基于重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)懲罰的遠(yuǎn)近場混合源定位算法

田 野，練秋生

(燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北秦皇島 066004)

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基于重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)懲罰的遠(yuǎn)近場混合源定位算法

田 野，練秋生

(燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北秦皇島 066004)

現(xiàn)有信源定位方法大多假定信源是遠(yuǎn)場源或近場源，而實際定位系統(tǒng)中往往存在遠(yuǎn)場源和近場源共存的情況.為實現(xiàn)遠(yuǎn)、近場源分離及高精度信源定位，本文在稀疏信號重構(gòu)理論框架下提出了一種新的遠(yuǎn)近場混合源定位算法.該算法利用陣列協(xié)方差矩陣反對角線元素和重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)懲罰獲得所有信源的到達(dá)角(Direction Of Arrival，DOA)估計.在DOA估計的基礎(chǔ)上，根據(jù)遠(yuǎn)場與近場源距離參數(shù)位于不同區(qū)間的特點利用一維搜索實現(xiàn)遠(yuǎn)、近場源分離以及近場源距離參數(shù)的估計.從理論角度分析了重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)懲罰算法的重構(gòu)性能.本文所提算法不僅同時適用于高斯和非高斯信號，而且無需多維搜索和參數(shù)配對，也無需信源數(shù)的先驗信息，同時還可以獲得較好的定位精度.計算機(jī)仿真結(jié)果驗證了所提算法的有效性.

陣列信號處理；遠(yuǎn)場源；近場源；遠(yuǎn)近場混合源；重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)懲罰

1 引言

信源定位是陣列信號處理領(lǐng)域的主要研究內(nèi)容之一，它在智能天線、雷達(dá)、聲吶、麥克風(fēng)陣列等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用并發(fā)揮著重要的作用[1]，因此受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.受研究發(fā)展階段和數(shù)學(xué)工具的限制，現(xiàn)有的信源定位方法大多假定信源為遠(yuǎn)場源或近場源.在該假設(shè)條件下，諸多信源定位方法被相繼提出，包括適用于遠(yuǎn)場源定位的MUSIC算法[2,3]、ESPRIT算法[4,5]、子空間映射算法[6]及其改進(jìn)算法；適用于近場源定位的2-D MUSIC算法[7]、高階MUSIC算法[8]、高階ESPRIT算法[9]、路徑跟蹤算法[10]以及線性預(yù)測算法[11]等.

然而，在一些實際的具體應(yīng)用中，如表面波雷達(dá)定位[12]、基于麥克風(fēng)陣列的說話人定位[13,14]以及室內(nèi)指引(自導(dǎo)引)系統(tǒng)[15,16]中，往往只有一部分信源位于陣列的近場區(qū)域(即菲涅爾區(qū)域)，而另一部分信源則位于陣列的遠(yuǎn)場區(qū)域，這將導(dǎo)致一種較為復(fù)雜的情況——遠(yuǎn)場源和近場源共存.在該背景下，已有的遠(yuǎn)場源和近場源定位方法均不再適用.

為解決遠(yuǎn)場源和近場源共存下的信源定位難題，Liang等人通過構(gòu)建兩個四階累積量矩陣提出了一種兩步MUSIC(two-stage MUSIC)算法[17]，然而該算法計算復(fù)雜度高，且不適用于高斯信號.為攻克兩步MUSIC算法的缺點，Jin和Wang等人分別基于二階統(tǒng)計量提出了斜投影MUSIC(oblique MUSIC)算法[18]和混合階MUSIC算法[19].上述遠(yuǎn)近場混合源定位算法均基于子空間理論，由于理論框架的限制其在信噪比較低、信源間距較近及信源數(shù)未知條件下，信源定位性能會因信號子空間與噪聲子空間的不正確分離而產(chǎn)生較大的誤差.

近年來，隨著壓縮感知理論體系[20,21]的出現(xiàn)和不斷完善，作為其核心理論的稀疏信號重構(gòu)引起了陣列信號處理領(lǐng)域研究者的廣泛關(guān)注，從稀疏信號重構(gòu)角度尋求解決子空間方法存在的共性問題成為了一種新的可能途徑.鑒于此，Wang等人在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上，提出了一種基于四階累積量稀疏表示的遠(yuǎn)近場混合源定位方法[22]，并獲得了優(yōu)于子空間類混合源定位方法的分辨率和定位精度.然而其自身存在的計算復(fù)雜度高、正則化參數(shù)選擇不合理、需要信源數(shù)的先驗信息以及不適用于高斯信號的缺陷也在一定程度上制約了算法的實用性.

