行正?；纸?，可以借助計(jì)算機(jī)。下面利用一個(gè)數(shù)值算例來(lái)說(shuō)明本文設(shè)計(jì)方法的正確性和有效性。

3 數(shù)值算例

考慮形如式(1)的廣義離散系統(tǒng)：

首先有det(2E-A)≠0，說(shuō)明系統(tǒng)是正則的；又有rank滿足引理5中的條件，所以系統(tǒng)滿足能穩(wěn)定性。

通過(guò)計(jì)算得式(20)中的增益矩陣為

閉環(huán)系統(tǒng)式(17)的系數(shù)矩陣為

下面通過(guò)驗(yàn)證說(shuō)明在設(shè)計(jì)的控制器下，所得的閉環(huán)廣義系統(tǒng)是容許的。

綜上，我們驗(yàn)證了所得的閉環(huán)廣義系統(tǒng)是容許的。這一結(jié)果說(shuō)明了本文通過(guò)對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行正?；纸馑玫降腜-D 反饋控制器是有效的。

圖1 是輸出響應(yīng)曲線，從圖中可以看出利用現(xiàn)代控制理論和變量替換法使得閉環(huán)系統(tǒng)是容許的、穩(wěn)定的。

圖1 輸出響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

廣義系統(tǒng)存在脈沖行為，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不能正常運(yùn)行甚至崩潰。而P-D 反饋控制器是消除脈沖的一個(gè)很好方法，于是本文通過(guò)引入了P-D 反饋控制器來(lái)消除脈沖，從而使得系統(tǒng)是穩(wěn)定的、容許的，并給出了閉環(huán)系統(tǒng)容許的條件。

1)通過(guò)對(duì)式(1)系統(tǒng)正?；纸馔茖?dǎo)出子系統(tǒng)能正?；?/p>

2)給出了P-D 反饋控制器存在的條件，使得式(10)系統(tǒng)是容許的，并且得到了相應(yīng)的LMI 條件。為了求解方便，利用Matlab 中的LMI 工具箱，但是要求里面矩陣是對(duì)稱矩陣，這是在以后的研究中需要解決的問(wèn)題。

3)給出了式(1)系統(tǒng)控制器存在的條件。