深刻理解教材運用命題技術(shù)生成優(yōu)秀試題

☉湖北省武漢市漢陽區(qū)教育局教科中心桂文通

·武漢市黃鶴英才桂文通名師工作室·

深刻理解教材運用命題技術(shù)生成優(yōu)秀試題

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2016年中考已漸行漸遠，但對各地試卷的評價卻如火如荼，2016年武漢市中考試卷也得到了廣大師生與專家的一致好評，認為試題“根植教材、情境鮮活、立意高遠”.筆者有幸參加了今年武漢市中考命題工作，見證了每一道試題的命制與生成過程，本文主要是結(jié)合2016年武漢中考數(shù)學(xué)試題，談?wù)勅绾我劳薪滩?，進行試題命制.

“中考試題應(yīng)來源于教材，又高于教材”的，本試卷絕大多數(shù)試題確實都來源于教材，很多試題都從教材中直接選用或稍做變形，從教材中挖掘和組合并升華出來的.它體現(xiàn)我們命題人對教材的尊重與繼承，試題對學(xué)生來說既似曾相識，又新穎脫俗，很好地實現(xiàn)了對學(xué)生的基礎(chǔ)與能力的雙重考查.在試題編擬過程中，我們合理地運用了許多命題技術(shù).

一、直接借用

直接借用，就是直接搬用教材中例題或習(xí)題的原題，有時也可以改變問題中的數(shù)字或圖形放置的方向.比如試卷的第1，2，3，5，6，7，8，11，12，17，18題等就是采取直接“拿來主義”，選取教材中的例題或習(xí)題.這類試題一般不必過于關(guān)注它的區(qū)分度，但它體現(xiàn)了對學(xué)生的最基礎(chǔ)內(nèi)容的考查，也體現(xiàn)了對全體考生的關(guān)注和中考的最基本要求，也保障了考試結(jié)果的“底分”不能太低.另外，命題素材直接來源于課本，為考生創(chuàng)設(shè)一種熟悉的場景，給學(xué)生提供了一種心理上的安全感，增強考生成功的信心，也是對考生實施人文關(guān)懷的一種途徑.直接借用這種命題策略在試卷命制一般是可以嘗試的，但這樣的試題一定要控制比例，否則會影響試卷的效度、信度和區(qū)分度.

二、改造變形

1.改變結(jié)論

改變結(jié)論就是結(jié)合教材中具體問題，在不改變問題背景的前提下，只是改變問題的提問角度或問題的呈現(xiàn)形式.

試題4.不透明的袋子中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的6個球，其中4個黑球，2個白球，從袋子中一次摸出3個球.下列事件是不可能事件的是（）.

A.摸出的是3個白球

B.摸出的是3個黑球

C.摸出的是2個白球，1個黑球

D.摸出的是2個黑球，1個白球

［素材］（人教版九年級上冊第128頁問題3）不透明的袋子中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的6個球，其中4個黑球，2個白球，隨機從袋子中摸出1個球.

（1）這個球是白球還是黑球？

（2）如果兩種球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一樣大嗎？

教材中的問題是讓學(xué)生理解“隨機事件”的概念，并感受“隨機事件”發(fā)生可能性是有大小的.命題時我們對“隨機從袋子中摸出1個球”改為“從袋子中一次摸出3個球”，設(shè)計了一道對“三種事件”概念全面理解的試題，要求考生能夠運用“三種事件”的概念去進行命題判斷.

試題19.某學(xué)校為了解學(xué)生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目中最喜愛的類型，隨機調(diào)查了若干名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)進行整理，繪制了如圖1所示的不完全統(tǒng)計圖.

圖1

圖2

請你根據(jù)以上的信息，回答下列問題：

（1）本次調(diào)查了_______名學(xué)生，其中最喜愛戲曲的人數(shù)為_______人；在扇形統(tǒng)計圖（圖2）中，最喜愛體育的對應(yīng)扇形圓心角的大小是________；

（2）根據(jù)以上統(tǒng)計分析，估計該校2000名學(xué)生中最

喜愛新聞的人數(shù).

［素材］（人教版七年級下冊第135～137頁正文）略.

