廣義轉(zhuǎn)移的應(yīng)用(Ⅱ)*

劉 秀，韋華全，韓 艷

(1.昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昭通 657000；2.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530004)

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廣義轉(zhuǎn)移的應(yīng)用(Ⅱ)*

劉 秀1，韋華全2，韓 艷1

(1.昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昭通 657000；2.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530004)

利用已有的廣義轉(zhuǎn)移映射的概念和性質(zhì)研究其對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響.首先考察G到Z(G)內(nèi)的廣義轉(zhuǎn)移VG→Z(G)，證明了G′的階有限；然后考察G到可解子群H內(nèi)的廣義轉(zhuǎn)移VG→H，證明了F為G的正規(guī)子群且G=FH及F∩H=E,即G為群F被群H的擴(kuò)張；最后設(shè)G是p-正規(guī)的，考察G到其Sylow p-子群P內(nèi)的廣義轉(zhuǎn)移VG→P,利用已推廣的Grün第一定理，推廣了Grün第二定理.這些結(jié)果的獲得使有限群的自同構(gòu)群研究方法、子群嵌入研究方法得到新的發(fā)展，局部分析方法也得到新的應(yīng)用.

有限群；廣義轉(zhuǎn)移；Grün第二定理

有限群的研究大致可以分為有限群的構(gòu)造和有限群表示.研究有限群的構(gòu)造，有以下幾個(gè)最重要的研究方向：有限單群的同構(gòu)分類，有限群的自同構(gòu)群，有限群的擴(kuò)張問題，有限可解群理論，子群特性對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響等.這些課題一直是有限群研究的活躍課題.有限單群的同構(gòu)分類已于20世紀(jì)80年代得到解決，而其余的研究方向就自然成為人們研究的主要課題.

確定一個(gè)已知群的非單性或可解性,是群論中最重要的課題之一,其中轉(zhuǎn)移方法是行之有效的研究方法.轉(zhuǎn)移方法考察群G到它的一個(gè)子群H的可換商群H/H′的同態(tài)，其作用是確定G的可換(或稍加推廣為可解)商群的存在性.迄今為止，人們對(duì)于H為G的p-西洛子群的情況作了較深入的研究.在p-西洛子群內(nèi)的轉(zhuǎn)移給出G的極大可換p-商群.我們還知道，只要對(duì)G的p-西洛子群P的結(jié)構(gòu)給予一定限制，那么G的極大可換p-商群便同構(gòu)于NG(P)的極大可換p-商群.例如，若P是交換的，則上述結(jié)論成立(見Burnside定理[1]).若考慮P在G中的嵌入，例如，P與其在G中的共軛的交的情況便得到Grün定理[2].

在群的映射中，反同態(tài)映射是與同態(tài)映射相對(duì)應(yīng)的，它們是互為對(duì)稱的映射.在現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱的事物也比比皆是，而對(duì)稱的美正是正反雙方的統(tǒng)一，因此，我們希望能用統(tǒng)一的思想處理群的同態(tài)映射和反同態(tài)映射.為此，我們引入了廣義同態(tài)映射的概念，并利用這一概念，研究了有限群的廣義自同構(gòu)群、群在群上、群在集合的廣義作用、有限群的廣義特征子群、有限群的廣義擴(kuò)張、算子群等，能以統(tǒng)一的觀點(diǎn)處理若干相關(guān)的結(jié)果[3-13].

基于同樣的統(tǒng)一的思想方法，我們引入廣義轉(zhuǎn)移映射的概念，得到了廣義的初步性質(zhì),并應(yīng)用它推廣了p-冪零群的一個(gè)充分條件——Burnside定理[14].我們還研究了廣義轉(zhuǎn)移的應(yīng)用,推廣了Grün第一定理[15].筆者進(jìn)一步研究廣義轉(zhuǎn)移的應(yīng)用，證明了幾個(gè)較為深刻的結(jié)果，推廣了Grün第二定理.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[4,16]設(shè)G1,G2是群,映射f:G1→G2叫做G1到G2的廣義同態(tài)映射，如果?a,b∈G1,等式(ab)f=afbf和(ab)f=bfaf至少有一個(gè)成立.

定義2[14]所謂G到H內(nèi)的廣義轉(zhuǎn)移指的是G到H/H′內(nèi)的映射VG→H,滿足

定義3[17]設(shè)G是有限群，P是G的Sylow p-子群，如果對(duì)任意的g∈G，若

Z(P)g≤P，則Z(P)g=Z(P)，我們稱G是p-正規(guī)的.

