基于幾何畫(huà)板輔助生成的概念教學(xué)

莊炯林

計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)給學(xué)校教育帶來(lái)了一場(chǎng)深刻的變革，從國(guó)外引進(jìn)的教育軟件《幾何畫(huà)板》，以其學(xué)習(xí)入門(mén)容易和操作簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)及強(qiáng)大的圖形和圖象功能、方便的動(dòng)畫(huà)功能深受?chē)?guó)內(nèi)廣大一線(xiàn)教師喜歡，逐步成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一。

在高中的內(nèi)容分布上，“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分；同時(shí)，函數(shù)是以運(yùn)動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種刻劃，這又決定了它是對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的重要材料.函數(shù)問(wèn)題的解決常用數(shù)形結(jié)合方法，因此畫(huà)圖成了必不可少的教學(xué)環(huán)節(jié).在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢且為靜態(tài)的弊端；應(yīng)用幾何畫(huà)板快速直觀(guān)的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進(jìn)而起到事倍功半的效果.本文從《任意角三角函數(shù)的定義》教學(xué)為例，闡釋運(yùn)用幾何畫(huà)板進(jìn)行輔助教學(xué)的方法與作用。

1.以動(dòng)態(tài)激活靜態(tài)，避免輔助概念應(yīng)用的突兀性

三角函數(shù)是“刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”.初中階段講授的三角函數(shù)是靜態(tài)的，主要討論直角三角形的邊角關(guān)系，通過(guò)邊的比值反映角的大小，而不是從函數(shù)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)，為了尋找變量問(wèn)的相互依存關(guān)系，再聯(lián)想到任意角是終邊做周而復(fù)始的圓周運(yùn)動(dòng)，其基礎(chǔ)是幾何圖形中的圓。

片段1

在探究用終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示任意角三角函數(shù)式，不可避免去探究坐標(biāo)與任意角三角函數(shù)的等式關(guān)系.在直角坐標(biāo)系畫(huà)一個(gè)任意角（第一象限角），先取該角為銳角，這樣就可以利用初中所學(xué)概念得到數(shù)量（角度）與數(shù)量（邊的比值）的變化關(guān)系，可在終邊上任取一點(diǎn)P（xp，，yP）且過(guò)P做x軸的垂線(xiàn)

2.以直觀(guān)點(diǎn)破抽象，揭示新授概念生成的抽象性

數(shù)學(xué)概念往往比較抽象，學(xué)生思維處在具體形象思維為主的階段.認(rèn)識(shí)一個(gè)事物、理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，若能從事物的具體形象入手，就可以將抽象轉(zhuǎn)化為直觀(guān).任意角的三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集到另一個(gè)實(shí)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合到角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系.如何從抽象的概括中直觀(guān)點(diǎn)破是教學(xué)的難點(diǎn)。

片段2

當(dāng)終邊在第一象限（為銳角）時(shí)，可用終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)及其比值來(lái)表示三角函數(shù).若終邊在其他象限呢？發(fā)現(xiàn)直角三角形不見(jiàn)了，用邊的比值無(wú)法定義三角函數(shù)，但不管終邊在哪一象限，其終邊上的點(diǎn)（與單位圓的交點(diǎn)）仍然存在.如圖2，拖動(dòng)終邊在直角坐標(biāo)系中的位置，當(dāng)a是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同（指出對(duì)邊，鄰邊，斜邊所在）；當(dāng)α不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)（幾何畫(huà)板中現(xiàn)實(shí)三角函數(shù)的值與坐標(biāo)的關(guān)系），因此可得，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)P（x，y），從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.綜上分析可得任意角的三角函數(shù)定義.

3以自然過(guò)渡機(jī)械，突破初高中概念形成的差異性

根據(jù)高中函數(shù)的定義，函數(shù)是研究數(shù)量與數(shù)量之間的變化關(guān)系，而對(duì)于抽象函數(shù)最基本的要求應(yīng)該是單位一致的，在教材的開(kāi)始，就引入“根據(jù)初中學(xué)過(guò)的三角函數(shù)定義，可以得到三角函數(shù)關(guān)系.”初中對(duì)于三角函數(shù)的定義域（角度）和值域（長(zhǎng)度）的單位不統(tǒng)一，通過(guò)前節(jié)課弧度制的學(xué)習(xí)就解決這個(gè)問(wèn)題，所以高中階段研究任意角的三角函數(shù)就勢(shì)在必行.為了深入理解初高中對(duì)三角函數(shù)形成的差異，可從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)域?qū)ふ抑R(shí)的成長(zhǎng)點(diǎn)，利用幾何畫(huà)板演示，合理進(jìn)行對(duì)比教學(xué)。

4.以演繹揭示過(guò)程，強(qiáng)化典例剖析的重要性

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的主要目的是讓學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)能力，全面提高學(xué)生素質(zhì).所以在練習(xí)設(shè)計(jì)上一定要精、針對(duì)性強(qiáng)，便于提高學(xué)生的能力.除此之外，若能將解題過(guò)程演示給學(xué)生，定能得到不一般的效果。

綜上，利用幾何畫(huà)板輔助生成的數(shù)學(xué)概念更能體現(xiàn)其直觀(guān)性，比傳統(tǒng)教學(xué)的直接理解更有說(shuō)服力.概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，也是核心，而教學(xué)過(guò)程又是曲折的過(guò)程，不可能一步到位，需要教師站在學(xué)生“學(xué)”的角度，以多媒體對(duì)概念的自然呈現(xiàn)，讓學(xué)生更快、更直接、更生動(dòng)、更感興趣地接收意義深廣的數(shù)學(xué)定義，以便讓學(xué)生在生動(dòng)的課堂中探究，直觀(guān)中形成概念，順理成章地理解概念，并及時(shí)讓概念成為學(xué)生內(nèi)在知識(shí)，加以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中。