基于污染二維混沌動(dòng)力系統(tǒng)的加密算法

王 麗 燕， 柳 揚(yáng)

( 大連大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 大連 116622 )

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基于污染二維混沌動(dòng)力系統(tǒng)的加密算法

王 麗 燕*， 柳 揚(yáng)

( 大連大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 大連 116622 )

首先定義了污染動(dòng)力系統(tǒng)，將二維Henon動(dòng)力系統(tǒng)用二維Logistic動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行污染，用這個(gè)污染的二維混沌動(dòng)力系統(tǒng)構(gòu)造序列密碼體系．這種算法可以產(chǎn)生兩列密鑰，從而有效地解決了輸出結(jié)果對(duì)密鑰低bit位變化敏感度較低的問(wèn)題．計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)和游程測(cè)試、相關(guān)性分析、靈敏度分析、平衡度檢驗(yàn)等安全實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果表明，密文、明文和密鑰之間具有高度的非線性和敏感性，算法的密鑰空間巨大，可以有效防止統(tǒng)計(jì)攻擊、唯密文攻擊和窮舉攻擊．

污染動(dòng)力系統(tǒng)；二維Henon動(dòng)力系統(tǒng)；二維Logistic動(dòng)力系統(tǒng)；序列密碼

0 引 言

為增強(qiáng)混沌動(dòng)力系統(tǒng)的敏感性，本文借用污染分布的思想，給出污染動(dòng)力系統(tǒng)的定義，將二維Henon動(dòng)力系統(tǒng)用二維Logistic動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行污染，討論污染后動(dòng)力系統(tǒng)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．基于該污染的二維混沌系統(tǒng)產(chǎn)生兩列密鑰流對(duì)明文進(jìn)行加密，通過(guò)游程測(cè)試、相關(guān)性分析、靈敏度分析、平衡度檢驗(yàn)等計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)對(duì)安全性進(jìn)行驗(yàn)證．

1 混沌動(dòng)力系統(tǒng)

1.1 污染混沌動(dòng)力系統(tǒng)

定義1 設(shè)f1和f2是兩個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，稱(chēng)f=αf1+(1-α)f2為污染動(dòng)力系統(tǒng)，其中α(0<α<1)稱(chēng)為污染系數(shù)．

1.2 污染二維混沌動(dòng)力系統(tǒng)

二維Logistic映射動(dòng)力學(xué)方程為

xn+1=μλ1xn(1-xn)+γyn

yn+1=μλ2yn(1-yn)+γxn

(1)

其中λ1、λ2、γ、μ是參數(shù)．當(dāng)μ=4時(shí)，表1列出了系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的不同條件[12]．

表1 二維Logistic映射混沌條件

圖1分別給出了兩種參數(shù)取值條件下的分叉情況．

二維Henon映射的動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

其中p、q為參數(shù)．圖2給出了p=1.4，q=0.3條件下的混沌狀態(tài)圖．

將二維Henon映射用二維Logistic映射進(jìn)行污染，得到污染動(dòng)力系統(tǒng)：

(3)

其中0<α<1．

(a) λ1, λ2=1-λ1, λ=0.3

(b)λ1=λ2,λ=1-λ1

圖1 Logistic映射分叉圖

Fig.1 Branch chart of Logistic mapping

圖2 Henon映射的吸引子

利用Matlab計(jì)算，得到Jacobi矩陣的特征值的絕對(duì)值為1.871 9>1，根據(jù)差分方程組計(jì)算Lyapunov指數(shù)定義[13]，可知式(3)的Lyapunov指數(shù)大于零，說(shuō)明污染的二維動(dòng)力系統(tǒng)(3)為混沌動(dòng)力系統(tǒng)．系統(tǒng)輸出的x(n)和y(n)的值如圖3所示，容易看出輸出值服從均勻分布．

(a) x(n)

(b)y(n)

