心中存司南，筆下有圓方——新課標(biāo)全國數(shù)學(xué)卷Ⅰ試題特點(diǎn)及應(yīng)對策略

☉湖北省安陸市第一高級中學(xué)　伍海軍

☉武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū)　李紅春

心中存司南，筆下有圓方——新課標(biāo)全國數(shù)學(xué)卷Ⅰ試題特點(diǎn)及應(yīng)對策略

☉湖北省安陸市第一高級中學(xué)伍海軍

☉武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū)李紅春

自2016年起新課標(biāo)全國數(shù)學(xué)卷Ⅰ使用省份擴(kuò)大后，研究新課標(biāo)全國數(shù)學(xué)卷Ⅰ成了當(dāng)前高三老師的當(dāng)務(wù)之急．本文就新課標(biāo)全國數(shù)學(xué)卷Ⅰ特點(diǎn)及如何搞好高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考，迅速由地方卷（以湖北卷為例）轉(zhuǎn)變到全國卷Ⅰ，談幾點(diǎn)看法建議，供老師們參考．

一、新課標(biāo)全國數(shù)學(xué)卷Ⅰ的由來

2007～2010年海南、寧夏兩試驗(yàn)省份委托教育部考試中心命制課標(biāo)卷（海南、寧夏卷），2011～2012年鑒于新增了吉林、黑龍江、山西、河南、新疆等試驗(yàn)省份而改稱新課標(biāo)全國卷，區(qū)別于還在試用過渡版大綱的大綱全國卷，2013年開始，又由于統(tǒng)一使用課標(biāo)卷省份增多，中原三?。ê幽?、河北、山西）開始使用新課標(biāo)全國卷Ⅰ．

二、新課標(biāo)全國數(shù)學(xué)卷Ⅰ的特點(diǎn)

1．小題大題考查情況分析

小題命題特點(diǎn)：集合、復(fù)數(shù)、算法框圖、三視圖、平面向量等必考，基本都屬容易題；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)幾何意義）、立體幾何（三視圖和球）、解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)每年2題，數(shù)列和三角函數(shù)3題，不等式小題多考查線性規(guī)劃．填空題沒有多選形式．

大題位置相對固定：17題為數(shù)列和三角函數(shù)（二選一），18題和19題為概率和立體幾何（兩題的順序時(shí)有互換），20題為解析幾何，21題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)．考題內(nèi)容相對穩(wěn)定，數(shù)列常考等差、等比通項(xiàng)的求法，及求和方法的應(yīng)用，常有簡單的遞推變換；三角函數(shù)?？冀馊切危ㄕ?、余弦定理和面積公式）；概率統(tǒng)計(jì)題以實(shí)際問題為背景，多與統(tǒng)計(jì)學(xué)知識結(jié)合，理科加考概率與數(shù)學(xué)期望，文科加考概率和統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)特征；立體幾何有兩問題，其中第一問線面關(guān)系的證明，偏重垂直少見平行，第二問文科偏重面積體積，理科偏重空間角和距離的計(jì)算；解析幾何多為直線與橢圓、拋物線、圓等曲線的綜合問題，第一問求曲線的方程，第二問中多考范圍和最值，用常規(guī)方法求解，不大主張使用韋達(dá)定理，運(yùn)算量不是很大；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題作為試卷的壓軸題，主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（研究單調(diào)性、最值和函數(shù)的形態(tài)），分類討論，證明不等式等，思維難度較大．

2．模塊考查情況分析

（1）不等式模塊：一般會和其他知識結(jié)合，主要考查不等式性質(zhì)、解法，線性規(guī)劃等，較簡單．

（2）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊：試題個數(shù)逐漸穩(wěn)定在2小1大，分值約為22分，小題一般都以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸，考查零點(diǎn)問題、不等式等知識，綜合性較強(qiáng)；解答題一般以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合問題壓軸，主要考查不等式的證明、不等式恒成立、不等式有解等問題，綜合考查運(yùn)算求解、變形、抽象概括，推理論證等能力、也會涉及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，難度較大．

例1（2014年高考新課標(biāo)Ⅰ理）設(shè)函數(shù)f（x）＝aexlnx＋曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝e（x－ 1）＋2．

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）證明：f（x）＞1．

課標(biāo)卷研究的函數(shù)類型更豐富，高等數(shù)學(xué)初等化，強(qiáng)調(diào)與高等數(shù)學(xué)的銜接．單調(diào)性是函數(shù)的核心性質(zhì)，是高考命題專家的“寵兒”；往往結(jié)合具體函數(shù)并強(qiáng)調(diào)和函數(shù)圖像、性質(zhì)的綜合考查（多類比三角函數(shù)）函數(shù)的周期性；對于函數(shù)的對稱性，突出對對稱性概念的基本認(rèn)識，一般類比二次、三次函數(shù)或者函數(shù)奇偶性，不深入探討周期性、對稱性、奇偶性之間的關(guān)系．

