淺談對數(shù)學(xué)習(xí)困因及教學(xué)建議

王歷權(quán)　黨忠良

1.現(xiàn)象

對數(shù)及對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要知識，也是學(xué)生學(xué)習(xí)障礙很大的一塊內(nèi)容，本部分要求學(xué)生能理解對數(shù)的概念，并能夠說明對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，要掌握對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化和對數(shù)的運算性質(zhì)，并能理解推導(dǎo)這些法則的依據(jù)和過程，要能較熟練地運用對數(shù)運算性質(zhì)解決實踐問題，加強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的訓(xùn)練，提高解決應(yīng)用問題的能力，

然而實際教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生掌握對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)的情況并不理想，一種常見現(xiàn)象是下面這些類型的題目不斷訓(xùn)練、評講、糾錯、再練習(xí)，學(xué)生還是會出錯甚至無法下手，個中原因值得深思，

首先，學(xué)生沒有真正理解對數(shù)運算的含義，全新的對數(shù)運算符號log是學(xué)生理解對數(shù)的一大障礙，教學(xué)中甚至發(fā)現(xiàn)一段時間后還有學(xué)生認(rèn)為log。x中符號log。與x是相乘的關(guān)系，數(shù)學(xué)的符號語言是對數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)關(guān)系和推理過程等作出表述的一種語言，是數(shù)學(xué)思維的外顯形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的特征，同時也簡化了數(shù)學(xué)思維過程，對數(shù)運算符號精練準(zhǔn)確地表達(dá)了對數(shù)運算的兩大要素，高度濃縮的對數(shù)運算符號是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第一個攔路虎。

其次，對數(shù)運算法則容易混淆，學(xué)生未理解運算法則本質(zhì)而死記公式，導(dǎo)致出錯率高居不下，以下是常見的錯誤：

最后，灌輸式教學(xué)剝奪了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的權(quán)利，學(xué)生被動接受，沒有在發(fā)現(xiàn)探索的過程中理解對數(shù)及對數(shù)運算，《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗2011）》（以下簡稱《課標(biāo)》）要求理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用，通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，知道指數(shù)函數(shù)y=a^x與對數(shù)函數(shù)y=logx互為反函數(shù)（a>0，a≠1）。

既如此，對數(shù)概念的教學(xué)應(yīng)放在數(shù)學(xué)課堂的重要位置，教學(xué)中要創(chuàng)設(shè)問題情境，突出概念構(gòu)建，讓學(xué)生置身于發(fā)現(xiàn)對數(shù)概念的的過程中，以促進(jìn)真正理解對數(shù)的概念和本質(zhì)。

3教學(xué)建議

除針對易錯問題辨誤教學(xué)、特別強調(diào)真數(shù)必正、充分理解對數(shù)運算符號等方面狠下功夫外，筆者建議教學(xué)中還應(yīng)從以下方面入手提升教學(xué)效率。

3.1對數(shù)發(fā)展史激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

16、17世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計算方法成了當(dāng)務(wù)之急，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J，Napier，1550-1617）正是在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，天文學(xué)界更是以近乎狂喜的心情迎接這一發(fā)明，恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始、微積分的建立稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就，

數(shù)學(xué)科學(xué)具有悠久歷史，新課標(biāo)要求在各個部分滲透數(shù)學(xué)史教學(xué)，以促使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和發(fā)展脈絡(luò)，加深對數(shù)學(xué)概念、方法和思想的理解和認(rèn)識，促使學(xué)生養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和激情，

數(shù)學(xué)的三種形態(tài)密不可分，其中數(shù)歷史形態(tài)的數(shù)學(xué)與教育形態(tài)的數(shù)學(xué)關(guān)系最為緊密，對中小學(xué)數(shù)學(xué)教師來講，基于HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育整合）的數(shù)學(xué)教育取向的數(shù)學(xué)史更具有實踐性，一般來講，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)有顯性的和隱性的兩種基本形式，顯性多指借用數(shù)學(xué)史料提高課堂趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的激情；隱性融入是指根據(jù)歷史對數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行加工、裁剪、組織，用于學(xué)生學(xué)習(xí)或探究，

對數(shù)部分教學(xué)中，可以介紹適當(dāng)對數(shù)發(fā)展歷史或選擇合適課題供學(xué)生探究，借助歷史問題讓學(xué)生充分領(lǐng)略和感受對數(shù)對簡化運算的極大意義，同時通過了解前人為數(shù)學(xué)的發(fā)展所付出的心血，激勵學(xué)生刻苦鉆研，勇攀高峰。

