一題一課：從教材“探究問題”出發(fā)
——以“拋物線型拱橋問題”習題課為例

☉江蘇省如皋市九華初級中學謝小兵

一題一課：從教材“探究問題”出發(fā)
——以“拋物線型拱橋問題”習題課為例

☉江蘇省如皋市九華初級中學謝小兵

近讀《中學數(shù)學》（初中版），不少同行圍繞最近中考試題的解析與反思開展了很有意義的“一題一課”的構建，這些“一題一課”課例十分接地氣，筆者基本可以直接拿到課堂上去使用，減少了不少備課的工作量.受到啟發(fā)，筆者針對九年級教材上的探究問題（拋物線型拱橋問題），也開發(fā)了一節(jié)“一題一課”，取得較好的教學效果.本文整理該課的教學設計與課件PPT截圖，供分享與研討.

一、教學環(huán)節(jié)

（一）復習引入，熱身練習

以兩個頂點在原點的拋物線為問題背景，引入新課.

熱身問題：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2與直線y=2交于A、B兩點，當AB=2時，求a的值.

預設追問：將該拋物線沿x軸翻折，你能直接看出這個拋物線的解析式嗎？若該拋物線與直線y=-3交于C、D兩點，求CD的長.

預設課件，動畫功能漸次呈現(xiàn)，截圖如下（如圖1）：

圖1

（二）拱橋問題，建模求解

例1有一座拋物線形拱橋（如圖2），正常水位時橋下水面寬度為20m，拱頂距水面4m.

問題1：在正常水位的基礎上，當水位上升1m時，橋下水面的寬度減少多少？

預設互動：引導學生先獨立分析問題后，小組交流，大組展示分享他們求解的思路，特別是學生想到構建平面直角坐標系的方法之后，就是生活問題的有效建模，構建坐標系的技巧也需要深入追問.讓學生在追問后展示自己的思維.追問過程中注意引導不同學生參與問題的理解，使他們加深對問題的理解.教師在點評時注意對從生活問題向數(shù)學問題的數(shù)學化過程作出評析，并在此基礎上，把數(shù)學建模的方法揭示出來，以進一步排除干擾，凸顯問題的本質.這里也把漸次呈現(xiàn)的PPT截圖兩屏，供分享（如圖3和圖4）.

圖2

圖3

圖4

問題2：為了保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18m，水面在正常水位基礎上上漲多少米時，就會影響過往船只航行？

預設互動：首先要求學生獨立思考，圈點關鍵詞句，對應到構建好的直角坐標系上的圖像，思考問題的目標或求解方向，然后小組交流，最后大組展示，安排相關學生到講臺上講解思路，并接觸教師的答辯與追問，引導其他學生參與解答.這一環(huán)節(jié)預設下面的PPT，截圖如下（如圖5）.

圖5

同類練習：圖6是拋物線型拱橋，當水面在n時，拱頂離水面2m，水面寬4m，水面下降1m，水面寬度增加多少？

設計意圖：該題只是簡單變換了數(shù)據(jù)，要求學生自主構建坐標系，對應上面例1的“問題2”的求解思路.在該題練習之后適當小結這類生活問題的求解流程：理解題意→選擇模型→簡化求解→回到情境.

（三）拓展挑戰(zhàn)，建模應用

例2如圖7，有一條雙向公路隧道，其橫斷面由拋物線和矩形ABCD的三邊DA、AB、BC圍成，隧道最大高度為4.9米，AB=10米，BC=2.4米，若有一輛高為4米、寬為2米的集裝箱的汽車要通過隧道，為了使箱頂不碰到隧道頂部，又不違反交通規(guī)則（汽車應靠道路右側行駛，不能超過道路中線），汽車的右側必須離開隧道右壁幾米？

預設互動：這里在括號內的要求需要向學生解釋，防止有些學生不熟悉相關行駛規(guī)則.同時還要向學生解釋作為一道數(shù)學試題，強調該集裝箱的特殊要求也是為了訓練二次函數(shù)相關性質的應用，不必嚴格對應生活常識.在學生思考之后，安排學生講解他們的思考，并漸次呈現(xiàn)PPT（如圖8），思路貫通之后提出有沒有其他的思考方式，即不同的建系方式（比如以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線所在直線為y軸）.

圖7

例3如圖9，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了個簡易秋千，拴繩子的地方離地面都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的

那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子最低點距離地面的距離為多少米？

預設互動：這是一道很多教輔資料上盛行的習題，題中明確指出了所謂繩子下垂呈拋物線形，故可以選用拋物線模型，近似求解.我們教學預設了三種不同的建系方式，截圖如下（如圖10），安排學生選擇其中一種建“系”方式解答問題.

圖8

圖9

圖10

（四）文化“鏈”接

由該題的繩子形狀想到數(shù)學史上的懸鏈線問題.鏈接到達·芬奇對于懸鏈線的思考，并鏈接到兩位伯努利對該問題的思考與成就（預設PPT截圖，如圖11）.

圖11

預設解說：達芬奇去世170年之后，久負盛名的（瑞士）雅各布·伯努利工作“一年之久”試圖確定懸鏈線性質（即拋物線方程），然而卻被他弟弟約翰·伯努利，率先解出這道難題，而且僅僅犧牲了“整整一晚”的休息時間，而雅各布卻已經(jīng)與這道題持續(xù)搏斗了整整一年，這實在是一種“奇恥大辱”.

二、教學立意的進一步解讀

1.重視教材“探究問題”的課例研發(fā)

同行們應該知道，本文課例中所關注的拋物線型拱橋問題在不同版本的教材上都能找到原型.如果僅僅將其當成一道例題講評一下，最多15分鐘就能完成，但是對這類問題的結構、解法，特別是解題背后體現(xiàn)出的建模思想、建“系”技巧都沒有達到深刻理解的教學高度.這也是我們重視教材“探究問題”課例研發(fā)的教學追求.

2.通過系列變式，促進學生做一題、會一類、通一片

在本節(jié)課中的例題探究環(huán)節(jié)，不僅直接出示問題，重要的是通過系列變式，使得問題的鋪墊功能得到充分發(fā)揮.比如教學環(huán)節(jié)（一），熱身練習中所訓練的解讀拋物線解析式和相關線段長的問題，都對應著后續(xù)例題中的求解本質.例題中的不同設問，也體現(xiàn)著“正、反”設問的命題策略.最后的拓展探索題，需要靈活建“系”，“近似”求解，關于“近似”求解，在最后的“鏈”接文化環(huán)節(jié)，作了進一步說明，使得高層次學生辨明數(shù)學中的精確性與“近似值”之間的關系.

1.周紅娟.開放與放開：概念生成與例題變式的教學追求——從“三角形內角和”教學說起［J］.中學數(shù)學（下），2016（8）.

2.鄭毓信.“開放的數(shù)學教學”新探［J］.中學數(shù)學月刊，2007（7）.

3.鄭毓信.善于舉例［J］.人民教育，2008（18）.

4.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

5.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.Z