☉重慶市第十一中學校彭小永
一個月考試題的編寫歷程及解法探討
☉重慶市第十一中學校彭小永
題目如圖1,△ABC為等邊三角形,M是射線AE上的任意一點(點M不與點A重合),連接CM,將CM繞點C按順時針方向旋轉60°得到線段CN,連接BN,直線BN交射線AE于點D,求直線BN與射線AE相交成銳角的度數(shù).
圖1
圖2
分析:如圖2,本題作為等腰三角形的一個常規(guī)題目,很容易由“SAS”證明△ACM≌△BCN,則∠1=∠2,在△ACP與△BDP中,由三角形的內角和定理得到∠3=∠4=60°.類似地,也可以通過全等的證明,得出∠AMC=∠BNC,繼而得出BM與AE相交得到的銳角為60°.
在看到這個題后,筆者的第一感覺就是這個題是個好題,因為可以對它做很好的改編.
1.讓點M動起來
當筆者用幾何畫板畫出圖1后,筆者拖動點M至△ABC內部,得到變式1.
變式1:如圖3,△ABC為等邊三角形,M是射線AE上的任意一點(點M不與點A重合),連接CM,將CM繞點C按順時針方向旋轉60°得到線段CN,連接BN,直線BN交射線AE于點D,求直線BN與射線AE相交成銳角的度數(shù).
這種小的變化并不能難倒學生,學生可以用上述方法輕松得解,但將兩個非常近似的小題放在一起組成一個考題,顯得不太合適.雖然如此,這種小的變化卻可讓人耳目一新,因為它為我們題目的改編提供了一個很好的思路.
圖3
2.讓射線AE動起來
有了上面的變式,很容易想到讓射線AE動起來這一思路,將∠EAC由銳角變?yōu)殁g角,得到變式2.
變式2:如圖4,△ABC為等邊三角形,M是射線AE上的任意一點(點M不與點A重合),連接CM,將CM繞點C按順時針方向旋轉60°得到線段CN,連接BN,直線BN交射線AE于點D,當射線AE與AC的夾角∠EAC為鈍角時,其他條件不變,直線BN與射線AE相交成銳角的度數(shù)是否發(fā)生變化,如果不變,請加以證明;如果變化,請說明理由.
圖4
圖5
分析:如圖5,此題仍然可以由“SAS”證明△ACM≌△BCN,得∠AMC=∠BNC,在△DMP與△CNP中,可由三角形的內角和定理得到∠EDN=∠MCN=60°.
3.讓角的大小動起來
有了點的運動,也有了線的運動,能不能讓角的大小也動起來呢?答案是肯定的.
我們不妨將等邊三角形ABC中的∠ACB由60°變?yōu)?0°,將正三角形ABC變成等腰直角三角形ABC,同時將線段CM繞點C的旋轉角度也改為90°,仍可繼續(xù)探究直線BN與射線AE的夾角.因為這個探究與原題類似,如果將現(xiàn)在這個變式與原題組合在一起作為一個試題,仍顯得太沒有層次,于是筆者進行了更加深入的探索.
設AE與BC交于點H,BN與AE交于點D,線段CD與BH的長度之間會不會有什么比較特殊的數(shù)量關系呢?
在幾何畫板中完成上述作圖過程后,度量了BH和CD的長度,在變換∠CAE大小的過程中,發(fā)現(xiàn)當∠CAE= 15°時,BH的長度剛好等于CD長度的2倍,且此時無論怎
樣改變射線上點M的位置(此處,可以作出將點M拖動到不同位置時的圖形,讓學生做更多有益的探索),BH= 2CD這個關系始終保持不變.我們不妨把現(xiàn)在這個改編叫做變式3.
變式3:如圖6,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,射線AE交BC于點H,∠EAC=15°,點M是射線AE上任意一點(點M不與點A重合),連接線段CM,將線段CM繞點C按順時針方向旋轉90°得到線段CN,連接BN,直線BN交射線AE于點D,求證:BH=2CD.
變式3既可以繼續(xù)用到△ACM≌△BCN,在探索BH與CD的長度關系時,又需要學生狠下一番功夫.將它與原題組合,既使整個題有較好的層次性,在探索BH與CD的長度關系時又可以拓寬學生的思路,不失為一個完美的組合.
4.改編后的試題
改編題已知,△ABC為等邊三角形,M是射線AE上任意一點(點M不與點A重合),連接CM,將線段CM繞點C按順時針方向旋轉60°得到線段CN,連接BN,直線BN交射線AE于點D.
(1)如圖1,求直線BN與射線AE相交所成銳角的度數(shù).
(2)如圖4,當射線AE與AC的夾角∠EAC為鈍角時,其他條件不變,(1)中的結論是否發(fā)生變化?如果不變,請加以證明;如果變化,請說明理由.
(3)如圖6,若將題中的正△ABC改為Rt△ABC,其中∠ACB=90°,CA=CB,射線AE交BC于點H,∠EAC=15°,點M是射線AE上任意一點(點M不與點A重合),連接CM,將線段CM繞點C按順時針方向旋轉90°得到線段CN,連接BN,直線BN交射線AE于點D,連接CD.求證:BH=2CD.