引理1[18]設(shè)G=是有限生成的群,而A是G的一個(gè)指數(shù)有限的子群,則A可由2n|G:A|個(gè)元素生成.

引理2[14]VG→H是G到H/H′內(nèi)的廣義同態(tài).

引理3[4]設(shè)f是群G1到群G2的反同態(tài)滿射,H?G1且H?Ker f,則存在唯一的G1/H到G2的反同態(tài)滿射f*,使得f=φf*,這里φ是G1到G1/H的自然同態(tài)滿射.當(dāng)且僅當(dāng)Ker f=H時(shí),f*是G1/H到G2的反同構(gòu)映射.

引理4[1]G′是G的全不變子群,并且若N?G,則G/N是交換群?N≥G′.

引理5[15]設(shè)H

引理6[14]若|G:H|有限,g∈G.

引理7[15]設(shè)G是有限群,P是G的Sylow p-子群,則有

引理8[15]設(shè)G是有限群,P是G的Sylow p-子群,則

P∩G′=.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)G為一群，未必是有限的，但

|G/Z(G)|<∞,則|G′|<∞.

證明：由于G′/(G′∩Z(G))?G′Z(G)/Z(G)≤G/Z(G)，故

|G′/(G′∩Z(G))|<∞.

G′=<[ri,rj]|i,j=1,…,n>，

定理2 設(shè)H為G的可解子群能使H∩Ht=E,對(duì)一切t∈G-H.則集合

為G的正規(guī)子群且成立G=FH及F∩H=E.

證明：若H=E,則有F=G,結(jié)論顯然成立.故以下假定H≠E.

1)先證明F為G的子群.

考慮G到H內(nèi)的廣義轉(zhuǎn)移VG→H并證明：

a)對(duì)?h∈H均成立V(h)=hH′;特別地對(duì)于K=KerV成立H∩K=H′:

由引理6得

因?yàn)閕=1時(shí)的輪換為(Hx1,Hx1h,…,Hx1hfi),由h∈H便有Hx1h=Hh=H,故f1=1.若i>1，則由假定

從而V(h)=hH′或V(h)=h-1H′.

對(duì)?h′∈H′,則h′∈H,且V(h′)=h′H′=H′或V(h′)=(h′)-1H′=H′，

所以h′∈K，得h′∈H∩K.對(duì)?h∈H∩K,則h∈H，K,于是V(h)=hH′=H′或V(h)=h-1H′=H′，所以h∈H′.所以得到H∩K=H′.

b)成立G=KH:

設(shè)g∈G，則有h∈H能使V(g)=hH′.由a)，V(h)=hH′或V(h)=h-1H′.

故V(gh-1)=H′或V(gh)=H′，從而gh-1∈Ker V=K或gh∈Ker V=K，于是g∈Kh≤KH或g∈Kh-1≤KH，由此得G≤KH.所以G=KH.

c)由K∩H=H′及H≠E的可解性可知K

H′∩H′k≤H∩Hk=E.

由歸納假定，可假設(shè)對(duì)于K定理已得證.即

為K的正規(guī)子群并能使K=NH′,N∩H′=E且

|N|=|K∶H′|.對(duì)于g=hk∈HK=G成立

N∩Hg=N∩Hk=N∩(K∩Hk)=N∩H′k=E.

但又有

|N|=|K∶H′|=|K∶K∩H|=

|KH∶H|=|G∶H|=|F|

故N=F.即F為G的子群.

2)證明F?G.

3)證明G=FH及F∩H=E.

由F的定義可得F∩H=E.

若t′t-1∈G-H，則H∩Ht′t-1=E，于是有

Ht∩Ht′=E.從而

|F|=|G|-|G∶H|(|H|-1)=|G∶H|.由于F∩H=E及F≤G，即得|FH|=|F||H|

=|G|，故得G=FH.

定理3 設(shè)G是p-正規(guī)的有限群，P是G的Sylow p-子群，則

G/G′(p)?NG(Z(P))/NG(Z(P))′(p).

證明：由于Z(P)char P,故P≤NG(Z(P)),于是P是NG(Z(P))的Sylow p-子群.由引理7有

G/G′(p)?P/(P∩G′).

將引理7用于NG(Z(P))得出

NG(Z(P))/NG(Z(P))′(p)?P/(P∩

NG(Z(P))′)

顯然只需證明P∩G′=P∩NG(Z(P))′.

顯然有P∩NG(Z(P))′≤P∩G′.

