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    各類最值問題的“共性”與“個(gè)性”

    2016-12-07 05:45:47■黃
    初中生世界 2016年44期
    關(guān)鍵詞:對(duì)稱點(diǎn)勾股定理共性

    ■黃 莉

    各類最值問題的“共性”與“個(gè)性”

    ■黃莉

    近年來,中考題中最值問題從未缺席。最值問題,既有“共性”,也有“個(gè)性”。本文結(jié)合一些典型例題,將它們轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析解決。

    最小值最短路徑最大利潤

    類型一:求有共同端點(diǎn)的線段之和最小值或三角形周長最小值問題

    例1如圖1,直線l同側(cè)有兩點(diǎn)A、B,已知A、B到直線l的垂直距離分別為1和3,兩點(diǎn)的水平距離為3,要在直線l上找一個(gè)點(diǎn)P,使PA+PB的和最小。請(qǐng)?jiān)趫D中找出點(diǎn)P的位置,并計(jì)算PA+PB的最小值。

    例2如圖2,正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在對(duì)角線BD上移動(dòng),則PE+PC的最小值是_____。

    例3如圖3,MN是半徑為1的⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,∠AMN=30°,B為AN弧的中點(diǎn),P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值為()。

    例4如圖4,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B= 60°,點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn),CD=1,將△ABC沿直線AD翻折,使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處,若點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn),則△PEB的周長的最小值是_____。

    圖1

    圖22

    圖3

    圖4

    圖1-1

    圖2-12-1

    圖3-1

    圖4-1

    例1要求PA+PB的最小值,也就是求A、B兩點(diǎn)到同一點(diǎn)的和的最小值,當(dāng)點(diǎn)P在這兩點(diǎn)之間,且三點(diǎn)共線時(shí)它們的距離之和最小,即:兩點(diǎn)之間線段最短。而由于A、B兩點(diǎn)在所要找的直線上點(diǎn)的同一側(cè),因此想到作其中任一點(diǎn)(A)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)(A′),則l就是線段AA′的對(duì)稱軸,如圖1-1,根據(jù)對(duì)稱軸上任一點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等,從而轉(zhuǎn)化成在直線l上找一點(diǎn)到A′(A的對(duì)稱點(diǎn))與另一點(diǎn)B的距離之和最小值,于是自然想到連接A′B,A′B與直線l的交點(diǎn)就是所求的P點(diǎn),再通過構(gòu)造的直角三角形,利用勾股定理計(jì)算線段A′B即可。

    例2中的正方形正好是軸對(duì)稱圖形,BD就是其一條對(duì)稱軸,因此直接找到C點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)A,從而直接連接AE,如圖2-1,再在Rt△ABE中,利用勾股定理求出AE即可。

    例3中的圓也是軸對(duì)稱圖形,直徑MN就是其一條對(duì)稱軸,因此找到B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C,從而連接AC,如圖3-1,借助圓中同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系及垂徑定理的內(nèi)容,可知∠AOC=90°,巧妙構(gòu)造Rt△OAC,根據(jù)題意,運(yùn)用勾股定理可求出AC=,所以PA+PB的最小值為2。

    例4雖然是求三角形周長最小值,但由于其中的BE是定值,所以此題實(shí)質(zhì)就是求PC+PB的最小值。而此題的翻折就有軸對(duì)稱圖形,E點(diǎn)就和C點(diǎn)關(guān)于AD對(duì)稱,因此只要求BC的值,再加上BE的值即可,如圖4-1。

    因此這一類題目的“共性”就是構(gòu)建“對(duì)稱模型”,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化,再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”求出最小值。

    拓展延伸:螞蟻沿正方體、長方體、圓柱、圓錐外側(cè)面吃食的最短路徑問題。

    例1如圖5,有一個(gè)蟲子想從點(diǎn)A沿棱長為1cm的正方體表面爬到點(diǎn)B,求它爬過的最短路程。

    例2圖6是一塊長、寬、高分別是6cm,4cm和3cm的長方體木塊。一只螞蟻要從長方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處,沿著長方體的表面到長方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物,那么它需要爬行的最短路徑的長是_____。