針對上述遠(yuǎn)近場混合源定位方法存在的共性問題，本文提出了一種基于重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)懲罰的遠(yuǎn)近場混合源定位新方法.一方面，該算法基于二階統(tǒng)計量稀疏表示，既適用于高斯信號又適用于非高斯信號；另一方面，基于重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)懲罰獲得了更高的定位精度.此外，該算法不需要進(jìn)行多維搜索和參數(shù)配對，也無需信源數(shù)的先驗信息，實現(xiàn)簡便.

2 遠(yuǎn)近場混合源模型

假設(shè)有K個信源信號(遠(yuǎn)場或近場)入射到一個由L=2M+1個陣元組成的對稱均勻線陣上，如圖1所示.以第0個陣元為相位參考點，則第m個陣元的輸出可表示為

(1)

式(1)中，sk(t)代表第k個信源信號，nm(t)代表加性噪聲，Q代表采樣快拍數(shù)，τmk代表第k個信號到達(dá)第m個陣元和第0個陣元的時延差，表示為

τmk=mγk+m2φk

(2)

式(2)中，γk=-2πdsin(θk)/λ，φk=πd2cos2(θk)/λrk.θk和rk分別為第k個信源信號的DOA和距離，λ和d分別為載波波長和陣元間距.如果第k個信源為遠(yuǎn)場源，即rk→∞，則τmk簡化表示為

τmk=mγk

(3)

基于以上分析，可得到遠(yuǎn)近場混合源信號接收模型為

y(t)=As(t)+n(t)

=AFsF(t)+ANsN(t)+n(t)

(4)

AF=[aF(γ1),…,aF(γK1)]

(5)

AN=[aN(γK1+1,φK1+1),…,aN(γK,φK)]

(6)

其中，K1和K-K1分別代表遠(yuǎn)場源和近場源的個數(shù)，aF(γk)和aN(γk,φk)分別為AF和AN的第k列，表示為

aF(γk)=[e-jMγk,…,1,…,ejMγk]T

(7)

aN(γk,φk)=[e-jMγk+M2φk,…,1,…,ejMγk+M2φk]T

(8)

sF(t)和sN(t)分別代表遠(yuǎn)場源和近場源信號向量，即

sF(t)=[s1(t),…,sK1(t)]T

(9)

sN(t)=[sK1+1(t),…,sK(t)]T

(10)

符號T代表轉(zhuǎn)置操作.

本文做如下假設(shè)：

假設(shè)1 信源信號為零均值、相互獨立的隨機(jī)過程；

假設(shè)2 傳感器上的加性噪聲為零均值高斯白噪聲，且與信源信號不相關(guān)，其方差為σ2；

假設(shè)3 為避免相位模糊，陣元間距和信源數(shù)分別滿足d≤λ/4，K

3 遠(yuǎn)近場混合源定位算法

3.1 所有信源的DOA估計

基于式(4)，可得陣列協(xié)方差矩陣為

R=E{y(t)yH(t)}=ASA+σ2I

(11)

R的第p個反對角元素為

(12)

式(12)中，δ(·)代表狄拉克函數(shù)，p∈[1,L].

對于所有p，本文構(gòu)建如下L×1的向量

r =[R(1,L),R(2,L-1),…,R(L,1)]T

=Bp+σ2iM+1

(13)

式(13)中

B=[b(γ1),…,b(γK)]

(14)

b(γk)=[e-j2Mγk,e-j2(M-1)γk,…,ej2Mγk]T

(15)

p=[P1,P2,…,PK]T

(16)

iM+1是L×1的向量，其第M+1個元素為1，其它元素為0.

當(dāng)信源數(shù)K已知時，可直接通過最大似然估計獲得噪聲協(xié)方差的估計值，進(jìn)而獲得無噪觀測模型.然而實際中信源數(shù)往往未知，為降低噪聲干擾同時攻克信源數(shù)未知背景下的信源定位，本文通過去掉r的第M+1個元素(即噪聲項)構(gòu)建無噪觀測模型，即

(17)

(18)

進(jìn)一步，所有信源的DOA估計可通過如下的最小l1范數(shù)懲罰問題獲得

(19)

式(19)中，||·||2和||·||1分別代表l2范數(shù)和l1范數(shù)，h為權(quán)衡稀疏性與估計精度的正則化參數(shù).

根據(jù)拉格朗日乘子法，式(19)可以等價表示為如下的約束形式

(20)

式(20)中，η為對應(yīng)于h的新正則化參數(shù).