教材中完整地呈現(xiàn)了“數(shù)據(jù)的收集、整理與描述”的基本過程，但我們只著重考生的信息獲取和分析能力的考查，于是將教材中條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的完整信息隱藏了部分信息，要求考生能夠從統(tǒng)計圖獲取的信息，注重兩個統(tǒng)計圖的關(guān)聯(lián)性分析，并能夠從已知信息中推斷未知信息（分析數(shù)據(jù)），從而實現(xiàn)對考生的統(tǒng)計觀念與意識的考查.

2.類比變形

美國數(shù)學(xué)家波利亞說過：“類比是一個偉大的引路人.”通過類比，我們可以創(chuàng)造出新的命題.類比的方式一般有知識的類比和方法的類比.

圖3

［素材］（人教版八年級下冊第49頁正文）三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

圖4

圖5

圖6

三角形中位線定理從靜態(tài)的方面告訴我們一個結(jié)論：如圖4，D，E分別是△ABC邊AB，AC的中點，則DE=.如果我們動態(tài)思考：如圖5，若P是BC上一個動點，當點P從B到C的運動過程中，探究AP的中點M的運動路徑長.此時，我們很容易發(fā)現(xiàn)AP的中點M的運動路徑長就是△ABC的中位線DE的長.在圖5中，動點P的運動路徑是直線，則中點M的運動路徑也是一條直線，這就引起了我們的思考，若點P運動的路徑不是直線呢，線段AP的中點M的運動路徑又是怎樣呢？于是類比地想到學(xué)生比較熟悉的一種曲線——圓.在圖6中，若點P運動的路徑是一段弧，我們可以從位似的角度很容易找到點M的路徑和路徑長，并且“中點”這個條件還可以推廣到任意分點的.考慮到學(xué)生的認識風(fēng)格的不同，我們又將問題背景特殊化，選擇了一個等腰直角三角形中，可以讓考生從“中點”問題的角度解決問題.

（1）略；

圖7

圖8

［素材］（人教版七年級下冊第31頁第6題）如圖8，在一塊長為am，寬為bm的長方形草地上，有一條彎曲的小路，小路的左邊線向右平移1m就是它的右邊線.求這塊草地的綠地面積.

教材中問題體現(xiàn)了直線形平移性質(zhì)的應(yīng)用，圖形的平移最本質(zhì)的特征就是點的平移，并且圖形上所有點都遵循著同樣的平移規(guī)律.直線形具有這種規(guī)律，雙曲線也應(yīng)該具有同樣的規(guī)律（教材中沒有研究）.另外，也考慮到考生已經(jīng)有了直線與拋物線平移的經(jīng)驗，他們是可以將陌生問題熟悉化的，實現(xiàn)知識經(jīng)驗的遷移的.于是就設(shè)計了這樣的一道部分雙曲線圖像平移的試題，背景新穎，似曾相識，既注重操作直觀，又強調(diào)理性思考.但又考慮到考生對曲多邊形的認識水平，不要求書寫解答過程，只要求考生寫出答案.

3.移植變形

試題10.在平面直角坐標系中，已知A（2，2），B（4，0），若在坐標軸上取點C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)是（）.

A.5B.6C.7D.8

［素材］（人教版八年級上冊第93頁第12題）在紙上畫五個點，使任意三個點組成的三角形都是等腰三角形，這五個點應(yīng)該怎樣畫？

教材中的問題主要是鞏固等腰三角形的判定，要確定一個等腰三角形，往往是固定兩個點，再探求第三個點滿足的規(guī)律，教材中問題的提出有很大的開放性，如果直接移用，在試題的評價上不好把握，又考慮到考生標準作圖的需要，于是將問題移植到平面直角坐標系中，并且固定兩點，在坐標軸上找第三個點，即限定了第三個點的運動路徑.移植到平面直角坐標系中的問題，可以將原來的定性研究問題，從定量的角度作出思考.

中考試題對考生的動手操作、數(shù)學(xué)思想、理性思考都作了全面的考查.考查了等腰三角形的畫法這個基本技能，分類討論的基本思想，同時還對考生思維的嚴謹性提出了挑戰(zhàn)，作圖后還要驗證解答的合理性（因為作圖中y軸上有一點與已知A，B兩點在同一直線上，它們不能形成一個等腰三角形，故要舍去該點），從而突出了對考生能力的考查.

