刪繁就簡三秋樹，標(biāo)新立異二月花
——對2016年南通市中考數(shù)學(xué)第28題的分析與思考

☉江蘇省海門市海南中學(xué)孫靜

刪繁就簡三秋樹，標(biāo)新立異二月花
——對2016年南通市中考數(shù)學(xué)第28題的分析與思考

☉江蘇省海門市海南中學(xué)孫靜

今年我有幸參加了2016年南通市中考數(shù)學(xué)試卷的評閱工作，并擔(dān)任第28題閱卷組組長.今年數(shù)學(xué)試卷總體上較好地體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的評價理念，既重視對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識與技能的結(jié)果和過程的評價，也關(guān)注了學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和解決問題能力等方面的綜合評價，體現(xiàn)了初中畢業(yè)數(shù)學(xué)考試的基本定位.從成績統(tǒng)計和閱卷教師的反映看，今年數(shù)學(xué)題型多樣，探索性強，是近年中考數(shù)學(xué)命題中的佳作，其中第28題更可謂上乘之作.

本文擬對第28題進行深入分析，并結(jié)合試卷中所反饋的信息，談?wù)剬?shù)學(xué)教學(xué)的啟示與思考.

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點C（3，0），函數(shù)y=的圖像經(jīng)過?OABC的頂點A（m，n）和邊BC的中點D.

（1）求m的值；

（2）若△OAD的面積等于6，求k的值；

圖1

二、參考答案

（2）如圖2，過A點作AE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F.由k值的幾何意義，得S△OAE=S△ODF.

即S△AOG+S△GOE=S△GOE+SEFDG，則S△AOG=SEFDG.

則S△OAD=S△AOG+S△AGD=SEFDG+S△AGD=SEFDA.

將m=2代入，解得n=4，則k=mn=2×4=8.

圖2

圖3

（3）設(shè)A（2，n）.

圖4

圖5

化簡得t2-3t-3=0，解得N位于BD段

圖6

化簡得t2-3t-5=0，解得

綜上

三、優(yōu)秀解法

本題第（2）問，敘述簡約，呈現(xiàn)簡潔，解法靈活多樣，現(xiàn)給出不同于參考答案的五種解法，供參考.

解法1：如圖7，連接OD、AD.

由S△AOD=S平行四邊形OABC-S△ABDS△OCD，得解得n=4.則A（2，4）.

圖7

k=2×4=8.

分析：學(xué)生對用分割法求三角形面積比較熟悉，所以有相當(dāng)多的學(xué)生，通過這種直接法列出方程，求出n，進而得到k.

解法2：如圖7，連接OD、AD，則S=1S.

△AOD2平行四邊形OABC

則A（2，4）.

k=2×4=8.

分析：此法關(guān)鍵在于利用三角形面積等于平行四邊形面積的一半，將△OAD的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形OABC的面積，簡捷明了，易于理解，是最佳方法.

解法3：如圖8，過點D作DG∥x軸交OA于G.則DG=OC=3.

由S△AOD，解得n=4.

則A（2，4）.

k=2×4=8.

2.典型癥狀。多見于雛雞，感染初期病雞表現(xiàn)精神不佳、頭蜷縮、沉郁或閉目呆立、食欲減退，肛門四周羽毛被糞便污染粘連，略帶少量血，第5、6、7天癥狀最明顯，病雞足和翅膀多發(fā)生輕癱，出現(xiàn)共濟失調(diào)。食欲廢絕，渴欲增加，雞冠和可視黏膜蒼白貧血，拉稀帶血乃至全拉血而死亡，病程數(shù)天，多則2～3周。

分析：此法通過平移OC利用分割法求△OAD的面

積，解法獨特，頗具新意.

圖8

圖9

由S△AOD=S△AOF+S梯形AFED-S△DOE，S△AOF=S△DOE，得S梯形AFED= S△AOD=6.

則A（2，4）.

k=2×4=8.

分析：此法借助于雙曲線中“化斜為直”的方法，把△OAD的面積轉(zhuǎn)化為梯形AFED的面積，與參考答案相比，可謂異曲同工.

解法5：如圖10，連接AD并延長交x軸于E，連接OD.

則△ECD≌△ABD.

則ED=AD，CE=AB=3.

則S△EOD=S△AOD=6.

則A（2，4）.

k=2×4=8.

分析：此法主要受常用輔助線——延長中線法的影響，再利用三角形的中線可以把三角形的面積平分這一性質(zhì)得出方程，頗具匠心.