    例3如圖7,已知圓柱底面的周長為4dm,圓柱高為2dm,在圓柱的側(cè)面上,過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲,則這圈金屬絲的周長最小為。

    圖5

    圖5-1

    圖6

    圖6-1

    圖6-2

    圖6-3

    圖7

    圖7-1

    圖8

    圖8-1

    例1要求蟲子沿正方體表面爬過的最短路程,需要在從A點(diǎn)到B點(diǎn)的側(cè)面展開圖上找出,因此畫出其側(cè)面展開圖,直接利用勾股定理計(jì)算出線段AB的長度即可。也是利用兩點(diǎn)之間線段最短。

    例2是求長方體表面的最短路程,看似和正方體差不多,但是要注意,它們雖然有“共性”,但是又有其“個(gè)性”,正方體的每個(gè)面展開都是全等的正方形,而長方體由于長、寬、高各不相同,它的每個(gè)面展開也不一樣(如圖6-1,6-2,6-3),因此要注意根據(jù)邊的長度,由勾股定理求出長度,再去判斷出最短的距離。

    例3要求金屬絲的長,也需將圓柱的側(cè)面展開得到長方形(如圖7-1),找準(zhǔn)A、C兩點(diǎn),再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可。

    例4求螞蟻沿圓錐表面爬過的最短路程,也是將其側(cè)面展開得到扇形(如圖8-1),根據(jù)題意求出AM的距離即可。

    因此這一類題目的“共性”就是利用其側(cè)面展開圖,將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,從而再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”求出最小值。

    類型二:二次函數(shù)中的最值問題

    例1求函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值。

    例2變式:當(dāng)-2≤x≤2時(shí),求函數(shù)y=x2-2x-3的最大值和最小值。

    例3變式:當(dāng)1≤x≤2時(shí),求函數(shù)y=-x2-x+1的最大值和最小值。

    這一類是單純的求二次函數(shù)的最值問題,它們主要根據(jù)自變量的取值范圍不同,作出函數(shù)草圖如下,在所給自變量范圍內(nèi),觀察圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量x的值。

    例2

    例3

    拓展延伸:實(shí)際問題中的二次函數(shù)最值問題

    例1某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品,試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)m=162-3x,30≤x≤54。

    (1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式;

    (2)若商場要想每天獲得最大銷售利潤,每件商品的售價(jià)定為多少最合適?最大銷售利潤為多少?

    例2已知在△ABC中,邊BC的長與BC邊上的高的和為20。

    (1)寫出△ABC的面積y與BC邊的長x之間的函數(shù)表達(dá)式,并求出面積為48時(shí)BC邊的長;

    (2)當(dāng)BC多長時(shí),△ABC的面積最大?最大面積是多少?

    這一類題的“共性”是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題——利用二次函數(shù)的知識(shí)來解決,并且此類構(gòu)建最值問題,主要有兩種形式,一是商品經(jīng)營活動(dòng)中的求最大利潤、最大銷量等問題,解此類問題的關(guān)鍵是通過題意及現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系,確定出相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式:

    y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860,

    30≤x≤54。

    另一類是幾何圖形中有關(guān)面積的最值問題,解這類問題關(guān)鍵是要掌握?qǐng)D形面積的求解與表示,構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式:

    最后觀察其“個(gè)性”,根據(jù)函數(shù)圖像的增減性確定其最值,并注意問題的實(shí)際意義。

    最值問題是初中階段的常見問題,這類試題內(nèi)容豐富,涉及面廣,解法靈活多樣,而且具有一定的難度。因此我們需要根據(jù)具體問題,找到其“共性”,將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,再根據(jù)“個(gè)性”解決。并且將生活中的經(jīng)濟(jì)問題與數(shù)學(xué)中的最值問題聯(lián)系起來,以達(dá)到最高效率。

    (作者為江蘇省徐州市第三十六中學(xué)教師)

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