(21)

(22)

(23)

(24)

式(24)中，

(25)

(26)

式(26)中，W=diag{w1,…,wN}為權(quán)值矩陣.

(27)

在η≥α下通過消除噪聲項有

(28)

由于權(quán)值wi≠0，式(26)可等價表示為

(29)

式(29)中，zN=WpN，z0=Wp0.

(30)

對式(30)進(jìn)行展開并根據(jù)|a+b|≥|a|-|b|有

(31)

式(31)中，ξ和ξc分別為p0中零值元素和非零元素的索引.

(32)

即

(33)

基于以上分析，由式(23)獲得的估計誤差可被限制為

(34)

根據(jù)文獻(xiàn)[23]的式(3.11)及其后續(xù)相關(guān)推導(dǎo)可得，

(35)

證明完畢.

注1 定理1說明，重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)懲罰的應(yīng)用可以很好地改善非零幅值估計精度，更有效地避免偽峰值的出現(xiàn)，從而保證了本文算法在信源數(shù)未知條件下的估計性能.

注2 pN中非零元素的個數(shù)和幅值即為信源數(shù)和信號功率，因此基于式(23)進(jìn)行稀疏重構(gòu)除獲得DOA估計外，還可以獲得較好的信源數(shù)估計和功率估計.

3.2 調(diào)整參數(shù)和正則化參數(shù)選擇

調(diào)整參數(shù)ε和正則化參數(shù)h嚴(yán)重影響著算法的重構(gòu)性能.然而，目前針對調(diào)整參數(shù)的選擇還沒有很好的策略，本文借鑒JLZA-DOA[27]和重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)懲罰[26]方法中的策略，通過大量仿真實驗得到較為合理的調(diào)整參數(shù)，即經(jīng)驗上，ε=0.1min{Pk,k=1,…,K}是一個很好的選擇.

(36)

3.3 遠(yuǎn)、近場源區(qū)分及近場源距離估計

rs=[rNrF]

(37)

其中，rN=[rN,1,…,rN,N1]∈[0.62(D3/λ)1/2,2D2/λ]為近場搜索區(qū)域，rF=[rF,1,…,rF,N2]為遠(yuǎn)場搜索區(qū)域，且rF,q>>2D2/λ(q=1,…,N2)，D為陣列孔徑.

然后通過式(38)的一維譜峰搜索區(qū)分遠(yuǎn)、近場源以及實現(xiàn)近場源距離估計

(38)

注3 重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)懲罰可以有效地抑制偽峰并獲得較好的信源數(shù)估計，因此在算法實施過程中噪聲子空間Un亦可較精確地得到.

注4 本文所提算法基于多維參數(shù)求解轉(zhuǎn)化為多個一維參數(shù)分別求解的思想，即先利用稀疏重構(gòu)估計所有信源的DOA，然后通過一維搜索區(qū)分遠(yuǎn)、近場源及實現(xiàn)近場源距離估計.整個過程無需多維搜索和參數(shù)配對過程.

3.4 計算復(fù)雜度分析

本文所提算法的計算復(fù)雜度主要集中于協(xié)方差矩陣構(gòu)建過程、稀疏重構(gòu)過程、交叉驗證過程、遠(yuǎn)近場源區(qū)分及近場距離估計過程.第一項需要的復(fù)乘次數(shù)為O(L2Q)，中間兩項需要的復(fù)乘次數(shù)均為O(N3)，最后一項需要的復(fù)乘次數(shù)為O(L2K(N1+N2)).作為對比，Wang等人提出的稀疏混合源定位方法[22]所需要的復(fù)乘次數(shù)主要為O(9L3Q)+O(K3N3+K6(N1+N2)3).通常N,N1,N2>>L>K，Q>>L>K，因此本文算法在信源數(shù)K或采樣快拍數(shù)Q較大時，計算復(fù)雜度低于文獻(xiàn)[22]的稀疏方法.注意到斜投影MUSIC算法[18]基于二階統(tǒng)計量和子空間理論，所需要的復(fù)乘次數(shù)主要為O(L2Q)+O(L2N1(K-K1))，其計算復(fù)雜度低于本文所提算法，但需要說明的是本文算法無需信源數(shù)的先驗信息且可獲得改進(jìn)的定位性能(詳見仿真實驗部分).

