潛水回水初始階段的定性半定量分析及對水躍成因的解釋

孫寶亮，梁俊紅，崔衛(wèi)利，吳義松，馬廣智

(1.東北大學資源與土木工程學院，沈陽 110004; 2.中南冶金地質研究所，湖北 宜昌 310014;3.中冶北方工程技術有限公司，遼寧 大連 116600)

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孫寶亮1，梁俊紅1，崔衛(wèi)利1，吳義松2，馬廣智3

(1.東北大學資源與土木工程學院，沈陽 110004; 2.中南冶金地質研究所，湖北 宜昌 310014;3.中冶北方工程技術有限公司，遼寧 大連 116600)

文章提出并采用水力坡度分析方法，對潛水回水初始階段進行了定性-半定量分析，為了解潛水回水過程提供了新的視角。通過分析潛水回水初始時刻的水力坡度，河渠側的界面被分為2段：河間潛水位之上的鉛直段和之下的水平段。水平段上點的水力坡度最大且相等，方向為水平向右；鉛直段上點的水力坡度方向趨于鉛直向下，越向上水力坡度越小。經(jīng)過微小時間段Δt后，水力坡度均相應變小，鉛直段相鄰點間地下水運動發(fā)生沖突，水力坡度方向由趨于鉛直向下向右偏轉。將水力坡度分析方法用于分析潛水井流的過程和特征，水躍的成因可解釋為：在相同水力坡度和過水斷面面積下，井內(nèi)大空間水流速度遠大于孔隙中的潛水流速度，井內(nèi)水位急速下降，從而形成水躍；水躍越大，進入井內(nèi)的流量就越大。

潛水；回水；水力坡度；定性分析；井；水躍(滲出面)

0 引言

現(xiàn)有大多數(shù)地下水動力學教材中，潛水回水非穩(wěn)定運動數(shù)學模型基于布西涅斯克方程建立，之后線性化布西涅斯克方程，再用有限傅里葉正弦變換得到該模型的級數(shù)解析解[1-5]。問題在于，布西涅斯克方程應用的是裘布依假設，而實際上在河附近的垂直流動分量大且不可忽視，裘布依假設并不成立[6-7]。河水位在大幅度變動的情況下，潛水厚度(M)不能代表真實水位高度，導水系數(shù)(T=KM)與實際不符，因而線性化的布西涅斯克方程解的誤差較大[7-8]。鑒于此，本文提出利用水頭和水力坡度分析方法，對潛水回水初始階段非穩(wěn)定運動進行定性-半定量分析；由于潛水井流與潛水回水初始階段有相似之處，可將水力坡度分析方法用于分析描述潛水井流，有助于深入了解潛水井流的過程和特征，獲得較為準確的流網(wǎng)，從而解釋水躍產(chǎn)生的原因。水頭和水力坡度分析方法為了解潛水回水過程及理解不同層位潛水運動的狀態(tài)和特征提供了新的視角。

1 潛水回水的物理模型

河水面的抬高、河渠地表水的側滲作用來補充地下水，會引起潛水位相應抬高，稱為潛水回水[5]。其物理模型為：含水層均質各向同性，隔水底板水平；初始狀態(tài)左河渠與河間潛水有相同水位h2；左河渠水位汛時上升為定值h1，發(fā)生瞬時回水，河渠間潛水非穩(wěn)定運動；不考慮地表水垂向補給和非飽和水的運動。進而將此模型虛擬為：受可移動的鉛直無厚度隔水板PP′的阻擋，左河渠不能瞬時回水，當迅速抽出隔水板PP′后，才會發(fā)生瞬時回水(圖1)。

圖1 潛水瞬時回水的物理模型(據(jù)文獻[5]修改)Fig.1 The conceptual model of a stream recharging into unconfined aquifer

2 潛水回水初始階段的定性-半定量分析

用水力坡度法定性-半定量分析潛水回水初始階段非穩(wěn)定運動的過程。①比較隔水板PP′左側點A，B，C，D，E，F(xiàn)和右側水平對應點A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′共12個點測壓水頭的大小(圖1，A，D′分別在隔水板PP′左、右側的液面位置，F(xiàn)在隔水底板上，B，C在AD間且B在C之上，E在DF間)；②在迅速抽出隔水板PP′的瞬間(初始時刻)，A，B，C，D，E，F(xiàn)點水力坡度的大小和方向如何？③微小時間段Δt后，A，B，C，D，E，F(xiàn)點的水力坡度的大小和方向如何變化？

