課堂實(shí)錄：一個(gè)疑問(wèn)引發(fā)的風(fēng)波

摘 要：在教學(xué)直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí)，為了讓學(xué)生更直觀地了解直線與雙曲線的交點(diǎn)情況，借用GeoGebra軟件進(jìn)行演示。在演示中通過(guò)一個(gè)學(xué)生的疑問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、大膽質(zhì)疑、自主探究、實(shí)踐求證，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上深入探討了直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)。

關(guān)鍵詞：直線；雙曲線；數(shù)形結(jié)合；GeoGebra

GeoGebra是一個(gè)結(jié)合幾何、代數(shù)與微積分的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，它是由美國(guó)佛羅里達(dá)州亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter設(shè)計(jì)的，GeoGebra融合了代數(shù)與幾何兩大學(xué)科，做到了圖形與代數(shù)方程的同步變化，實(shí)現(xiàn)了真正的動(dòng)態(tài)演示。可以通過(guò)在下方的命令輸入框輸入圓錐曲線方程的方式（如輸入“x^ 2+y^ 2=1”）直接畫出圖形，甚至可以用向量運(yùn)算的方式輸入（A+B+C）/3來(lái)直接顯示△ABC的重心點(diǎn)。

一、波瀾不驚：常規(guī)教學(xué)在信息展示中傳授知識(shí)

在介紹直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí)，教師可以通過(guò)一個(gè)思考題來(lái)探究：討論直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求此時(shí)k的取值范圍。

代數(shù)解析不再贅述。為了讓學(xué)生更形象地理解直線與雙曲線的位置關(guān)系，利用GeoGebra軟件進(jìn)行了下面設(shè)計(jì)：

①先在“輸入框”中分別輸入并回車：x^ 2-y^ 2=1，y=x，y=-x，得到雙曲線及其漸近線的圖象，可以很清晰地讓學(xué)生理解相切與只有一個(gè)交點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系；

②在輸入框中輸入：y=kx-1，并回車，此時(shí)會(huì)彈出“創(chuàng)建滑動(dòng)條”的對(duì)話框，根據(jù)需要產(chǎn)生一個(gè)關(guān)于變量k的滑動(dòng)條（如下圖所示）。拉動(dòng)滑動(dòng)條，可讓學(xué)生與上面的代數(shù)式進(jìn)行驗(yàn)證。

二、風(fēng)波乍起：點(diǎn)滴疑問(wèn)在拓展思維中放飛思想

1.一個(gè)學(xué)生的積極歸納：

2.一個(gè)學(xué)生的無(wú)意提問(wèn)：是否所有直線與雙曲線的位置關(guān)系都可以利用上面的數(shù)軸來(lái)實(shí)現(xiàn)呢？

3.要回答學(xué)生提出的問(wèn)題，結(jié)合學(xué)生的嘗試和探討，教師可利用GeoGebra進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

（1）先實(shí)現(xiàn)雙曲線x2-y2=1及其漸近線的圖象；

（2）在輸入框中輸入：y=tan（a）*（x-p）+q，其中a∈[0，3.14]，p∈[-5，5]，q∈[-5，5]，從而形成過(guò)點(diǎn)M（p，q）的動(dòng)直線d；

（3）在輸入框中分別輸入：y=（x-p）+q與y=-（x-p）+q，回車后形成過(guò)點(diǎn)M（p，q）的兩條與雙曲線漸近線平行的伴隨動(dòng)直線；

（4）可以拖動(dòng)點(diǎn)M，讓它位于不同的位置，再拖動(dòng)參數(shù)a，觀察動(dòng)直線d與雙曲線的交點(diǎn)情況。如下圖1所示：

（I）先研究直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的情形：將雙曲線包含兩個(gè)焦點(diǎn)的區(qū)域簡(jiǎn)稱為雙曲線內(nèi)，含有原點(diǎn)的區(qū)域簡(jiǎn)稱為雙曲線外，如上圖2所示。通過(guò)定位點(diǎn)M（p，q）在圖2中的不同區(qū)域，可以觀察到下列情形：

①當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線內(nèi)時(shí)，有兩條與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線上或點(diǎn)M在雙曲線的漸近線上（除原點(diǎn)）時(shí)，有三條直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)：兩條與雙曲線漸近線平行的直線和一條與雙曲線相切的直線；

③當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線外左（右、上、下）區(qū)域時(shí)，有四條直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)：兩條與雙曲線漸近線平行的直線和兩條與雙曲線相切的直線；

④當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)處時(shí)，有兩條與雙曲線漸近線重合的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。

（II）利用檢驗(yàn)直線快速判斷直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及此時(shí)所對(duì)應(yīng)的直線斜率的變化范圍。下面是點(diǎn)M在雙曲線外左區(qū)域的檢驗(yàn)圖形及結(jié)論。

這樣，我們就可以很快得到上面右方的結(jié)論，這也形成了解決直線與雙曲線交點(diǎn)問(wèn)題的幾何法。

三、余波陣陣：大膽猜想在細(xì)致觀察中迸發(fā)靈感

四、波光粼粼：興趣探究在自我實(shí)踐中彰顯智慧

1.學(xué)生很好奇地利用GeoGebra軟件進(jìn)行拋物線的自主學(xué)習(xí)。

2.學(xué)生很成功地利用GeoGebra軟件進(jìn)行了雙曲線與橢圓等軌跡方程的再探究。

郭沫若老先生說(shuō)過(guò)：“教育的目的是養(yǎng)成自己學(xué)習(xí)、自由研究、用自己的頭腦來(lái)想、用自己的手來(lái)做的這種精神?！闭n堂是老師的生命力所在地，是學(xué)生智慧的發(fā)源地。為了讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，讓課堂活起來(lái)，讓愛(ài)充滿整個(gè)課堂，讓學(xué)生在樸素的課堂生活中去品味自然科學(xué)，我們要用師生之間的愛(ài)喚起學(xué)生的求知欲，用技巧引導(dǎo)學(xué)生全面和諧的發(fā)展，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)民主和諧的發(fā)展空間?！皵?shù)形結(jié)合拓思維，代數(shù)解析定經(jīng)緯”，這堂課借用學(xué)生的疑問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生自主觀察、大膽猜想、實(shí)踐求證、合作交流，讓學(xué)生真正成為課堂的主人。最有意義的是學(xué)生學(xué)會(huì)了使用數(shù)學(xué)工具軟件，并使之成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要助力。

參考文獻(xiàn)：

詹文藝.過(guò)定點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)問(wèn)題淺析[J].學(xué)法指導(dǎo)，2013（41）：95-96.

作者簡(jiǎn)介：楊平，男（1979—），碩士研究生，廣東省肇慶市端州區(qū)肇慶中學(xué)高中部數(shù)學(xué)教師。

編輯 楊國(guó)蓉