近幾年基本上每年都會考查切線問題，通過切線研究曲線中的參數(shù)，強(qiáng)調(diào)解方程，特別要關(guān)注兩個曲線公切線的問題．課標(biāo)卷在海南、寧夏卷時(shí)期考查過定積分的幾何意義，涉及簡單計(jì)算，但近四年都沒有設(shè)計(jì)定積分的相關(guān)問題，因此關(guān)于定積分的復(fù)習(xí)不建議拓展深化．導(dǎo)數(shù)工具性體現(xiàn)的是函數(shù)研究的思維深化，對于導(dǎo)數(shù)更強(qiáng)調(diào)在單調(diào)性基礎(chǔ)上的圖像特征，以及與之相關(guān)的方程與不等式問題，強(qiáng)調(diào)對特征值特征線的認(rèn)識，綜合性較強(qiáng)，文科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題難度有向理科靠近的趨勢．

（3）向量與三角模塊：這兩個模塊如果有解答題，則會出現(xiàn)2～3個小題，如果沒解答題則會有3～4個小題，一般所占分值為20～25分．三角模塊小題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，利用誘導(dǎo)公式與和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化簡，平面向量的基本性質(zhì)與運(yùn)算；大題主要以正、余弦定理為知識框架，以三角形為依托，考查三角函數(shù)化簡求值，與實(shí)際測量有關(guān)的解三角形題．

圖1

例2（2013年高考新課標(biāo)Ⅰ（理））如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90°．

（Ⅱ）若∠APB＝150°，求tan∠PBA

（4）數(shù)列模塊：如果沒有解答題，會有兩個小題，如果有解答題，則為一個大題不出小題，一般所占分值為10～12分．小題以考查數(shù)列概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容為主，屬中低檔題，在復(fù)習(xí)中建議及時(shí)調(diào)整方向，以免浪費(fèi)時(shí)間；解答題以考查等差（比）數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式，錯位相減求和、簡單遞推數(shù)列為主．

例3（2014新課標(biāo)全國卷Ⅰ17題）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)．

（Ⅰ）證明：an＋2－an＝λ；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．

（5）解析幾何模塊：一般為2小1大，占22分．小題主要考查直線與圓、圓錐曲線的性質(zhì)為主，一般結(jié)合定義，借助圖形可求解；大題一般以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景，常涉及多種圓錐曲線，如圓與橢圓、圓與拋物線，并結(jié)合函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)、平面向量等知識，考查軌跡方程，探求有關(guān)曲線性質(zhì)、參數(shù)范圍、最值與定值、存在性等問題．

例4（2013年高考新課標(biāo)卷Ⅰ）已知圓M：（x＋1）2＋y2＝1，圓N：（x－1）2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求|AB|．

（6）立體幾何模塊：一般為2小1大，占22分．小題一般側(cè)重于線與線、線與面、面面的位置的關(guān)系以及空間幾何體中的空間角、距離、面積、體積的計(jì)算與考查，解答題以平行、垂直、夾角、距離為考查目標(biāo)，幾何體以容易建立空間直角坐標(biāo)系的四棱柱、四棱錐、三棱柱、三棱錐等為主．三視圖在全國卷的位置一般靠后，球方面的考查顯得很重要，幾乎每年都有一道．

（7）組合、概率統(tǒng)計(jì)模塊：統(tǒng)計(jì)思想的呈現(xiàn)體現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用性；文理差別較大，文科以必修3為基礎(chǔ)，主要體現(xiàn)簡單概率的計(jì)算和統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用，理科從樣本統(tǒng)計(jì)出發(fā)，以排列組合為工具計(jì)算概率及分布列、期望和方差；案例分析（回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)是文理都有可能考查的題型）；概率統(tǒng)計(jì)題型豐富，涉及抽樣方法、兩種概率（古典概型、幾何概型）、概率中各種事件的關(guān)系（互斥、對立、獨(dú)立、獨(dú)立重復(fù)、條件概率）、各種圖表的應(yīng)用、典型分布列（尤其二項(xiàng)分布和超幾何分布）、正態(tài)分布、用均值和方差比較產(chǎn)品優(yōu)劣、案例分析等.

例5（2015高考新課標(biāo)卷Ⅰ）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（i=1，2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.