故僅需證明

P∩G′≤P∩NG(Z(P))′.

由引理8，有P∩G′=.

由于NG(P)≤NG(Z(P))，顯然有

P∩NG(P)′≤P∩NG(Z(P))′.

現(xiàn)在證明

P∩P′g≤P∩NG(Z(P))′.

設(shè)T=P∩P′g.顯然有Z(P)≤NG(T).又因Z(P)g是Pg的中心，故Z(P)g≤NG(T)，從而存在NG(T)的Sylow p-子群P1,P2能使Z(P)≤P1,Z(P)g≤P2.

由G的p-正規(guī)性即得Z(P)=Z(P*)=Z(P)gs，故gs∈NG(Z(P)).

由s∈NG(T)得

T=Ts=Ps∩P′gs.

由于P≤NG(Z(P))，又得

P′gs≤NG(Z(P))′gs≤NG(Z(P))′

故

T=P∩P′g=Ps∩P′gs≤P∩NG(Z(P))′.

[1]徐明曜.有限群導(dǎo)引(上冊(cè))[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

[2] B.胡佩特.有限群論(第一卷第二分冊(cè))[M].福建：福建人民出版社，1992.

[3]劉秀,韋華全,黃杰山.有關(guān)廣義自同構(gòu)群的一些結(jié)論[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2007,24(3):1-4.

[4]韋華全,劉秀,楊麗英.廣義自同構(gòu)與有限群結(jié)構(gòu)[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2008,31(5):522-525.

[5]劉秀,韋華全,谷偉平,等.廣義作用與有限群結(jié)構(gòu)[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2009,26(2):1-4.

[6]韋華全,劉秀,黃杰山.廣義同態(tài)與算子群[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2010,26(4):85-89.

[7]劉秀,郭龍先,韋華全.算子群與直積分解[J].廣西科學(xué),2011,18(1):1-4.

[8]劉秀,張建元,韋華全.有限群的廣義特征子群[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,28(1):4-6.

[9]劉秀,韋華全,楊惠娟.廣義特征子群的某些判定與廣義作用[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,42(5):515-517.

[10]劉秀,韋華全,董延壽.群的廣義全不變子群的某些判定[J].太原師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013,12(2):13-15.

[11]劉秀，韋華全.有限群的廣義擴(kuò)張[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,30(2):12-15.

[12]劉秀，韋華全.有限群的廣義擴(kuò)張Ⅱ[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013,19(2):37-39.

[13]劉秀,韋華全.群在集合上的廣義作用與有限群結(jié)構(gòu)[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,31(6):621-623.

[14]劉秀,韋華全,馬儇龍.有限群的廣義轉(zhuǎn)移[J].云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2014,23(1):48-51.

[15]劉秀,馬儇龍,韋華全.廣義轉(zhuǎn)移的應(yīng)用[J].寧夏師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013,34(6):47-50.

[16]班桂寧.關(guān)于群的弱同態(tài)[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1998,22 (3):201-204.

[17]徐明曜.有限群導(dǎo)引(下冊(cè))[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

[18] B.胡佩特.有限群論(第一卷第一分冊(cè))[M].福建：福建人民出版社，1992.

[責(zé)任編輯 蘇 琴]

[責(zé)任校對(duì) 黃招揚(yáng)]

The Further Application of the Generalized Transfer

LIU Xiu1,WEI Hua-quan2,HAN Yan1

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,ZhaotongUniversity,Zhaotong657000,China； 2.CollegeofMathematicsandInformationScience,GuangxiUniversity,Nanning530004,China)

By using the concept and property of generalized transfer we have to study its effect on the structure of finite groups.Firstly,the result thatis a finite group is proved when we made the generalized transfer mapping from to.Then,the conclusion ofis a normal subgroup of and,,which also said thatis an extension of by is obtained when we used the generalized transfer mappingfromto solvable group.Finally ,letis anormal group ,the second theory of Grün has been generalized when we studied the generalized transfer mappingfromto Sylowsubgroupand used the the first theory of Grün which had been generalized.These results attained will make the research methods of automorphism group and subgroup embedding to get new development,meanwhile local analysis method can also obtain new application.

finite group；generalized transfer；the second theory of Grün

2016-03-20.

國家自然科學(xué)基金(11361006)；云南省教育廳科學(xué)研究基金(2014Y500)；云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2016FD082).

劉秀(1980-),女,廣西玉林人,碩士,昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師,研究方向：有限群論.

O152.1

A

1673-8462(2016)03-0055-04