圖3x(n)和y(n)在其區(qū)間的分布

Fig.3 The distribution ofx(n) andy(n) in their domains

2 序列密碼的加密與解密算法

2.1 加密算法

加密過(guò)程如圖4所示．

圖4 加密過(guò)程

具體加密算法如下：

(1)通過(guò)ASCII碼把明文轉(zhuǎn)化為十六位二進(jìn)制序列{m1m2m3…mn}，其中mi(i=1,2,3,…,n)為0或者1．

(2)確定密鑰．給二維污染混沌動(dòng)力系統(tǒng)(3)中的參數(shù)μ、γ、λ1、λ2、p、q、α取值，選定迭代初始值x0、y0，迭代得到兩個(gè)混沌序列{x(i)}(i=1,2,3,…,n)和{y(j)}(j=1,2,3,…,n)．

(3)由離散化算子Tk(x(i))=[10kx(i)]mod 2和Tk(y(j))=[10ky(j)]mod 2，計(jì)算得到兩個(gè)密鑰序列{k(i)}和{k(j)}，其中k(i)=Tk(x(i))(i=1,2,3,…,n)，k(j)=Tk(y(j))(j=1,2,3,…,n)．

(4)比較兩個(gè)密鑰序列{k(i)}(i=1,2,3,…,n)和{k(j)}(j=1,2,3,…,n)中0的個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)多的取正序列，個(gè)數(shù)少的取逆序列，然后將這兩個(gè)序列異或，得到新的密鑰序列{k(l)}(l=1,2,3,…,n)．

(5)將密鑰序列{k(l)}(l=1,2,3,…,n)與明文序列{m1m2m3…mn}進(jìn)行異或運(yùn)算，得到密文二進(jìn)制序列{c1c2c3…cn}．

(6)由密文序列C=c1c2c3…cn的ASCII值得到最終的密文．

類(lèi)似地可以給出解密算法．

2.2 算法仿真

“二維污染混沌動(dòng)力系統(tǒng)”明文的二進(jìn)制序列為

01001110100011000111111011110100011011

00011000010110011111010011011011011111

01110110110010001100010100101010100001

01001010011011011111001111101101111110

11011111

不同條件下得到的密文如下：

(1)若取μ=4，γ=0.52，λ1=0.7，λ2=0.3，p=1.4，q=0.3，α=0.02，x0=0.131 4，y0=0.112 3，j=4，得到的密文為

(2)若取α=0.02+10-11，其他條件與(1)相同，密文為

(3)若取y0=0.112 3+10-11，其他條件與(1)相同，密文為

(4)若取x0=0.131 4+10-11，其他條件與(1)相同，密文為

(5)若取x0=0.131 4+10-11,y0=0.112 3+10-11，其他條件與(1)相同，密文為

(6)若取j=7，其他條件與(1)相同，密文為

(7)若取x0=0,y0=0，其他條件與(1)相同，密文為

(8)若取γ=0.52+10-7，x0=0，y0=0，j=4，其他條件與(1)相同，密文為

圖5給出了以上8種條件下密文用0-1序列的圖形化表示, 顯然，密鑰的細(xì)微改變將會(huì)導(dǎo)致密文的顯著改變．

3 安全性分析

3.1 游程測(cè)試[13]

游程是指序列中由相同bit所構(gòu)成的不間斷的子序列．該測(cè)試可以判斷其是否為隨機(jī)序列．

具體測(cè)試方法如下：

步驟4 計(jì)算判斷標(biāo)準(zhǔn)P：

如果P<0.01，斷定測(cè)試的序列隨機(jī)性較差；反之，斷定序列具有較好的隨機(jī)性．

若選取μ=4，γ=0.52，λ1=0.7，λ2=0.3，p=1.4，q=0.3，α=0.02，x0=0.131 4，y0=0.112 3，j=4，n=160，計(jì)算得到x(n)序列和y(n) 序列的P都為1.99，遠(yuǎn)大于0.01．因此，可以認(rèn)為混沌序列是隨機(jī)序列．

3.2 相關(guān)性分析

本文選取長(zhǎng)度n=10 000的0序列作為明文，以動(dòng)力系統(tǒng)(3)參數(shù)值μ=4，γ=0.52，λ1=0.7，λ2=0.3，p=1.4，q=0.3，α=0.02，x0=0.131 4，y0=0.112 3，j=4為例，對(duì)明文進(jìn)行加密，相關(guān)度情況如圖6所示．

顯然隨著n的增大，相關(guān)度逐漸趨近于0，說(shuō)明密文與明文幾乎不相關(guān)．

圖6 明文與密文的相關(guān)度

3.3 靈敏度分析

如果明文表示為{m1m2m3…mn}，密文表示為{s1s2s3…sn}，其中mi和si只取0或1，i=1,2,3,…,n，稱(chēng)