2.1 測壓水頭大小分析

靜止水體內(nèi)各點的測壓水頭相等。A，B，C，D，E，F(xiàn)各點位于靜止左河內(nèi)，其測壓水頭相等，等于左河的水位h1。D′，E′，F(xiàn)′處于靜止河間潛水內(nèi)，測壓水頭相等，A，D′點處于水面或潛水位上，A′，B′，C′在潛水位之上，這6點只有位置水頭沒有壓強水頭。A，A′處于同一高度，B′，C′，D′高程依次降低，所以h1=HA=HA′>HB′>HC′>HD′。比較12個點的測壓水頭的大小，結果為：

h1=HA=HB=HC=HD=HE=HF=HA′>HB′>HC′>HD′=HE′=HF′=h2

在隔水板PP′左側點的測壓水頭相等，高于右側除A′點外的其他點，二者間存在水頭差，可形成大致向右下方的水力坡度。

2.2 初始時刻水力坡度的大小和方向

分析水力坡度的大小和方向可判斷地下水的運動趨勢，地下水總是選擇最大水力坡度的方向運動。當選擇左側界面AD上的一點，同一方向上選擇不同的滲流路徑長度，其水力坡度大小不等，長度越小，水力坡度越大；當終點M在右側液面運動時，越靠近D′點水力坡度越大。比較AD上不同點的水力坡度大小時，如果以選定點至D′點作為滲流路徑長度，則越在下面的點其水力坡度越大；如果選擇任意的滲流路徑長度，則不同點的水力坡度大小不定(圖2)。

圖2 初始時刻左河側與河間地塊界面上點的水力坡度分析Fig.2 The initial hydraulic gradient analysis at point on the interface between the left stream and the inter-stream arear被放大。右上部分：微小時間段Δt后，鉛直段點的滲流發(fā)生沖突

以r為定長滲流路徑長度，對所有點以r為半徑在右側畫半圓或1/4圓(圖2)，規(guī)定水平向右方向為零度，順時針旋轉為正方向。這種方法適合尋找最大水力坡度方向，也可比較不同點的水力坡度。在迅速抽出隔水板PP′的瞬間(初始時刻)，依據(jù)河間地塊潛水位h2，將左河側與河間地塊的界面AF分為兩段：高于h2的AD段，低于等于h2的DF段。界面AF上的A，B，C，D，E，F(xiàn)點具有代表性，只需分析這6個點的水力坡度，就可了解界面AF上所有點的情況。

(1)AD段(高于h2)，即鉛直段。

對于A點，當θ→90°時，JA→1，達到極大值，方向趨于鉛直向下，所以潛水面上點的水力坡度最大只能為1。D之上附近點的滲流路徑長度小于半徑r，水力坡度更大，方向趨于鉛直向下。

(2)DF段(低于等于h2)，即水平段。

D點及其以下附近點，其右側半圓周與河間潛水位相交，高于潛水位點的水頭大，不??；F點及其附近點，其右側半圓周與隔水底板相交；因此，D，F(xiàn)及其附近點僅取在河間潛水內(nèi)的半圓周部分。

從數(shù)學角度看，滲流路徑r可取無窮小，除A點外的點的水力坡度為無窮大。實際上，達西或非線性滲透定律中的水力坡度都是從宏觀滲流的角度獲得的，r取無窮小不在滲流研究范圍。

2.3 微小時間段Δt后水力坡度的大小、方向及滲流速度

(2)鉛直段AD。初始時刻，鉛直段AD上點的最大水力坡度方向趨于鉛直向下。經(jīng)過微小時間段Δt后，任選上面B點滲流沖撞下面C點處的滲流，而受下面點的影響，B點最大水力坡度調(diào)整，方向向右偏轉和變小。

如果考慮Δt時間長一些，D點之上附近點的滲流接觸右側河間潛水面后，轉折為水平向右運動，可以認為，D點之上附近點有右傾直線接近平行右側液面的水力坡度，這樣的水力坡度對D點之上的點均有影響。