三、演繹深化

演繹深化命題著眼于擴大條件與結(jié)論的距離，力圖掩蓋條件和結(jié)論之間聯(lián)系的痕跡；從已有的知識、方法出發(fā)，演繹出新命題.J.N.Kapur先生曾指出：“在數(shù)學(xué)中，我們從明顯的事實出發(fā)，并從此推出不夠明顯的事實，再從此推出更不明顯的事實，如此下去以至無窮.”

試題10.如圖9，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB= 3，BC=4，CD=10，DA=則BD長為________.

［素材］（人教版八年級下冊第34頁第5題）如圖10，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，求四邊形ABCD的面積.

圖9

圖10

圖11

教材中習(xí)題主要是體現(xiàn)勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，問題比較基礎(chǔ)，側(cè)重課本知識的直接應(yīng)用.我們關(guān)注到圖10中有兩個直角，即∠ABC=∠ACD=90°，容易聯(lián)想到一個“一線三等角”基本圖形，由習(xí)題的條件可知，圖10中的所有線段都是已知，但在圖11中，△ABC∽△CED，則線段CE，DE的長都是可求得，進一步思考，圖11中所有的線段也是可求的.于是設(shè)計一個求線段BD長的問題，為考慮到計算數(shù)據(jù)簡單的需要，適當?shù)卣{(diào)整了數(shù)據(jù).中考試題除保留了教材對基本知識應(yīng)用的考查外，還挖掘幾何圖形中隱含的結(jié)論，更重要的是突出能力的考查——強調(diào)考生對基本圖形的構(gòu)造.

試題15.將函數(shù)y=2x+b（b為常數(shù)）的圖像位于x軸下方的部分沿x軸翻折至其上方，所得的折線是函數(shù)y=|2x+ b|（b為常數(shù)）的圖像，若該圖像在直線y=2下方的點的橫坐標x滿足0

［素材］（人教版八年級下冊第108頁第11題）畫出函數(shù)y=|x-1|的圖像.

教材中的習(xí)題主要是讓學(xué)生熟悉畫函數(shù)圖像的一般過程：列表、描點、連線，得到一個“V”型圖像，并且讓學(xué)生知道并不是任何圖像都是一條直線的.而絕對值函數(shù)圖像不是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的要求，于是我們設(shè)置了一個“翻折”變換，不但回避了畫圖像的過程，而且綜合了坐標變換的知識，提升了問題的綜合性；再結(jié)合“V”型圖像的特征，對它的性質(zhì)進行研究，因為常數(shù)b的不確定，則“V”型圖像的頂點在x軸上可以左右移動的，為了確定頂點移動的區(qū)域，有必要增加一個限定條件，結(jié)合一次函數(shù)與一次不等式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，我們提出設(shè)計了“若該圖像在直線y=2下方的點的橫坐標x滿足0

試題21.如圖12，點C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E.

（1）求證：AC平分∠DAB；

圖12

［素材］（人教版九年級上冊第102頁第12題）試題的第（1）問.

本題第（1）問直接借用教材中的習(xí)題，第（2）問是在教材的基礎(chǔ)上，增設(shè)一個三角函數(shù)值，相當于已知線段的比，求一組線段的比，體現(xiàn)了三角函數(shù)與圓的綜合，要求考生結(jié)合三角函數(shù)和相似三角形的有關(guān)知識構(gòu)造基本圖形，運用合情推理進行相關(guān)的計算.

四、重組整合

重組整合就是將多個公式、多道習(xí)題、多個方法的綜合，它體現(xiàn)了同一知識領(lǐng)域或不同知識領(lǐng)域的綜合.

試題22.某公司計劃從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每年產(chǎn)銷x件.已知產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的有關(guān)信息如下表：其中a為常數(shù)，且3≤a≤5.

（1）若產(chǎn)銷甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤分別為y1萬元、y2萬元，求出y1，y2與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）請分別求出產(chǎn)銷兩種產(chǎn)品的最大年利潤；

（3）為了獲得最大年利潤，該公司應(yīng)該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品？請說明理由.

