解直角三角形的應(yīng)用

文/嚴(yán)云海

解直角三角形的應(yīng)用

文/嚴(yán)云海

解直角三角形的應(yīng)用是銳角三角函數(shù)的重要內(nèi)容.近年來運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決與生活相關(guān)的應(yīng)用題成為中考命題的熱點(diǎn).解題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解.下面以2016年中考題為例，歸納這類問題的解法.

解直角三角形涉及各種圖形，熟悉基本圖形及其對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系是解題的前提.

一、基本圖形

二、典型應(yīng)用

1．仰角、俯角問題

例1（2016年昆明卷）如圖1，大樓AB右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測(cè)得障礙物邊沿點(diǎn)C的俯角為30°，測(cè)得大樓頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B，C，E在同一水平直線上），已知AB=80m，DE=10m，求障礙物B，C兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）.

圖1

分析：如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H援解Rt△AFD可得到DF的長(zhǎng)度，解Rt△DCE可得到CE的長(zhǎng)度，則BC=DF原CE援

解：如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CH⊥DF于點(diǎn)H，則DE=BF=CH=10m.

在Rt△ADF中，疫AF=80m-10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．

在Rt△CDE中，疫DE=10m，∠DCE=30°，

答：障礙物B，C兩點(diǎn)間的距離約為52.7m．

方法歸納：仰角、俯角問題通常涉及多個(gè)仰角或俯角，解題時(shí)，利用三角函數(shù)的定義分別在仰角或俯角所在的直角三角形中求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，從而求解.當(dāng)題中的關(guān)系比較復(fù)雜時(shí)，可先設(shè)未知數(shù)，用同一個(gè)未知數(shù)表示問題中不同的量，列方程求解.

2．坡度、坡角問題

例2（2016年濟(jì)寧卷）某地的一座人行天橋如圖2所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1∶1，為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1∶

（1）求新坡面的坡角琢；

（2）原天橋底部正前方8米處（PB的長(zhǎng)）的文化墻PM是否需要拆除？請(qǐng)說明理由．

圖2

答：新坡面的坡角琢為30°.

（2）文化墻PM不需要拆除．理由如下：

過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD=6.

∴文化墻PM不需要拆除．

方法歸納：解答這類問題，需要作高構(gòu)造直角三角形.根據(jù)坡比的定義，將坡比轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度比是解題的關(guān)鍵.

3．方位角問題

例3（2016年常德卷）南海是我國的南大門.如圖3所示，某天我國一艘海監(jiān)執(zhí)法船在南海海域進(jìn)行常態(tài)化巡航，在A處測(cè)得北偏東30°方向上、距離為20海里的B處有一艘不明身份的船只正在向正東方向航行，便迅速沿北偏東75°的方向前往監(jiān)視巡查，經(jīng)過一段時(shí)間后，在C處成功攔截不明船只.問：我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了多少海里（最后結(jié)果保留整數(shù)）？

（參考數(shù)據(jù)：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659， tan75°=3.732，=1.732，=1.414）

圖3

分析：過B作BD⊥AC，在Rt△ABD中，可求出BD與AD的長(zhǎng)，在Rt△BCD中，可求出CD的長(zhǎng)，從而求出AC的長(zhǎng)．

解：過B作BD⊥AC，

疫∠BAC=75°-30°=45°，

∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，

答：我海監(jiān)執(zhí)法船在前往監(jiān)視巡查的過程中行駛了67海里．

方法歸納：要掌握方位角的表示方法，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化為解直角三角形.當(dāng)不是直角三角形時(shí)，通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形求解.

4．其他問題

圖4

例4（2016年山西卷）太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點(diǎn)，已成為世界各國普遍關(guān)注和重點(diǎn)發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè)．如圖4是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽能電池板與支撐角鋼AB的長(zhǎng)度相同，均為300cm，AB的傾斜角為30°，BE=CA=50cm，支撐角鋼CD，EF與底座地基臺(tái)面接觸點(diǎn)分別為D，F(xiàn)，CD垂直于地面，F(xiàn)E⊥AB于點(diǎn)E．兩個(gè)底座地基高度相同（即點(diǎn)D，F(xiàn)到地面的垂直距離相同），均為30cm，點(diǎn)A到地面的垂直距離為50cm.求：支撐角鋼CD和EF的長(zhǎng)度各是多少cm（結(jié)果保留根號(hào)）？

分析：過A作AG⊥CD于G，在Rt△ACG中，求得CG=25，連接FD并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于H，在Rt△CDH中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CH=90，在Rt△EFH中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解：過A作AG⊥CD于G，則∠CAG=30°.

∵GD=50-30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45.

連接FD并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于H，則∠BHF=30°，

∴EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50-50+90=290，

方法歸納：這類問題的背景往往是某一個(gè)生活用品(或其剖面圖)，文字較長(zhǎng)，概念較多，解題時(shí)，要邊閱讀題干邊看圖形，將實(shí)物（或剖面圖）抽象成數(shù)學(xué)圖形求解.

責(zé)任編輯：王二喜