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    解銳角三角函數(shù)題的常見錯誤

    2016-12-13 03:21:11李月恬
    初中生 2016年33期
    關(guān)鍵詞:小提示錯因銳角三角

    文/李月恬

    解銳角三角函數(shù)題的常見錯誤

    在解答銳角三角函數(shù)題時,同學(xué)們要注意避免以下錯誤.

    一、銳角三角函數(shù)的概念不清

    例1(2016年金華卷)一座樓梯如圖1所示,BC是鉛垂線,CA是水平線,BA與CA的夾角為茲.現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯,已知CA=4米,樓梯寬度1米,則地毯的面積至少需要()

    圖1

    錯解:在Rt△ABC中,

    錯因診斷:角茲的正切等于對邊比鄰邊.

    ∴AC+BC=4+4tan茲(米),

    ∴地毯的面積至少需要1×(4+4tan茲)=4+4tan茲(米2).選D.

    溫馨小提示:正弦、余弦、正切都是研究直角三角形中銳角與兩邊比值的關(guān)系,已知其中的兩個量,就可求出第三個量.

    二、誤認(rèn)為直角三角形中∠C一定是直角

    例2(2016年蘭州卷)在Rt△ABC中,∠B越90°,sinA越,BC越6,則AB越()

    A.4.B.6.C.8.D.10.

    錯因診斷:因為∠B=90°,所以AC為斜邊.

    溫馨小提示:在解題時要認(rèn)真審題,分清斜邊和直角邊,以防出錯.

    三、混淆了正弦(正切)與余弦函數(shù)的增減性

    A.30°<琢<45°.B.45°<琢<60°.

    C.60°<琢<90°.D.30°<琢<60°.

    錯因診斷:當(dāng)琢為銳角時,正弦和正切值隨著角度的增大而增大,余弦值隨著角度的增大而減小.

    故45°<琢<60°.選B.

    溫馨小提示:要熟記三種三角函數(shù)的增減性和特殊角的三角函數(shù)值.

    四、未說明直角三角形就應(yīng)用三角函數(shù)的概念解題

    例4(2016年威海卷)如圖2,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E為BC的中點,將△ABE沿AE折疊,使點B落在矩形內(nèi)點F處,連接CF,則CF的長為()

    圖2

    錯解:連接BF.疫BC=6,點E為BC的中點,亦BE=3,

    錯因診斷:用三角形邊的比表示銳角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中,必須先證明△BCF是直角三角形,才能應(yīng)用三角函數(shù)的概念來解題.

    正解:連接BF,疫BC=6,點E為BC的中點,亦BE=3,又∵AB=4,∴AE=由折疊可知,AE垂直平分BF,又∵∠ABE=90°,亦∠CBF=∠BAE,∴sin∠CBF=

    ∵FE=BE=EC,亦∠BFC=90°,∴sin∠CBF=選D.

    溫馨小提示:在應(yīng)用三角函數(shù)概念解題時,一定是在直角三角形中,若不是直角三角形,則需證明或構(gòu)造出直角三角形.

    五、在非直角三角形中應(yīng)用銳角三角函數(shù)求值

    例5(2016年福州卷)如圖3,6個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格,菱形的頂點稱為格點.已知菱形的一個角(∠O)為60°,A,B,C都在格點上,則tan∠ABC的值是.

    錯解:設(shè)菱形的邊長為a,則AC=2a.由題意∠O=60°,可知BC=a,∴

    圖3

    圖4

    錯因診斷:銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的,但△ABC顯然不是直角三角形,必須將∠B放在直角三角形中,才能應(yīng)用銳角三角函數(shù)的知識來求解.

    正解:如圖4,連接EA,EC,設(shè)菱形的邊長為a,由題意

    溫馨小提示:在非直角三角形中,不能直接用三角函數(shù)的概念求值.網(wǎng)格中,格點圖形的角度、邊長都可利用勾股定理計算出來,這是隱含條件,要充分利用.

    六、思考問題不全面而漏解

    圖5

    圖6

    錯解:如圖5,設(shè)CD越x,由BD∶CD越2∶1得BD越2x,BC越BD垣CD越3x越6,解得x越2,BD越4.

    錯因診斷:高AD不一定在△ABC的內(nèi)部,應(yīng)分兩種情況:(1)高AD在△ABC內(nèi)部;(2)高AD在△ABC外部.錯解沒有考慮第(2)種情況.

    正解:設(shè)CD越x,由BD∶CD=2∶1得BD越2x.(1)若高AD在△ABC的內(nèi)部,如圖5,解法同上;(2)若高AD在△ABC的外部,如圖6,BC越BD原CD越x越6,BD越12,由tanB越故△ABC的面積為8或24.

    溫馨小提示:對于沒有確定三角形高的位置的“涉高”問題,要對高的位置分類討論,謹(jǐn)防漏解.

    七、忽視三角函數(shù)值的取值范圍

    例7已知銳角A滿足關(guān)系式2sin2A-7sinA+3越0,則sinA的值為.

    錯解:由2sin2A-7sinA+3越0,即(sinA-3)(2sinA-1)=0.

    ∴sinA-3越0或2sinA-1越0,即sinA越3或sinA越

    錯因診斷:由于A為銳角,所以本題隱含著0<sinA<1,0<cosA<1的條件,因此sinA越3應(yīng)舍去,只有一個值sinA越.(正解略).

    溫馨小提示:對于銳角三角函數(shù)有結(jié)論:(1)sin2A+cos2A=1(平方關(guān)系),tanA=商的關(guān)系);(2)0<sinA<1,0<cosA<1(正弦和余弦的有界性),tanA>0(正切的非負(fù)性).

    責(zé)任編輯:王二喜

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