［素材1］（人教版九年級上冊第50頁探究2）某商品

現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件.市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣10件；每降價1元，每星期可多賣出20件.已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？

［素材2］（人教版八年級下冊第102頁問題1）怎樣選取上網(wǎng)收費方式？下表給出A，B，C三種上寬帶網(wǎng)的收費方式.選取哪種方式能節(jié)省上網(wǎng)費？

教材中兩個問題，分別體現(xiàn)了結(jié)合具體的實際問題，建立函數(shù)模型、運用函數(shù)知識解決問題的基本過程，并且兩個問題蘊含了分類思想的運用.結(jié)合中考命題的雙向細目表的要求，本題應(yīng)該是一道體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的基本過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的試題.我們在研究教材中兩個問題的基本內(nèi)涵時，試圖在同一問題中對一次函數(shù)和二次函數(shù)兩個模型作一個全面的考查，試題的第（1）問就是分別建立兩個函數(shù)模型；第（2）問結(jié)合兩個函數(shù)圖像及其性質(zhì)，研究兩個函數(shù)的最值，為了增強試題的區(qū)分度，在二次函數(shù)中我們控制了自變量的取值范圍，使它的最值不在拋物線的頂點取得；同時為了實現(xiàn)分類討論思想的考查，我們引入了一個常數(shù)a，在第（3）問中比較兩個函數(shù)的最值，要求考生對常數(shù)a的取值進行分類討論，也促使了一次函數(shù)與二次函數(shù)兩個核心考點的聯(lián)姻.另外，在試題的呈現(xiàn)形式上也借鑒了素材2的圖表形式，使整個問題表達也簡單明了.

五、推廣拓展

一個數(shù)學(xué)命題由條件和結(jié)論兩個部分組成，正確的命題揭示了條件和結(jié)論之間的必然聯(lián)系.一個數(shù)學(xué)命題的條件改變了，其結(jié)論也往往隨之發(fā)生相應(yīng)的變化.推廣就是擴大命題條件中有關(guān)對象的范圍，或隨之擴大結(jié)論的范圍，即從一個事物的研究過渡到包含這一類事物的研究.推廣命題的途徑一般從維數(shù)型、概念型、狀態(tài)型和數(shù)值型推廣.

試題23.如圖13，在△ABC中，P為邊AB上一點.

圖13

圖14

圖15

（1）如圖13，若∠ACP=∠B，求證AC2=AP·AB；

（2）若M為CP的中點，AC=2.

①如圖14，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的長；

②如圖15，若∠ABC=45°，∠BMP=∠A=60°，直接寫出BP的長.

［素材］（人教版九年級下冊第43頁第7題）

如圖（圖略），AD是Rt△ABC斜邊上的高.若AB= 4cm，BC=10cm，求BD的長.

本題運用了概念型的命題推廣技術(shù)，將標準的“母子直角三角形”推廣到一般的“母子三角形”.第（2）問主要運用了演繹技術(shù)（增加條件，演繹結(jié)論）與重組技術(shù)（與中點問題結(jié)合）.

試題24.如圖16，拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸下方.

（1）略.

（2）已知直線PA，PB與y軸分別交于E，F(xiàn)兩點，當P點運動時是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由.

圖16

本題運用了數(shù)字型和狀態(tài)型的命題推廣技術(shù)，最起始的素材給出拋物線的具體解析式和點P的坐標，求的值，但考慮到壓軸題的選拔功能，我們逐步嘗試，通過增加問題的抽象性，將二次函數(shù)解析式的數(shù)字系數(shù)變?yōu)樽帜赶禂?shù)；再將靜止的點P一般化為拋物線下方任意一動點，發(fā)現(xiàn)的值還是不變的.在不斷一般化的過程中，解題方法也有特殊到一般，從具體到抽象，對考生的能力也提出了較高要求，也體現(xiàn)壓軸題的選拔功能.在一般情形研究中，我們發(fā)現(xiàn)了一個不變的結(jié)論，這也揭示了數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧美.

其實，一道試題的命制往往會借用一種命題技術(shù)，但更多的是幾種命題技術(shù)的綜合運用.一道好的試題它需要命題人對考生的精神世界、情感需求和個性差異正確地把握，對試題效度與信度的科學(xué)地預(yù)測，對試題整體構(gòu)思和立意作出智慧的創(chuàng)造.

堅持正確的命題指向，讓中考回歸教材，讓教師潛心研究教材、理解教材，唯此，才能更好地理解數(shù)學(xué)，才能讓學(xué)生脫離題海，回歸數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì).合理運用命題技術(shù)科學(xué)命題，關(guān)注試題的內(nèi)在價值和人文價值，讓優(yōu)秀的試題成為考生與知識、情境、命題人之間自然對話的良性載體，成為心靈交匯、情感交流的暢通渠道.H