3.5 可估計的最大信源數(shù)分析

分析過完備基矩陣Φ可知，Φ的任意2M列是線性獨立的.由唯一表示性質(zhì)(URP)及文獻(xiàn)[29]的定理1知，K

4 仿真實驗

通過仿真實驗驗證所提算法的性能，并與兩步MUSIC方法[17]、斜投影MUSIC方法[18]以及文獻(xiàn)[22]的稀疏混合源定位方法進(jìn)行比較.仿真中采用由9個陣元組成的對稱均勻線陣，陣元間距d=λ/4，除實驗1中的圖2(b)外，信源信號均建模為ejζt，其中相位ζt均勻分布在[0,2π]，噪聲假定為高斯白噪聲.DOA估計時，以1°間隔先對-90°到90°的空間進(jìn)行粗網(wǎng)格劃分，進(jìn)而在估計出的角度周圍逐步細(xì)化網(wǎng)格.DOA和距離估計的均方根誤差(RMSE)通過500次獨立的Monte Carlo仿真實驗獲得.

實驗1 非高斯和高斯信號下的空間譜輸出

信源信號位置分別為{θ1=-10°,r1=2.5λ}，{θ2=20°,r2=∞}，SNR和快拍數(shù)分別為10dB和200，兩個信源信號的功率相等且P1=P2=1.非高斯和高斯信號下的空間譜輸出結(jié)果分別如圖2(a)和圖2(b)所示.可以看出，本文算法不僅適用于高斯和非高斯信號，而且還可以獲得較好的功率估計.這一結(jié)果也驗證了定理1及注2的相關(guān)結(jié)論.

實驗2 距離域遠(yuǎn)、近場源區(qū)分

仿真條件與實驗1相同，近場搜索區(qū)域為[λ,8λ]，搜索步長為0.1λ.遠(yuǎn)場搜索區(qū)域為[10λ,100λ]，搜索步長為10λ.圖3(a)為對應(yīng)于θ=-10°的距離域空間譜輸出結(jié)果，圖3(b)為對應(yīng)于θ=20°的距離域空間譜輸出結(jié)果.可以看出θ=-10°對應(yīng)的譜峰位于近場區(qū)域，而θ=20°對應(yīng)的最大值位于遠(yuǎn)場區(qū)域，因此可判斷信源1為近場源，信源2為遠(yuǎn)場源.實驗2說明本文算法可以有效地區(qū)分遠(yuǎn)、近場源.

實驗3 對假定信源數(shù)的敏感性分析

本文所提算法可無需信源數(shù)的先驗信息，為驗證這一結(jié)論.假定兩個信源分別位于{θ1=10°,r1=3λ}，{θ2=30°,r2=∞}，SNR和快拍數(shù)分別為5dB和200，假定的信源數(shù)Ka由1變化到4，不同算法的空間譜輸出分別如圖4(a)～圖4(d)所示.可以看出，只有本文所提算法不受假定信源數(shù)的影響，而其他方法均不同程度的受到影響，這充分說明了本文算法對假定信源數(shù)的高穩(wěn)健性以及定理1與注1相關(guān)結(jié)論的正確性.

實驗4 估計RMSE隨SNR變化關(guān)系比較

信源信號位置分別為{θ1=10°,r1=2.5λ}，{θ2=30°,r2=∞}，信號功率相等，快拍數(shù)固定為200，SNR由-5dB變化到20dB，不同算法的RMSE隨SNR的變化關(guān)系如圖5所示.可以看出本文所提算法近場源DOA估計性能接近文獻(xiàn)[22]的稀疏混合源定位方法，而優(yōu)于兩步MUSIC方法和斜投影MUSIC方法.遠(yuǎn)場源DOA估計性能接近斜投影MUSIC算法，而優(yōu)于兩步MUSIC方法和文獻(xiàn)[22]的稀疏混合源定位方法.對于距離估計，本文所提算法則全面優(yōu)于其他方法.此種現(xiàn)象可解釋如下： 文獻(xiàn)[22]的稀疏方法、斜投影MUSIC算法和本文算法分別在近場源DOA估計、遠(yuǎn)場源DOA估計和距離估計時更充分地利用了陣列輸出數(shù)據(jù)(詳見本文和參考文獻(xiàn)[18,22])，因此它們在相對應(yīng)場景下的參數(shù)估計精度最高.同時，相比于文獻(xiàn)[22]的稀疏方法，本文算法由于采用了更好的懲罰策略以及更穩(wěn)健的正則化參數(shù)也獲得了相對較好的DOA估計性能.

