也談如何“用教材教”
——以九年級(jí)“弧、弦、圓心角”教學(xué)為例

☉江蘇省如東縣馬塘鎮(zhèn)邱陞中學(xué)王亞東

也談如何“用教材教”
——以九年級(jí)“弧、弦、圓心角”教學(xué)為例

☉江蘇省如東縣馬塘鎮(zhèn)邱陞中學(xué)王亞東

我們知道華東師大鐘啟泉教授曾指出新舊教學(xué)的分水嶺是“從教教材”走向“用教材教”（詳見文1）.南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授最近基于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的角度更有針對(duì)性地解說了“用教材教，用好教材”.比如鄭教授在開篇提出了“用好教材”的具體含義或主要標(biāo)準(zhǔn)是什么？并從教材編寫說起，思辨了其與教師教學(xué)之間的關(guān)系，比如與課堂教學(xué)相比，教材編寫更為宏觀，而教師教學(xué)更為微觀；教材編寫主要集中于數(shù)學(xué)知識(shí)層面，而教師教學(xué)需要考慮思維訓(xùn)練和文化熏陶；教材編寫兼顧大眾，教師教學(xué)需要更大的針對(duì)性和靈活性；教材與學(xué)生有較大距離，教師教學(xué)可以發(fā)揮“中介”作用.這些更為具體的“用教材教”的意見對(duì)于我們實(shí)踐提供了指導(dǎo)，本文將以九年級(jí)“弧、弦、圓心角”教學(xué)為例，闡釋如何“用教材教”.

一、教學(xué)簡(jiǎn)案

教學(xué)環(huán)節(jié)一：開課階段，從中心對(duì)稱性質(zhì)說起

問題1：什么叫中心對(duì)稱圖形？圓是中心對(duì)稱圖形嗎？對(duì)稱中心在哪？

預(yù)設(shè)追問：若旋轉(zhuǎn)角度不是180°，而是旋轉(zhuǎn)任意角度，則旋轉(zhuǎn)過后的圖形能與原圖形重合嗎？

問題2：（閱讀課本，自學(xué)圓心角的概念之后）思考在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系.

預(yù)設(shè)：板書弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，并整理幾何語言進(jìn)行PPT呈現(xiàn)，安排學(xué)生填空：

如圖1，AB、CD是⊙O的兩條弦，OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥CD于點(diǎn)F.

（1）如果AB=CD，那么_______，_________________.

圖1

（3）如果∠AOB=∠COD，那么_______，__________.

預(yù)設(shè)追問：如果OE=OF，那么你還能得出哪些結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：教材上刪減了弦心距與弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，只是在后面習(xí)題中提及，這里作為成果的擴(kuò)大，有必要為學(xué)生整理出來，完善定理的認(rèn)知.

教學(xué)環(huán)節(jié)二：題組練習(xí)，辨析概念

問題3：判斷命題的真假，并說明理由：

（1）等弦所對(duì)的弧相等.（）

（2）等弧所對(duì)的弦相等.（）

（3）圓心角相等，所對(duì)的弦和弧一定相等.（）

（4）弧相等，所對(duì)的圓心角相等.（）

設(shè)計(jì)意圖：通過一組概念辨析的習(xí)題，鞏固新學(xué)概念和性質(zhì)定理.再跟進(jìn)一組類似的習(xí)題訓(xùn)練，限于篇幅，這里略去.

問題4：如圖2，已知AB是⊙O的直徑，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CM⊥ AB，DN⊥AB.求證

圖2

設(shè)計(jì)意圖：該題證明較多，這里主要是訓(xùn)練學(xué)生連接OC，OD，將問題轉(zhuǎn)化為圓心角相等推出弧相等的思路.為了訓(xùn)練這種輔助線及證明思路，繼續(xù)跟進(jìn)兩道類似的習(xí)題.

同類練習(xí)1：如圖3，AB是⊙O直徑，AC、AD是弦，且AB平分∠CAD.求證：AC=AD.

圖3

圖4

同類練習(xí)2：如圖4，C，D為半圓上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列說法

其中正確的是________.（填序號(hào)）并說出理由.

教學(xué)環(huán)節(jié)三：例題講評(píng)，深化理解

∠AOB=∠BOC=∠AOC.

設(shè)計(jì)意圖：該題原自教材，可以引導(dǎo)學(xué)生證明△ABC是等邊三角形，從而根據(jù)三條弦AB，BC，AC之間的相等直接推出結(jié)論.并在證明之后引導(dǎo)學(xué)生反思證明路徑，體會(huì)新定理帶來的證明便捷.考慮到等邊三角形與圓結(jié)合的證明題很多，以下跟進(jìn)列舉一些，提供學(xué)生鞏固練習(xí)：

圖5

圖6

跟進(jìn)練習(xí)：如圖6，△ABC是等邊三角形，以邊BC為直徑作⊙O交AB，AC于點(diǎn)D，E.