3.2指數(shù)是對數(shù)的認(rèn)知起點

歷史上，對數(shù)的出現(xiàn)早于指數(shù)，但是學(xué)生學(xué)習(xí)對數(shù)需要以指數(shù)及指數(shù)運算作為認(rèn)知的起點，教材中對數(shù)的概念是這樣描述的：

如果a^b=N（a>0且a≠1），那么b叫作以a為底，數(shù)N的對數(shù)，記作6=log。N

因此指對互化是促進(jìn)學(xué)生理解對數(shù)的唯一有效途徑，教學(xué)中應(yīng)根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過指數(shù)冪的運算性質(zhì)推導(dǎo)得出對數(shù)的運算性質(zhì)，以加深對公式的理解和記憶，再利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系完成證明，教學(xué)中教師應(yīng)給足時間學(xué)生思考，以問題引導(dǎo)教學(xué)是學(xué)生真理解對數(shù)運算法則的保證，以下是某青年教師的教學(xué)片斷，值得學(xué)習(xí)。

師：說的很好，以上三個等式即為要跟大家介紹的對數(shù)運算法則，

課堂實踐表明，在預(yù)設(shè)的情景下學(xué)生完全可以從已有知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)自主發(fā)現(xiàn)與構(gòu)建，教師的任務(wù)則是提供教學(xué)素材、組織教學(xué)內(nèi)容，我們要始終堅持這樣一個觀點：以尊重的態(tài)度，欣賞的眼光，學(xué)生是一定能在課堂上綻放出精彩的，

3.3螺旋上升，學(xué)以致用是關(guān)鍵

筆者在2015級高三下學(xué)期的一次模擬試題中選用了題目2，發(fā)現(xiàn)正確率很低，這表明在海量對數(shù)計算訓(xùn)練下，高三學(xué)生亦不能牢固掌握對數(shù)相應(yīng)地運算公式，值得反思，教學(xué)中，不少老師給學(xué)生總結(jié)出兩條有關(guān)對數(shù)問題的處理策略“一是底數(shù)不統(tǒng)一時先統(tǒng)一底數(shù)，二是對數(shù)求值時盡量將所有真數(shù)分解為質(zhì)數(shù)”，不可謂不精練，也不可謂不適用，但大量學(xué)生依舊無奈，見對數(shù)問題就心虛。

筆者認(rèn)為可以從以下兩個方面入手，幫助學(xué)生擺脫困境。

首先，對數(shù)學(xué)習(xí)要循序漸進(jìn)，螺旋上升，眾所周知，初中介紹二次函數(shù)初步，學(xué)生進(jìn)入高中后再深入學(xué)習(xí)二次函數(shù)相應(yīng)的知識就容易多了，甚至很輕松，由此筆者認(rèn)為對數(shù)教學(xué)內(nèi)容的安排應(yīng)在初高中通盤考慮，甚至可以在初中介紹整數(shù)冪的指數(shù)運算后增加相應(yīng)的章節(jié)介紹對數(shù)的概念和運算法則初步，以確保學(xué)生消化吸收并理解對數(shù)的含義和本質(zhì)，進(jìn)入高中，將指數(shù)冪的運算由整數(shù)推廣到實數(shù)后，再系統(tǒng)學(xué)習(xí)對數(shù)、對數(shù)運算法則和對數(shù)函數(shù)。

另外，現(xiàn)行《課標(biāo)》中，函數(shù)概念與基本初等函數(shù)部分總共安排約32課時，這其中包含了函數(shù)概念與性質(zhì)、指數(shù)及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)及對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型及應(yīng)用等部分，一線教師都深知這是肯定不夠的，要想讓學(xué)生深刻理解對數(shù)概念和運算法則，需要較長時間才能辦到，因此，適當(dāng)拉長學(xué)習(xí)時間跨度是肯定有助于學(xué)生理解和掌握對數(shù)的。

其次，對數(shù)學(xué)習(xí)（包括其它任何知識）要學(xué)以致用，《課標(biāo)》指出，數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具，數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等科學(xué)的基礎(chǔ)，并在經(jīng)濟科學(xué)、社會科學(xué)、人文科學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮越來越大的作用，

然而不幸的是，在高考指揮棒的影響下，大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的應(yīng)用被弱化甚至被無情地拋棄，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是為了考試，對數(shù)是實用性很強的數(shù)學(xué)知識，來源于對現(xiàn)實世界的探索，也廣泛應(yīng)用于天文、考古等，對數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)重視對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，利用碳14測定年代、鈾核裂變等問題引出對數(shù)概念，選用學(xué)生喜聞樂見的興趣材料，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感受到數(shù)學(xué)就在我們的周圍，讓學(xué)生在運用知識解決問題的過程中靜心思考，促進(jìn)理解。