經(jīng)過微小時間段Δt后，所有點的水力坡度都減小，鉛直段的水力坡度方向向右偏轉。

3 對水躍的正面解釋

3.1 現(xiàn)有教材對水躍的解釋所存在的問題

現(xiàn)有大多數(shù)地下水動力學教材中對水躍的解釋，沿用1955年前蘇聯(lián)教材中的以反證法解釋潛水井水躍(滲出面)的形成[2-3,5,9]。我們認為該解釋因所依據(jù)的流網(wǎng)不準確，未能從根本上解釋水躍形成的原因。

井內(nèi)水面下是大空間中的水，井壁應看作是一個等水頭面[10]。井壁等水頭面與上游的等水頭面ab相交于a，就說明流網(wǎng)是錯誤的，因為流網(wǎng)中的流面或等勢面不能相交(圖3)。井壁也可以不是等水頭面，而與不同值的等水頭面相交，ab等水頭面與井壁間的區(qū)域(圖3中陰影部分)不是等勢體。這一點可從半無限厚承壓含水層與隔水頂板相連的井壁進水不完整井獲得支持，Muskat得出結論：等水頭面是對稱于z軸的半旋轉橢球面，井的過濾器不是等水頭面[5]。這種情況下，地下水可通過ab等水頭面流向井，證明有側向補給的潛水井流下部的水力坡度大于上部，而不是只有a點過水。

圖3 潛水井水躍(滲出面)示意圖Fig.3 Sketch of the presence of a seepage face in a pumped well

退一步說，如果流量不通過ab等水頭面向井，曲面ab轉為流線。產(chǎn)生水躍后，如果井內(nèi)水位hW還是有類似ab等水頭面圍成的等勢體，而不能進水，潛水只能從上面的滲出面入井，這也與實際情況不符(圖3)。

3.2 潛水井流的特征和流網(wǎng)

有滲出面的潛水井流與潛水回水，經(jīng)微小時間段Δt后水流有相似之處。而存在的差別有2個方面：①潛水井井壁是柱面，遠小于前述河渠與河間地塊界面的面積；②抽水初期的非穩(wěn)定流動階段，井壁外側界面和井內(nèi)水面都不是定水頭；到穩(wěn)定流動階段，井壁外側界面和井內(nèi)水面都是定水頭。潛水回水中左河面是定水頭，河間地塊不是定水頭?？蓪⒂盟ζ露确椒▽撍厮跏茧A段定性-半定量分析的過程和結論用于分析潛水井流，以了解潛水井流的過程和特征，獲得更為準確的流網(wǎng)，解釋產(chǎn)生水躍(滲出面)的原因。

井壁外側界面以井內(nèi)水面為準，可分成2段：水面之下的水平段和水面之上的鉛直段(對應滲出面)(圖4)。水平段點的水力坡度近相等最大且水平向井，即等水頭面是以井軸為心的圓柱面，相應有最大的滲流速度，相當于承壓含水層。鉛直段對應滲出面，水力坡度小于水平段，越向上水力坡度越??；方向略偏離鉛直向下，即等水頭面略偏離垂直井壁，對應有越小的滲流速度。這個結論與近來用數(shù)值和實驗方法模擬所獲的結果較吻合。

圖4 井壁外側界面滲流速度方向及分段Fig.4 Segment division and flow velocities of the soil-well interface

圖5 潛水面保持恒定高程，有滲出面抽水完整井的流網(wǎng)(據(jù)文獻[12]修改)Fig.5 The equipotentials and flowlines of pumped well with a seepage face in an unconfined aquifer for which the overlying water table is assumed to remain at a coant elevation

5篇文獻[11-15]模擬不同情況下(完整井、不完整井、定高程潛水面、非零常流量地面、考慮不飽和水運動等)有滲出面的潛水完整井穩(wěn)定流，所獲得的流網(wǎng)和滲流速度等特征為：對應井內(nèi)水柱部分，含水層中等勢線幾乎平行于井壁，流線水平進入井內(nèi)。但沿著滲出面，流線逐漸由傾斜趨于水平線(圖5)。在滲出面底部滲流速度達到最大值，井水面下的滲流速度接近相等，大于滲出面上的滲流速度(圖6)。所以進井流量按長度比例來說主要來自井水面下井壁。