（2）小南認(rèn)為，AD=BD=AE=CE，你覺得小南發(fā)現(xiàn)對(duì)嗎？并說明理由.

教學(xué)環(huán)節(jié)四：課堂小結(jié)，聽課檢測(cè)

小結(jié)問題1：與垂徑定理相比，本課的弧、弦、圓心角主要是由圓的什么性質(zhì)探究而來？

小結(jié)問題2：本課一些問題證明時(shí)，你覺得哪種輔助線比較常用，在小組內(nèi)舉例交流.

聽課檢測(cè)題：如圖7，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn).連接OA，OB，BC，AC，得到四邊形OACB.

（1）圓心O到弦AC，BC的距離相等嗎，為什么？

（2）當(dāng)∠AOB=120°時(shí)，求證：四邊形OACB是菱形.

（3）小穎認(rèn)為：若△AOC是等邊三角形，則△BOC一定也是等邊三角形.你覺得小穎說得對(duì)嗎？為什么？

（4）當(dāng)AB垂直平分OC時(shí)，求∠AOB的度數(shù).

（5）作∠BOC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，當(dāng)∠BOD=35°時(shí)，求∠CAO的度數(shù).

圖7

二、立意解讀

1.理解教材整體結(jié)構(gòu)，預(yù)設(shè)課堂引入情境

對(duì)比教材在垂徑定理引入前，先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓是軸對(duì)稱圖形，并利用圓的軸對(duì)稱性質(zhì)探究出垂徑定理；而在本課弧、弦、圓心角的引入時(shí)，教材上是以“圓是中心對(duì)稱圖形，圓心就是它的對(duì)稱中心”開頭.可以發(fā)現(xiàn)，作為教材編寫者，有一個(gè)整體觀隱含其中，那就是基于圓的不同對(duì)稱性質(zhì)分別引出新的教學(xué)內(nèi)容.也正是基于上述認(rèn)識(shí)，我們直接根據(jù)圓的中心對(duì)稱性質(zhì)開門見山，引入新課，而沒有安排一些無關(guān)的生活現(xiàn)實(shí).

2.淡化定理證明過程，預(yù)設(shè)題組鞏固概念

考慮到弧、弦、圓心角之間關(guān)系定理的證明主要是一種旋轉(zhuǎn)驗(yàn)證，故我們?cè)谏厦娴恼n例中淡化了證明過程，而側(cè)重于利用系列題組、問題串的訓(xùn)練來鞏固新概念.教材的設(shè)置也是這樣的用意，教材沒有糾結(jié)于證明過程，而是在簡(jiǎn)單驗(yàn)證之后直接給出系列定理.我們只是在文字定理的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生整理該定理的符號(hào)語言.

3.重視例題變式生長(zhǎng)，當(dāng)堂檢測(cè)注重反饋

教材上只安排了一道正多邊形與圓綜合的例題，相對(duì)來說題量偏小，針對(duì)我們教學(xué)實(shí)際，增加了另外的例題、跟進(jìn)習(xí)題，特別是對(duì)出現(xiàn)頻率很高的等邊三角形與圓的綜合考查問題，我們?cè)鲈O(shè)了跟進(jìn)練習(xí)，并在課堂小結(jié)階段又改編了一道題組，既鞏固了本課的概念與定理，又從不同角度訓(xùn)練弧、弦、圓心角之間關(guān)系定理的理解程度.

三、寫在最后

鄭教授在文2中還指出教材上很多知識(shí)、方法、思想的教學(xué)需要“由隱向顯”的轉(zhuǎn)化，而這又直接涉及“過程”與“結(jié)果”之間的辯證關(guān)系，現(xiàn)今的教材雖然對(duì)二者的辯證關(guān)系給予了足夠的重視，但是徹底解決還要依靠教師創(chuàng)造性勞動(dòng)才能正確解決.在這個(gè)意義說，近兩年來，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）刊發(fā)了大量研究江蘇南通啟秀中學(xué)李庾南老師的課例就有著特別重要的意義，因?yàn)槔罾蠋煹恼n例多是在“學(xué)材再建構(gòu)”的基礎(chǔ)上開展教學(xué)設(shè)計(jì)的，追求了“有規(guī)則的自由”，值得廣大青年教師深入研習(xí).

1.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

2.鄭毓信.數(shù)學(xué)教師如何才能用好教材［J］.小學(xué)教學(xué)·數(shù)學(xué)版，2016（3）.

3.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.周紅娟.從操作走向思考，從“參觀”走向“探索”——“等腰三角形的性質(zhì)（第1課時(shí)）”教學(xué)與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（7）.H