Hilbert K-模上的廣義對(duì)偶框架

董芳芳

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

Hilbert K-模上的廣義對(duì)偶框架

董芳芳

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

引入了緊算子代數(shù)模（簡(jiǎn)稱Hilbert K-模）上廣義框架的廣義框架變換，廣義框架算子，廣義典則對(duì)偶框架和廣義交替對(duì)偶框架，應(yīng)用泛函分析和算子代數(shù)的相關(guān)理論知識(shí),研究了其性質(zhì)，并得到了一些重要結(jié)論.

Hilbert K-模；誘導(dǎo)序列；廣義框架算子；廣義對(duì)偶框架

1　Hilbert K-模上的廣義框架和廣義框架變換

緊算子代數(shù)模（簡(jiǎn)稱Hilbert K-模）是一種特殊的HilbertC?-模，它的底代數(shù)K為作用在Hilbert空間上的全體緊算子組成的C?-代數(shù)，當(dāng)然I?K D.Bakic和B.Guljas在文獻(xiàn)[1]中證明了這種模一定存在特殊的標(biāo)準(zhǔn)正交基，其特殊點(diǎn)在于相同基向量的內(nèi)積為K中的一個(gè)秩為1的自伴投影（見[1]），而Hil?bertC?-模不一定存在標(biāo)準(zhǔn)正交基（見[2]）.

由該模上框架的框架變換的引入方式，就聯(lián)想到：對(duì)Hilbert K-模M和有限或可數(shù)生成的J個(gè)Hil?bert K-模Nj，j∈J，其中J為有限或可數(shù)生成的指標(biāo)集，在M到Nj上引入有限或可數(shù)生成的J個(gè)算子序列：Aj:M→Nj，使得對(duì)任意的x∈M，

其中{xj.λ,λ∈Λ}為M的框架，{vj.λ,λ∈Λ}為Nj的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則Aj為可伴算子，且

將{eξ,ξxj,λ,j∈J,λ∈Λ}稱為算子序列{Aj,j∈J}的誘導(dǎo)系列.這樣研究的對(duì)象就由K-模M上的元素序列{xλ,λ∈Λ}變成了算子序列{Aj,j∈J}.其中eξ，ξ∈K的定義為：對(duì)任意的η∈H，eξ,ξ(η)=(η,ξ)ξ,ξ∈H，且(H為Hilbert空間)，同時(shí)，其中(·,·)指Hilbert空間中元素的內(nèi)積.

文獻(xiàn)[3]和[4]中對(duì)模和空間上廣義框架的引入，但是這種引入方式更具有實(shí)際意義，誘導(dǎo)序列很巧妙地在框架和廣義框架之間起到橋梁和紐帶作用（見[5]）.

定義1設(shè)M，Nj均為Hilbert K-模，Aj:M→Nj為可伴算子，稱{Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義框架，若存在a>0，b>0，使得.若只有右半不等式成立，則稱為廣義Bessel序列；若a=b，則稱為廣義緊框架；若a=b=1，則稱為廣義正規(guī)緊框架.

定義2[3]稱{Λj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基，若，且

定義3設(shè){Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義框架，{Λj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基，引入算子Φ:M→M，使得對(duì)任意的x∈M，則 Φ為可伴算子，且，稱 Φ 為 {Aj,j∈J}的廣義框架變換.

由該定義可知：Φ為單射，那么Φ*就為滿射，Φ*Φ就為雙射，即Φ*Φ為可逆算子，且事實(shí)上，對(duì)任意的x∈M，

記S=Φ*Φ，則S為M上的可逆自伴的正算子，將S稱為{Aj,j∈J}的廣義框架算子.于是，{Aj,j∈J}為廣義正規(guī)緊框架當(dāng)且僅當(dāng){Aj,j∈J}為廣義框架當(dāng)且僅當(dāng)存在a,b>0，使得

2　Hilbert K-模上的廣義對(duì)偶框架

定理1設(shè){Aj,j∈J}M關(guān)于Nj的廣義框架，S為{Aj,j∈J}的廣義框架算子，則{AjS-1,j∈J}等均為M關(guān)于Nj的廣義框架.

2.1廣義典則對(duì)偶框架

定義4設(shè){Aj,j∈J}為Hilbert K-模M到Nj的廣義框架，S為 {Aj,j∈J}的廣義框架算子，稱{AjS-1,j∈J}為{Aj,j∈J}的廣義典則對(duì)偶框架.

一個(gè)廣義框架的廣義典則對(duì)偶框架是唯一的，其求法不難.

例1設(shè){Λj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基，取Aj={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…},j∈J,J為可數(shù)或有限生成的指標(biāo)集，則{Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義緊框架，且

即{Aj,j∈J}的廣義上下框架界a=b=2，從而其廣義框架變換S=2I，則，因此{(lán)A,jj∈J}的廣義典則對(duì)偶框架為：

即{Aj,j∈J}不僅為廣義緊框架，其廣義框架變換S=3I，，從而{A,jj∈J}的廣義典則對(duì)偶框架為：

定義5設(shè){Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均為Hilbert K-模M到Nj的廣義框架，若對(duì)任意的x∈M，，即，則 稱 {Bj,j∈J}為 {Aj,j∈J}的廣義交替對(duì)偶框架.