圖6 有滲出面的潛水完整井穩(wěn)定流數(shù)學模型及進井流量(據(jù)文獻[12]修改)Fig.6 Math model flow rate of stable flow into pumped well with a seepage face in an unconfined aquifer

3.3 對水躍(滲出面) 的正面解釋

式中，d為管子直徑；v為斷面平均流速；R為斷面的水力半徑；C為Chezy系數(shù)[16]。

舉例，多孔介質粒徑中砂級(0.5 mm)，井直徑300 mm[17]，假設井壁內(nèi)垂直井軸每層有12個圓管，管直徑為77.6 mm，圓管緊密堆積后，這些圓管總橫截面積略小于外井壁面積，井壁內(nèi)側的水力坡度略大于井壁外側。井內(nèi)大空間的和多孔介質的d或R差距達150倍以上。不論采用上述哪個公式，水流速度v的差距都至少在12倍以上。潛水速度還要轉化為滲流速度，按孔隙度n=0.35，井中水流速度是潛水滲流速度的35倍以上，即在相同水力坡度和過水斷面面積下，井內(nèi)水流速度遠遠大于潛水滲流速度，所以抽水早期，抽水來自井儲水，由于井內(nèi)水位急速下降，井壁形成滲出面[18]。即使對于承壓井，井外水頭高于井內(nèi)水位，存在井損。潛水井形成水躍大于井損。

若抽水量Q非常小，則無水躍或水躍不明顯。若抽水量Q大到一定程度，就會產(chǎn)生明顯的水躍。保持井內(nèi)外大水頭差，才能保證潛水既有大的平均水力坡度，又有大的過水斷面面積，從而產(chǎn)生大進井流量。由此可證明水躍越大，單寬流量越大。

設井外水頭位于A點，井內(nèi)水位等于D點，水躍AD=l，井外水頭AF=h0。以井軸為z軸，計算井壁AF上進井單寬流量q(圖4)。單寬流量q等于水平段DF的流量q1與鉛直段AD流量q2之和，應用達西定律有：

當水躍l為變量時，l∈(0,h0)，單寬流量q是l的增函數(shù)，即水躍l越大進入井內(nèi)的單寬流量q越大，流量就越大。井壁附近可能不適用達西定律，而適用非線性滲透定律。另外，把AD段的水力坡度考慮成h/r+1，也與實際情況略有差距，但這樣處理能簡化問題，結論也仍可作為定性分析的依據(jù)。

4 結論

(1)通過潛水回水初始時刻水力坡度分析，將左河側界面分為2段：河間潛水位之上的鉛直段和之下的水平段。水平段的點的水力坡度最大且相等，方向為水平向右；鉛直段的點的水力坡度方向趨于鉛直向下，越向上水力坡度越小。

(2)相比于初始時刻，潛水回水經(jīng)過微小時間段Δt后，水力坡度都相應變小。鉛直段相鄰點間地下水運動發(fā)生沖突，水力坡度方向由趨于鉛直向下向右偏轉?？蓪撍厮跏茧A段定性-半定量分析的過程和結論用于分析潛水井流，有助于更好地了解潛水井流的過程和特征。

(3)地下水動力學教材中對水躍的解釋多未從根本上解釋水躍形成的原因。形成水躍的根本原因是：在相同水力坡度和過水斷面面積下，井內(nèi)大空間水流速度遠大于孔隙中潛水流速度。井內(nèi)水位急速下降，從而形成水躍。水躍越大進入井內(nèi)的流量就越大。

致謝：在寫作過程中得到2008級姬祥、閆振、張光亮同學和2009級許江、張忠杰等同學給予的啟發(fā)和幫助，在此一并表示感謝！

[1] 郭東屏，宋焱勛，錢會，等. 地下水動力學[M]. 西安：陜西科學技術出版社，1994：112-115，132-133.

[2] 何俊杰，王明偉，王廷國. 地下水動力學[M]. 北京：地質出版社，2009：34-39，56.

[3] 蔣輝，曾波，潘宏雨. 地下水動力學[M]. 北京：地質出版社，2009：50-54，66-67.

[4] 吳吉春，薛禹群. 地下水動力學[M]. 北京：中國水利水電出版社，2009：53-57.

[5] 薛禹群，吳吉春. 地下水動力學[M]. 北京：地質出版社，2010：62-66，79-80，167-168.