（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z= 0.2y-x，根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：

（?。┠晷麄髻M(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？

（ⅱ）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：

（8）算法與推理模塊：每年出現(xiàn)一個，程序框圖主要是數(shù)列和函數(shù)的綜合.

（9）集合與簡易邏輯、復(fù)數(shù)模塊：集合每年都考，主要考查集合的運(yùn)算；簡易邏輯主要考查命題的真假性判斷，特稱和存在命題以及充要條件，例如：

A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p3

復(fù)數(shù)也幾乎每年都考，主要考查化簡能力，特別是2009，2010，2011三年都考了提取“i”可很快化簡的技巧.

3.文理差異分析

試題文理差異有逐漸變大趨勢，如2014年相同的題目只有理科第3題（文科第5題）、理科第7題（文科第9題）、理科第11題（文科第12題）、理科第14題（文科第4題）和三選一試題，理科19題和文科19題是姊妹題，而2013年文理科試題有7個題是相同的，有一道立體幾何姊妹題，2012年文理科試題有7個題是相同的，卻有三道大題為姊妹題.

三、全國卷Ⅰ與湖北卷考查內(nèi)容的差別

全國卷有要求湖北卷未要求或低要求的主要考查內(nèi)容：（1）反函數(shù)：全國卷有要求偶有考查，湖北卷未要求未考查；（2）分段函數(shù)：全國卷幾乎每年必考，對函數(shù)分三段的有要求有考查，湖北卷對分段函數(shù)時(shí)有考查，對函數(shù)分三段的未要求未考查；（3）伸縮變換：全國卷有要求暫未考查過，湖北卷對此沒有要求；（4）圓與方程：全國卷比湖北卷對此要求更高、考查更多；（5）抽樣：新課標(biāo)卷有要求“理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性”，曾考查過，湖北卷無此要求；（6）隨機(jī)數(shù)：全國卷有要求“了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率”暫未考查，湖北卷對此無要求；（7）獨(dú)立性檢驗(yàn)：全國卷有要求“了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想、方法及其初步應(yīng)用”有考查，湖北卷對此無要求.

全國卷未考查或極少考查而湖北卷常有考查的主要考查內(nèi)容：（1）柯西不等式：湖北卷?？疾椋珖砦纯疾?；（2）合情推理湖北卷每年考查，全國Ⅰ卷考查較少；（3）異面直線所成的角：湖北卷有要求有過幾次考查，全國卷Ⅱ僅在2015年理科卷有一次考查；（4）事件的關(guān)系與運(yùn)算：湖北卷有要求有考查，全國卷無要求未考查；（5）參數(shù)方程與普通方程：湖北卷對此比全國卷要求高且廣泛；（6）函數(shù)模型與函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法、幾何概型等，湖北卷均有要求有考查，全國卷有要求未考查；（7）定積分：湖北卷有要求常有考查，全國卷僅見一次考查.特別需要指出的是全國卷與湖北卷在“概率統(tǒng)計(jì)”與“統(tǒng)計(jì)案例”方面，無論是命題風(fēng)格還是考試要求都有較大的差異，備考時(shí)需要高度重視.

四、一二輪復(fù)習(xí)建議

1.一二輪復(fù)習(xí)順序

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)當(dāng)打破教材的章節(jié)順序，按數(shù)學(xué)的主干知識進(jìn)行分塊整合.建議一輪復(fù)習(xí)板塊組合與先后順序?yàn)椋杭吓c常用邏輯用語（必修1，選修2-1），不等式（必修5），平面向量（必修4），函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（必修1，選修2-2），數(shù)列（必修5），三角函數(shù)與三角變換（必修4，必修5），立體幾何（必修2，選修2-1），平面解析幾何（必修2，選修2-1），計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)（必修3，選修2-3），復(fù)數(shù)（選修2-2），算法初步（必修3），推理與證明（選修2-2），選考內(nèi)容（選修4的某些專題）.二輪復(fù)習(xí)板塊組合與先后順序?yàn)椋汉瘮?shù)與導(dǎo)數(shù)，數(shù)列與不等式，向量與幾何，統(tǒng)計(jì)與概率，函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類與整合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想.