圖10

四、試題評析

本題重點考查雙曲線的相關(guān)知識，這與近幾年南通中考最后一題相比有了改變，是涵蓋數(shù)學(xué)中k值的幾何意義、平行四邊形性質(zhì)、一元二次方程、數(shù)形結(jié)合、運動變化、轉(zhuǎn)化、函數(shù)、分類等思想和方法的一道綜合問題.第（1）問利用中點坐標(biāo)公式及點的坐標(biāo)含義求出m的值，意在引導(dǎo)學(xué)生由淺入深向第（2）和（3）問過度，安排合理，為學(xué)生的探究鋪路.第（2）問難度不大，但方法靈活，主要是幫助學(xué)生克服做最后第（3）問的畏難情緒，為第（3）問的創(chuàng)新與發(fā)揮樹立信心.第（3）問要求學(xué)生結(jié)合圖形特點探求點的運動變化規(guī)律，合理分類，動靜結(jié)合，構(gòu)造了一個圖動→手動→腦動的動態(tài)思維場景，要求學(xué)生在每一個場景中觀察、分析、歸納、推理，真正考查學(xué)生思維的靈活性，區(qū)分度較高，優(yōu)秀學(xué)生在這一題充分展示了自己的數(shù)學(xué)才華，起到了“選拔”的作用.

五、教學(xué)啟示

從考生卷面及得分看，對于第（1）問，多數(shù)考生可得全分，第（2）問也基本能全對，但第（3）問問題較多，一些考生竟然直接利用第（2）問的結(jié)論，殊不知第（2）問中S△AOD=6前有一個大大的“若”字，也有些考生按平時做題的習(xí)慣，分0

1.學(xué)生正確的解題思路源于對“雙基”的掌握

本題總體難度并不大，尤其是第（1）、（2）問，總分為9分，但均分約為5.62分，由此，我們在平時的教學(xué)中，必須夯實“雙基”，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容有的放矢地營造師生互動、生生互動、兵教兵、生動活潑的課堂氛圍.既要培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、反思質(zhì)疑的習(xí)慣，讓學(xué)生“理解和掌握”，還要關(guān)注獲取“知識和技能”的結(jié)果，更要重視“知識與技能”的發(fā)生和發(fā)展過程.在知識的應(yīng)用中不斷鞏固和深化“雙基”，從而真正達到熟練掌握及靈活應(yīng)用的程度.

2.學(xué)生正確的解題靈魂源于對思維的創(chuàng)新

古人云“刪繁就簡三秋樹，標(biāo)新立異二月花”.課堂教學(xué)要鼓勵學(xué)生做標(biāo)新立異的二月花，鼓勵學(xué)生有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)造，更要鼓勵學(xué)生再次發(fā)現(xiàn)，重新組合，讓學(xué)生在自我建構(gòu)的過程中，張開思維與想象的翅膀，尋找解決問題的策略，在思考的過程中創(chuàng)新，在創(chuàng)新中發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維、逆向思維，學(xué)會多角度、全方位考慮問題，如解法3中，通過平移OC，利用分割法求△OAD的面積，不失為新穎獨特的妙招.

3.學(xué)生正確的解題格式源于對“習(xí)慣”的規(guī)范

解答數(shù)學(xué)問題，要求步步有據(jù)，環(huán)環(huán)相扣，層層推進，書寫規(guī)范，格式簡明，一些學(xué)生可能腦子里想到了，但卷面上卻漏洞百出，筆誤較多，有些書寫詞不達意，不能抓住采分點.如第（1）問中相當(dāng)一部分學(xué)生將點D的坐標(biāo)表示錯了，應(yīng)該是竟錯寫成了所以在平時的教學(xué)中，一定要嚴(yán)格要求學(xué)生，從一點一滴抓起，規(guī)范解題格式和書寫格式，促其養(yǎng)成正確的解題表達習(xí)慣，這樣才能更有效地提高數(shù)學(xué)成績.Z

圖9

解后反思：證法4、證法5、證法6都用到四點共圓，解題的難度稍微下降.雖然證法4仍需證明△APQ與△QDC全等，但其難度已經(jīng)不可同日而語.證法5中等腰梯形性質(zhì)的運用很好地規(guī)避了第二次全等的證明，讓人眼前一亮.證法6更是回避了所有繁雜輔助線的添加及第二次全等的證明，簡捷的思路，極少的步驟，讓人拍案叫絕.

四、結(jié)束語

學(xué)生的創(chuàng)造力是無窮的.在很多時候，他們需要的是點撥，只要點撥到位，他們常常給我們帶來重大驚喜.同時，如果我們的課堂能讓學(xué)生經(jīng)常處于探討的氛圍中，這種課堂的生命力是無限的.H