圖6
改編后的試題的(1)(2)問都較簡單,在此不作贅述,第(3)問是難點.在一次月考中,筆者選用了這個題,學生在解答過程中遇到了極大的障礙.
1.艱難的探索,繁雜的解題步驟
拿到第(3)問后,第一個感覺就是很難將BH與CD聯(lián)系起來.但聰明的學生很會想辦法,要證二倍關系BH= 2CD,學生首先想到的是中位線,他們找到了AB與AH的中點P與Q,構造了△ABH的中位線PQ,則BH=2PQ,只需證明PQ=CD就可以.雖然很多人發(fā)現(xiàn)了此時有直角三角形、有斜邊的中點,也想到了用“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”來解決問題.但在尋找和證明全等三角形的過程中,同學們遇到了重重障礙.在講評課上,經(jīng)過學生較長時間的探索和討論后,終于有同學得到了一種方法.
證法1:如圖7,因為∠ACM與∠BCN均為∠BCM的余角,所以∠ACM=∠BCN,由“SAS”可以證得△ACM≌△BCN,故∠4=∠2=15°.在△ACH與△BDH中,由三角形的內角和定理,可得∠BDH=∠ACH=90°.
作△ABH的中位線PQ,可得BH=2PQ,∠5=∠6=45°.由直角三角形斜邊中線的性質可得AQ=CQ=HQ,DP= AP=BP,從而∠1=2∠2=30°=∠3,∠DPB=2∠3=60°,∠DQP=∠3+∠5=75°,∠DPQ=180°-∠5-∠DPB=75°,即∠DQP=∠DPQ=75°,所以DQ=DP=AP.由“SAS”可證明△APQ≌△QDC,從而PQ=DC,所以BH=2PQ=2DC.
圖7
圖8
解后反思:證明△APQ與△QDC全等是最難的部分,但找中位線是一個大的突破.雖然步驟仍較復雜,但中規(guī)中矩,也比較好理解.在證法1的啟發(fā)下,很快有同學給出了第二種方法,即證法2.
證法2:如圖8,作BL∥AE交QP的延長線于點L,則四邊形BLQH是平行四邊形,所以BH=LQ=2PQ=2PL,BL= QH=QC,∠PBL=∠3=∠1=30°,由證法1知QD=PA,由“SAS”可得△BPL≌△QDC,所以PL=DC,從而得到BH= 2DC.
解后反思:能利用平行四邊形和等腰梯形的性質解題是證法2最大的突破.證法2的思路看起來比證法1簡單,但用到了證法1很多現(xiàn)成的結論,真正的證明步驟與證法1不相上下.
2.相似形做支撐,難點得以突破
在證法1和證法2中,同學們主要抓住了直角三角形的性質、中點的性質、平行四邊形與等腰三角形的性質,在巧妙利用中位線的情況下,利用全等艱難地解決了問題.是不是就沒有簡單的證法呢?學生在短暫的思考后,出現(xiàn)了轉機.
證法3:如圖7,由證法1可知,∠ADB=∠ACB=90°,且∠2=∠4,所以△ACH∽△BDH,故.又因為∠AHB=∠CHD,所以△ABH∽△CDH,從而得到∠ADC=∠6=45°=∠5.因為∠1=∠3=30°,AQ=CQ,由“AAS”可得到△APQ≌△QDC,從而輕松得解.解后反思:證法3巧妙地運用相似,避開了“QD=PA”這一繁雜部分的證明,使解題的過程得以簡化.同時,同學們發(fā)現(xiàn):還可以利用證法3得到∠ADC=∠5,求出∠QCD=∠AQP,使△APQ與△QDC中的三對角都對應相等,加上證法1中得出的DQ=AP這一條件,將這些條件進行不同的組合,可以衍生出多種方法,多種方法的陳述,使得此題的難點得以迅速突破.由于這些方法與證法3都大同小異,這里就不再贅述.
3.引入四點共圓,讓人拍案叫絕
因為在證法3中用到了兩次相似,有同學很快想到了四點共圓,得到了證法4.
證法4:如圖7,因為∠ADB=∠ACB=90°,所以A、C、D、B四點共圓,故∠ADC=∠6=45°=∠5,利用“AAS”或“ASA”便可證明△APQ≌△QDC,輕松得解.
本以為這是最簡單的方法,筆者也想這個題的講評就到此為止,忽然,一句“老師,你想多了!可以不證第二次全等也可得到答案”從角落里冒了出來,這句沒頭沒腦的話立即引起了大家的注意,在大家的掌聲中,證法5誕生.
證法5:如圖7,由四點共圓得到∠ADC=∠6=45°,∠ADP=∠3=30°=∠1,所以DP∥CQ,我們還可以得到∠PDC=75°=∠DPQ,所以四邊形CDPQ是等腰梯形,即CD=PQ,從而得到BH=2PQ=2CD.
話音剛落,有同學又提出了既不用構造中位線,又不需要第二次繁雜的全等證明也能輕松得到答案的想法,這就是證法6.
證法6:因為∠ADB=∠ACB= 90°,所以A、C、D、B四點共圓,∠BCD=∠3=30°,作△BDH的斜邊BH的中線,如圖9,則DK=HK=BK=所以∠DKC=2∠4=30°=∠BCD,可得