善于提問：難題講評前的預設視角
——由兩道較難二次函數(shù)習題講評為例

☉江蘇省如東縣岔河中學冒亞萍

善于提問：難題講評前的預設視角
——由兩道較難二次函數(shù)習題講評為例

☉江蘇省如東縣岔河中學冒亞萍

數(shù)學作業(yè)（包括各類作業(yè)、考試）講評課是日常數(shù)學教學中常見的一種課型，然而講評有些較難試題時，由于缺乏深入的預設和充分的準備，往往講評效果并不理想.我們認為，南京大學哲學系鄭毓信教授提出的數(shù)學教師的三項基本功之一的“善于提問”就是值得我們在難題講評前認真構思的一種備課視角.

一、兩道較難習題的講評案例

案例1：已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，其函數(shù)y與自變量x之間的部分對應值如下表所示：

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點A（x1，y1）、B（x2，y2）在該函數(shù)的圖像上，當1＜x1＜2，3＜x2＜4時，分析y1與y2的大小關系；

（3）若將此圖像沿x軸向右平移3個單位，請寫出平移后圖像所對應的函數(shù)關系式；

（4）設點P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像上，問：當m＜-3時，y1、y2、y3的值一定能作為同一個三角形三邊的長嗎？為什么？

講評預設：前三問比較簡單，這里直接給出它們的答案.（1）y＝（x-2）2；（2）y1＜y2；（3）y＝（x-5）2或y＝x2-10x+25.以下重點講解第（4）問的思路突破.首先，要思考問題的起點，即需要考慮這三個點在函數(shù)圖像上的大致位置，因為它們的位置會影響y1、y2、y3大小的排列（y1＞y2＞y3＞0），而它們的大小順序又影響著三角形三邊的大小的排列和作差比較；接下來思考貫通的路徑，需要把相應的橫坐標分別代入解析式，得到y(tǒng)1、y2、y3的表達式，再作差比較.即y2+y3-y1＝（m-1）2+m2-（m-2）2＝m2+2m-3.這個式子的正、負影響著三角形能否圍成目標的實現(xiàn)，有不同的路徑，比如將其因式分解為（m+3）（m-1），結合m＜-3時，“負負得正”，說明y2+y3-y1＞0，即y1、y2、y3的值一定能作為同一個三角形三邊的長.也可將m2+2m-3配方得（m+1）2-4，視它為一個關于m的二次函數(shù)，當自變量m＜-3時，該函數(shù)一定為正數(shù).基于上述認識，我們構思如下的PPT（如圖1），在不同的障礙點處分別安排了“起點”“目標”“貫通思路”“難點突破”等提示語，使得學生在研習時抬級而上，既獲得幫助又需要自己努力思考.

圖1

案例2：已知關于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0.

（1）求證：不論m為任何實數(shù)，此方程總有實數(shù)根；

（2）若拋物線y＝mx2+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，且m為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式；

（3）若點P（x1，y1）與Q（x1+n，y2）在（2）中拋物線上（點P、Q不重合），且y1＝y(tǒng)2，求代數(shù)式4x12+12x1n+5n2+16n+200的值.

講評預設：在網(wǎng)絡上檢索出該題出自2012年北京海淀區(qū)中考一模，后很多地區(qū)?？蓟蛩^的月考紛紛引用，只是將最后的待求代數(shù)式的常量進行一些簡單的改編，因為代數(shù)式“4x12+12x1n+5n2+16n”是定值16.前兩問比較常規(guī)，我們只給出第（2）問的思路點撥（PPT如圖2）.

圖2

值得一說的是，在PPT中三個箭頭分別提醒學生如

何得到（m+3）（mx+1）＝0，并如何分析這個方程，從而確認m＝1.

圖3

接下來重點說說最后一問.這里比較難思考的是y1＝y(tǒng)2能帶來怎樣的信息，如果僅從函數(shù)值相等，把x1、n代入然后變形得出2x1+n+4＝0，則有一定意義，進一步可變形得2x1＝-n-4，再代入待求代數(shù)式中（注意整體代入2x1比較恰當，可使運算簡化），經過運算、化簡會發(fā)現(xiàn)參數(shù)n被消去，得到16+200＝216.這里后一階段的運算量仍然較大，對較為繁雜的運算能力是又一次考驗.如果能從另外的角度發(fā)揮y1＝y(tǒng)2的作用，則可以進一步簡化求解.

這里可以引入高中解析幾何中的重要性質，當f（x1）＝f（x2）時，一定有f（x1+x2）＝f（0）＝c的性質.即本題有f（x1）＝f（x1+n），則有f（x1+x1+n）＝f（0）＝3，而拋物線y＝x2+4x+3的對稱軸方程為x＝-2，則f（-4）＝f（0）＝3，即x1+x1+n＝-4，而這與之前經過較繁雜運算得出的2x1+n+4＝0殊途同歸，接下來再代入待求代數(shù)式中即可明確解答，循此思路，我們預設如下的PPT（如圖4）.

圖4

在這一頁PPT中，當引導學生分析出2x1+n+4＝0之后，沒有直接代入代數(shù)式化簡求值，而是引導學生深刻認識y1＝y(tǒng)2的性質，從而解讀出x1+x1+n＝-4.

二、進一步的思考

1.深刻理解問題，辨明難點所在是善于提問的前提面對較難的數(shù)學習題，作為教師，首先要貫通思路，然后從不同角度追求更簡化、更優(yōu)化的思路，或更自然、更初等的方法來揭示問題的解法，這是深刻理解問題的內涵之一.在此基礎上，回看問題的難點有哪些？這些難點基于什么來破解？與我們在教材上哪些概念直接相關？與哪些經典問題有相似或關聯(lián)之處？多思考這樣的問題，就是學會辨明難點和難點突破，也是進一步開展教學設計的前提.

2.增設恰當提示，通過課件漸次呈現(xiàn)、相機引導和啟發(fā)思考

在教師本人深刻理解問題之后，辨析了數(shù)學習題有哪些難點、易錯點、歧路之后，就可以在這些難點、阻礙點、歧路處設計“路標”，即恰當?shù)奶崾?，以PPT標注的方式動畫呈現(xiàn)，一方面，引導學生向著正確的方向前進，另一方面，也為“相機引導”（李庾南老師語）提供了可能，同時還為促進學生思維較大限度地被“卷入”課堂思考中提供了有效保證.

3.問題適度拓展，引導學生洞察和理解問題深層結構

在本文中，我們所指的問題適度拓展并不是指在原考題的基礎上再次拓展變式、增加思維挑戰(zhàn)，而是指在思路貫通之后，能反思回顧，并把原有解法納入到一個“高觀點”下俯視，追求更加簡約、深刻的解題路徑，當然我們也需要向學生傳遞“算法簡單的方法往往要付出邏輯思維的代價”.比如上文題例2中最后一問待求的代數(shù)式“4x12+12x1n+5n2+16n”是一個定值，如果不能理解這一結構，則會誤以為后面的常數(shù)200是一個有效的數(shù)據(jù)，干擾思路，形成思維歧路.

1.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

2.鄭毓信.多元表征與概念教學［J］.小學數(shù)學教育，2011（10）.

3.陳愛軍.預設互動促進對話，課件簡約漸次展現(xiàn)——李庾南老師“函數(shù)的圖像”課例賞析［J］.中學數(shù)學（下），2016（10）.

4.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數(shù)學教學，2003（1，2，3）.

5.許燕.從解題賞析走向教學研究——以2016年無錫卷第27題為例［J］.中學數(shù)學（下），2016（10）.Z