為明文與密文間的靈敏度[27]．

仍以長(zhǎng)度n=10 000的0序列作為明文，動(dòng)力系統(tǒng)(3)參數(shù)值μ=4，γ=0.52，λ1=0.7，λ2=0.3，p=1.4，q=0.3，α=0.02，x0=0.131 4，y0=0.112 3，j=4為例，對(duì)明文進(jìn)行加密，密文與明文間的靈敏度情況如圖7所示．

圖7 靈敏度分析圖

圖7表明，相比明文，大致50%的密文序列將會(huì)改變．

3.4 密文的平衡度檢驗(yàn)

仍以長(zhǎng)度n=10 000的0序列作為明文，動(dòng)力系統(tǒng)(3)參數(shù)值μ=4，γ=0.52，λ1=0.7，λ2=0.3，p=1.4，q=0.3，α=0.02，x0=0.131 4，y0=0.112 3，j=4為例，對(duì)明文進(jìn)行加密，密文序列中0-1平衡度如圖8所示．

圖8 平衡度分析圖

圖8的結(jié)果表明，序列位數(shù)越多，平衡度的值就越趨近于0，說(shuō)明序列中1和0的個(gè)數(shù)幾乎相等．

3.5 密鑰空間分析

本文選取的密鑰是污染二維混沌動(dòng)力系統(tǒng)隨機(jī)產(chǎn)生的初值x0、y0和離散化算子以及污染系數(shù)α，假設(shè)計(jì)算的精度為10-5，采用本算法形成的密鑰空間至少為1020．實(shí)際上，動(dòng)力系統(tǒng)本身的參數(shù)μ、γ、λ1、λ2、p、q只要在可以形成混沌的范圍內(nèi)取值，都可以作為密鑰．而且計(jì)算機(jī)的計(jì)算精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)10-5，這樣密鑰空間將大大超過(guò)1020．本算法足夠抵抗由于密鑰空間不大而形成的窮舉攻擊．

4 結(jié) 語(yǔ)

本文給出污染混沌動(dòng)力系統(tǒng)的概念，并用污染系數(shù)α將二維Henon動(dòng)力系統(tǒng)用二維Logistic動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行污染，并進(jìn)一步用污染后的多參數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)構(gòu)造序列密碼的加密算法．所進(jìn)行的各項(xiàng)性能分析，如隨機(jī)性分析、相關(guān)性分析、靈敏度分析、0-1平衡度檢驗(yàn)等都表明污染的混沌映射具有良好統(tǒng)計(jì)特性，而且密鑰空間巨大，可以有效防止統(tǒng)計(jì)攻擊、唯密文攻擊和窮舉攻擊．

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LIAO Xiao-feng, XIAO Di, CHEN Yong,etal. Theory and Applications of Chaotic Cryptography [M]. Beijing:Science Press, 2009. (in Chinese)

Encryption algorithm based on contaminated two-dimensional chaotic dynamic system

WANG Li-yan*, LIU Yang

( College of Information Engineering, Dalian University, Dalian 116622, China )

An algorithm to construct a stream cipher system is presented by defining a contaminated dynamic system, in which the two-dimensional Henon dynamic system is contaminated by the two-dimensional Logistic dynamic system. By generating two columns of keys, this algorithm can effectively solve the problem that the output is not very sensitive to the change of the low bit of the input. The results of safety tests, such as computer simulation, runs test, correlation analysis, sensitivity analysis and balance test, etc. show the highly nonlinearity and sensitivity among ciphertext, plaintext and the key. Also the large key space of this algorithm can effectively prevent the statistical attacks, ciphertext only attacks and exhaustive attacks.

contaminated dynamic system; two-dimensional Henon dynamic system; two-dimensional Logistic dynamic system; stream cipher

2016-01-19；

2016-09-02．

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71072161)．

王麗燕*(1963-)，女，博士，教授，E-mail:wly1963@163.com；柳 揚(yáng)(1979-)，女，博士生，E-mail:lykx2001@163.com.

1000-8608(2016)06-0650-07

TN918

A

10.7511/dllgxb201606014