實驗5 估計RMSE隨快拍數(shù)變化關(guān)系比較

SNR固定為10dB，快拍數(shù)由100變化到800，其他仿真條件與實驗4相同.仿真結(jié)果如圖6所示，與實驗4得到的結(jié)論類似，本文所提算法近場源DOA估計性能優(yōu)于兩步MUSIC方法和斜投影MUSIC方法，遠(yuǎn)場源DOA估計性能優(yōu)于兩步MUSIC方法和文獻(xiàn)[22]的稀疏混合源定位方法.對于距離估計，本文所提算法則全面優(yōu)于其它方法.同時，還可以看到本文所提算法的RMSE隨快拍數(shù)的增加而明顯降低.

實驗6K>2時的空間譜輸出及運算時間比較

考慮兩個近場源和一個遠(yuǎn)場源信號入射情況，信源位置分別為{θ1=-10°,r1=2λ}，{θ2=20°,r2=3λ}，{θ3=60°,r3=∞}，SNR和快拍數(shù)分別為20dB和200，三個信源信號的功率相等且P1=P2=P3=1，運行程序的計算機(jī)配置為英特爾酷睿i5 1.8GHz處理器，內(nèi)存為2GB.非高斯信號下本文算法和文獻(xiàn)[22]的稀疏混合源定位方法的空間譜輸出和運算時間如圖7所示.可以看出，本文算法不僅適用于K>2時的遠(yuǎn)近場混合源定位場景，而且和文獻(xiàn)[22]的稀疏混合源定位方法相比，還獲得了估計精度與算法復(fù)雜度的良好平衡.

5 結(jié)論

本文在稀疏信號重構(gòu)理論框架下提出了一種新的遠(yuǎn)近場混合源定位算法.該算法充分利用了二階統(tǒng)計量和重加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)懲罰的優(yōu)勢，不僅適用于高斯和非高斯信號，而且無需多維搜索和參數(shù)配對過程，也無需信源數(shù)的先驗信息.進(jìn)一步借助合理的調(diào)整參數(shù)和正則化參數(shù)更是獲得了較高的DOA、距離和功率估計表現(xiàn).

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[29]Gorodnitsky I F,Rao B D.Sparse signal reconstruction from limited data using FOCUSS:A re-weighted minimum norm algorithm[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1997,45(3):600-616.

田 野 男，1985年12月生于河北省平泉縣，2014年于吉林大學(xué)通信與信息系統(tǒng)專業(yè)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院講師，主要研究方向為陣列信號處理、稀疏信號重構(gòu)等.

E-mail:tianye@ysu.edu.cn

練秋生 男，1969年8月生于江西遂川，工學(xué)博士，現(xiàn)為燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向為稀疏表示，壓縮感知等.

E-mail:lianqs@ysu.edu.cn

Mixed Far-Field and Near-Field Source Localization Algorithm Based on Reweighted l1-Norm Penalty

TIAN Ye,LIAN Qiu-sheng

(SchoolofInformationScienceandEngineering,YanshanUniversity,Qinhuangdao,Hebei066004,China)

Existing source localization methods mostly assume that the sources are pure near-field sources or pure far-field sources.While in practical localization systems,both far-field and near-field sources may exist simultaneously.To classify far-field and near-field sources,and also to achieve high-precision source localization,a novel mixed far-field and near-field source localization algorithm is proposed in sparse signal reconstruction framework.The algorithm first utilizes anti-diagonal elements of array covariance matrix and reweighted l1-norm penalty to obtain DOA estimation of all sources,then classifies far-field and near-field sources and successively obtains range estimation of near-field sources via one-dimensional search,by exploring the feature that the range parameters of far-field and near-field sources are located in different areas.Theoretically,we analyze the reconstruction performance of the reweighted l1-norm penalty algorithm.The proposed algorithm is not only suitable for dealing with Gaussian signals and non-Gaussian signals,but also without multi-dimensional search and parameter pairing process,and also without knowing the number of sources.Meanwhile,the proposed algorithm can even provide good estimation accuracy.Computer simulation results validate the effectiveness of the proposed algorithm.

array signal processing;far-field sources;near-field sources;mixed far-field and near-field sources;reweighted l1-norm penalty

2015-04-22；

2015-08-17；責(zé)任編輯：孫瑤

國家自然科學(xué)基金(No.61471313，No.61601398)；河北省自然科學(xué)基金(No.F2016203100，No.F2014203076)；河北省高等學(xué)校青年拔尖人才計劃(No.BJ2016051)

TN911.7

A

0372-2112 (2016)10-2440-09

??學(xué)報URL:http://www.ejournal.org.cn

10.3969/j.issn.0372-2112.2016.10.023