[6] Guo W X. Transient groundwater flow between reservoirs and water-table aquifers[J]. Journal of Hydrology, 1997, 195: 370- 384.

[7] Serrano S E，Workman S R，Srivastava K，et al．Models of nonlinear stream aquifer transients[J]. Journal of Hydrology, 2007, 336: 199-205.

[8] Moutsopoulos K N. The analytical solution of the Boussinesq equation for flow induced by a step change of the water table elevation revisited[J]. Transp Porous Med, 2010, 85: 919-940.

[9] 陳崇希，林敏. 地下水動力學[M]. 武漢：中國地質大學出版社，1999：61-62.

[10] 王大純，張人權，史毅紅，等．水文地質學基礎[M]．北京：地質出版社，1986：34-35.

[11] Simpson M J, Clement T P, Gallop T A. Laboratory and numerical investigation of flow and transport near a seepage-face boundary[J]. Ground Water, 2003, 41(5): 690-700．

[12] Rushton K R. Significance of a seepage face on flows to wells in unconfined aquifers[J]. Quarterly Journal of Engineering Geology and Hydrogeology, 2006, 39: 323-331.

[13] Chenaf D, Chapuis R P. Seepage face height, water table position, and well efficiency at steady state[J]. Ground Water, 2007, 45(2): 168-177.

[14] Yakirevich A, Gish T J,l. Potential impact of a seepage face on solute transport to a pumping well[OL]. Vadose Zone Journal, 2010 (9): 686-696[2010-08-03]. http://www.VadoseZoneJournal.org

[15] Behrooz-Koohenjani S，Samani N，Kompani-Zare M．Steady flow rate to a partially penetrating well with seepage face in an unconfined aquifer[J]. Hydrogeology Journal, 2011, 19: 811-821.

[16] 薛禹群，朱學愚，吳吉春，等．地下水動力學[M]．北京：地質出版社，1997：213-219.

[17] Fetter C W. Applied hydrogeology[M]．Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, 2001: 123.

[18] Rushton K R. Groundwater hydrology[M]．England: John Wiley & Sons Ltd, 2003: 151.

The qualitative-semiquantitative analysis of the unconfined aquifer’s recharging from stream at the initial stage and explanation for presence of a seepage face in a pumped well

SUN Baoliang1, LIANG Junhong1, CUI Weili1, WU Yisong2, MA Guangzhi3

(1．CollegeofResourcesandCivilEngineering，NortheastChinaUniversity，Shenyang110004，China;2．CentralSouthResearchInstituteofMetallurgicalGeology,Yichang443003,Hubei，China;3．NorthernEngineeringandTechnologyCorporation，MetallurgicalCorporationofChinaLtd.，Dalian116600，Liaoning,China)

We use hydraulic gradient method to analyze the initial unconfined aquifer’s recharging from streams qualitatively-semiquantitatively thus provide a new visual angle for recharging process. Analysis of the hydraulic gradient of initial recharging, the left stream interface is divided into two segments, the vertical segment and the horizontal segment above and under the water table in the inter-stream area. The hydraulic gradient of the points in the segment is maximum and equal. It is to right in the horizontal direction. The hydraulic gradient of the points in the vertical segment tends downward in the vertical direction and it gets smaller upward. After a tiny period, the hydraulic gradients of any point become smaller, waters coming from adjacent points in the vertical segment collide, and the direction of the hydraulic gradient is deflected to the right. The qualitative-semiquantitative analytical method can also be employed to analyze unconfined radial flow to a pumped well. Presence of a seepage face can be explained in the way: under same hydraulic gradient and cross-sectional area, the flow velocity in big space of the well is much greater than in the pore. The water level in the well rapidly declines thus a seepage face is developed. The higher the seepage face is, the greater the rate of discharge into the well is.

unconfined aquifer; recharge; hydraulic gradient; qualitative analysis; well; seepage-face

2015-06-19； 改回日期： 2016-06-21； 責任編輯： 趙慶

孫寶亮(1970—)，男，講師，從事地下水、沉積學方面研究。通信地址：沈陽市東北大學265信箱；郵政編碼：110004；E-mail: sunbaoliang@mail.neu.edu.cn

10. 6053/j. issn.1001-1412. 2016. 03. 020

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