例 2設(shè) Aj={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…}，其中{Λj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基，取

或Bj={0,Λ1,0,Λ2,…0,Λj…}，則{Bj,j∈J}為{Aj,j∈J}的廣義交替對(duì)偶框架.事實(shí)上，

并且這樣的{Bj,j∈J}有個(gè)，也說明了廣義框架的廣義交替對(duì)偶框架是不唯一的.類似地，設(shè)

或…，或則{Bj,j∈J}為{Aj,j∈J}的廣義交替對(duì)偶框架，且這樣的{Bj,j∈J}有個(gè).

如此推廣下去，不難有：設(shè)

其中每組里有k-1個(gè)零算子，則{Bj,j∈J}為{Aj,j∈J}的廣義交替對(duì)偶框架，且這樣的{Bj,j∈J}有個(gè).

值得注意的是，{Aj,j∈J}的廣義交替對(duì)偶框架{Bj,j∈J}必須滿足兩個(gè)條件，首先是廣義框架，其次還要滿足，二者缺一不可.

例3設(shè)

即{Aj,j∈J}為廣義正規(guī)緊框架.而對(duì)

因此{(lán)Bj,j∈J}不可能是廣義框架，所以{Bj,j∈J}不是{Aj,j∈J}的廣義交替對(duì)偶框架.

2.2廣義典則對(duì)偶框架和廣義交替對(duì)偶框架的區(qū)別與聯(lián)系

結(jié)論1同一個(gè)廣義框架的廣義典則對(duì)偶框架一定是廣義交替對(duì)偶框架.

事實(shí)上，若{Aj,j∈J}為M到Nj的廣義框架，則{AjS-1,j∈J}為它的廣義典則對(duì)偶框架，又由于S是可逆自伴的正算子，從而，S-1S=SS-1=I，且

然而，廣義交替對(duì)偶框架不一定是廣義典則對(duì)偶 框 架.例 如 ，Bj={Λ1,0,Λ2,0,…,Λj,0,…}是Aj={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…}的廣義交替對(duì)偶框架，但不是廣義典則對(duì)偶框架，因?yàn)锳j={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…}的廣義典則對(duì)偶框架是唯一的并且為

結(jié)論2廣義交替對(duì)偶是互為廣義交替對(duì)偶.即：若{Bj,j∈J}為{Aj,j∈J}的廣義交替對(duì)偶框架，則{Aj,j∈J}也為{Bj,j∈J}的廣義交替對(duì)偶框架.

事實(shí)上，若{Bj,j∈J}為{Aj,j∈J}的廣義交替對(duì)偶框架，則，從而，

當(dāng)然，當(dāng) {Aj,j∈J}為廣義正規(guī)緊框架時(shí)，{Aj,j∈J}的廣義典則對(duì)偶框架和廣義交替對(duì)偶框架均為它本身，（因?yàn)椋?

2.3互為廣義交替對(duì)偶框架的廣義框架變換之間的關(guān)系

設(shè){Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均為Hilbert K-模M到Nj的廣義框架，其廣義框架變換分別為Φ1和Φ2，則對(duì)任意的x∈M，

定理2設(shè){Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均為Hilbert K-模M到Nj的廣義框架，其廣義框架變換分別為Φ1和Φ2，則{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}為一對(duì)廣義交替對(duì)偶框架當(dāng)且僅當(dāng)

事實(shí)上，由于{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}為一對(duì)廣義交替對(duì)偶框架當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)

[1]BAKIC D,GULJAS B.Hilbert C*-modules over C*-alge?bras of compact operators[J].ActaSci Math(Szeged),2002, 68:249-269.

[2]FRANK M,LARSON D R.Frames in Hilbert C*-modules and C*-algebras[J].Operator Theory,2002,48:203-233.

[3]肖秀梅,孟彬,靳世華.Hilbert K-模上g-框架的穩(wěn)定性[J].南京大學(xué)學(xué)報(bào)(數(shù)學(xué)半年刊),2010,27(1):105-115.

[4]SUN W C.G-frames and g-Riesz Bases[J].Math Anal Appl, 2006,322(1):437-452.

[5]董芳芳.Hilbert K-模上廣義框架的（強(qiáng)）不相交性研究[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào),2014,53(2):148-152.

[6]董芳芳.Hilbert K-模上酉系統(tǒng)的廣義框架向量集的參數(shù)化[J].東北師范大學(xué)學(xué)報(bào),2014,46(4):36-41.

[7]董芳芳.Hilbert K-模上廣義框架的和與直和的穩(wěn)定性[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),2014,40(2):154-157.

〔責(zé)任編輯高忠社〕

Generalized dual Frames in Hilbert K-Modules

Dong Fangfang
(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu741001,China)

s:In this paper,the concepts of generalized frame transform,generalized frame operator,generalized canon?ical dual frame and generalized alternate dual frame of generalized frame in Hilbert K-modules are introduced and their properties are studied by applying some theories about function analysis and operator algebra.Finally,some im?portant results are obtained.

Hilbert K-module;induced sequence;generalized frames operator;generalized dual frame

O177.1

A

1671-1351（2016）05-0005-04

2016-06-28

董芳芳（1981-），女，甘肅天水人，天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士.