2.模塊復(fù)習(xí)建議

從全國卷的函數(shù)（函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等）大量涉及函數(shù)恒成立問題來看，有必要做專門的梳理，強(qiáng)化類型（可求最值型、分離變量型、主客互換的一次函數(shù)二次函數(shù)型），加強(qiáng)對端點(diǎn)效應(yīng)的研究；深入研究三個二次之間的關(guān)系，加強(qiáng)方程根的分布和方程有解問題的研究；在二次函數(shù)研究的基礎(chǔ)之上，利用導(dǎo)數(shù)能夠認(rèn)識三次函數(shù)的形態(tài)（圖像與對稱中心）、零點(diǎn)、極值，最值；適當(dāng)關(guān)注泰勒級數(shù)展開式等高等數(shù)學(xué)知識可以讓我們更好地認(rèn)識試題的來龍去脈，對于尖子學(xué)生，在學(xué)有余力的條件下適當(dāng)補(bǔ)充一些大學(xué)選修內(nèi)容也是可以的，這也是課改的趨勢；文科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題增大難度，難度上向理科靠近，文科應(yīng)適當(dāng)參考理科的導(dǎo)數(shù)題目，開拓學(xué)生的思路.

向量的學(xué)習(xí)和研究要上升到工具意識上面來，要加強(qiáng)向量運(yùn)算對幾何關(guān)系的作用，加強(qiáng)向量運(yùn)算符號的幾何含義的理解和把握.

全面梳理人教A版必修5中“解三角形應(yīng)用舉例”、章節(jié)習(xí)題中正余弦定理的應(yīng)用模型，有條件的地方建議教師訂閱蘇教版教材并閱讀相關(guān)章節(jié)，一般來說考慮選材的公平性，這部分內(nèi)容的考題都會從教材選擇.

解析幾何大題的復(fù)習(xí)，建議理科以橢圓、拋物線綜合題為主，文科以直線與圓為主，直線與橢圓為主；全面落實(shí)軌跡探求的方法（定義、直譯、相關(guān)點(diǎn)、消參、交軌），文科不回避軌跡問題；特別關(guān)注拋物線的焦半徑及其相關(guān)弦長的研究；加強(qiáng)與直線斜率相關(guān)的定點(diǎn)弦、定向弦以及定值定點(diǎn)問題的研究.

立體幾何大題的復(fù)習(xí)，新課標(biāo)全國卷理科數(shù)學(xué)中過多地使用向量解決，無疑剝奪了學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)，教師在立體幾何教學(xué)一開始的時(shí)候，應(yīng)該加強(qiáng)幾何法的使用力度，讓學(xué)生得到充分的鍛煉.在命題時(shí)不妨多編制幾個常規(guī)幾何體的非常規(guī)放法的三視圖問題，必要時(shí)還可以讓學(xué)生命題，以提高他們的熟悉度和靈活度，后期要注重幾何符號語言、文字語言、圖形語言三種語言的相互轉(zhuǎn)化.由于文科沒有空間向量，所以第一問多以證明平行和垂直為主，特別是證明垂直，如2011年第一問證明線面垂直，2012年第一問證明面面垂直，2013年第一問證明異面直線垂直，2014年第一問證明異面直線垂直，2015年第一問證明面面垂直等；第二問基本上是計(jì)算幾何體的表面積或體積等，如2012年計(jì)算體積比，2013年計(jì)算體積，2014年求三棱柱的高，2015年求表面積，少有涉及線面角和二面角.

3.新增內(nèi)容與選考處理

重視“新增”內(nèi)容，不忘“邊緣”考點(diǎn).新增內(nèi)容：如函數(shù)與方程，算法初步，幾何概型，條件概率，正態(tài)分布，統(tǒng)計(jì)案例，三視圖，全稱量詞與特稱量詞，理科的定積分等.據(jù)近年對試題的統(tǒng)計(jì)，新增內(nèi)容在量的方面逐年增加，在命題的難度和變化方面也有所加強(qiáng).另外一個值得注意的傾向是，對于看起來“淡化”或“弱化”的“邊緣”考點(diǎn)考查得較為頻繁，如2010年課標(biāo)全國卷Ⅰ文理科第19題均考查了“獨(dú)立性檢驗(yàn)”，2014年課標(biāo)全國卷Ⅰ理科第18題考查了“正態(tài)分布”，課標(biāo)全國卷Ⅱ理科第19題考查了“線性回歸方程”等，2015年課標(biāo)全國卷Ⅰ文理科第19題均考查了“回歸方程”.

選考內(nèi)容可以選定兩個模塊為主進(jìn)行復(fù)習(xí)，第一輪應(yīng)加強(qiáng)對坐標(biāo)系與參數(shù)方程的訓(xùn)練與傾向性引導(dǎo).考場上不宜把三道選考題都閱讀一遍再比較，應(yīng)根據(jù)復(fù)習(xí)備考時(shí)準(zhǔn)備的兩個模塊，瀏覽這兩個模塊試題后選定一題作答.考生在模考訓(xùn)練時(shí)注意養(yǎng)成先考慮解答前三大題，接著解答選考的三選一大題，然后再解答第四、第五大題，這對合理把握考試時(shí)間，有效得分是十分重要的.