對(duì)解題思路自然性的思考——以2015年廣東高考數(shù)列題為引例

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)豫才中學(xué)　趙　輝

對(duì)解題思路自然性的思考——以2015年廣東高考數(shù)列題為引例

☉浙江省紹興市柯橋區(qū)豫才中學(xué)趙輝

對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答，部分教師在講解時(shí)，只是直接給出解題過(guò)程，并沒(méi)有對(duì)思路的產(chǎn)生進(jìn)行分析，造成的結(jié)果是學(xué)生只知其然不知所以然，再遇到相似問(wèn)題時(shí)仍無(wú)從入手，甚至有些高考試題的“標(biāo)準(zhǔn)答案”，我們看后都有莫名其妙之感.下面以2015年廣東高考數(shù)列解答題為引例，就其解題思路的產(chǎn)生提幾點(diǎn)建議，供大家們復(fù)習(xí)參考.

例1（2015年廣東卷）數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+

（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（改編）

（Ⅱ）求數(shù)列前項(xiàng)和；

高考對(duì)數(shù)列問(wèn)題的考查常以壓軸題或把關(guān)題的形式出現(xiàn)，考查內(nèi)容主要涉及求數(shù)列通項(xiàng)公式、求前n項(xiàng)和以及數(shù)列不等式的證明.此類問(wèn)題題型多樣、方法靈活多變，能有效考查考生歸納推理、邏輯思維等能力，因此備受命題人的關(guān)注.

一、把握問(wèn)題的通性通法，直接尋找解題思路

求數(shù)列通項(xiàng)公式是高考?？碱}型之一，針對(duì)題目給出的條件不同，求解的方法也有所不同.若條件中給出數(shù)列的前n項(xiàng)和，如Sn=f（n）或Sn=f（an）等，則利用an=Sn-Sn-1（n≥2）求解.本題所給條件“a1+2a2+3a3+…+nan=4雖然不同于上述兩種類型，但其仍為若干項(xiàng)和的形式，因此亦可利用“an=Sn-Sn-1（n≥2）”進(jìn)行求解.

解析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，設(shè)Mn=a1+2a2+3a3+…+nan=4-則

Mn-1=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故

評(píng)析：除此之外求通項(xiàng)公式問(wèn)題還包括給出遞推關(guān)系型，主要解題思路是構(gòu)造法，即將其構(gòu)造為特殊數(shù)列——等差或等比數(shù)列進(jìn)行求解.

對(duì)于數(shù)列求和問(wèn)題，針對(duì)所給的不同類型，主要有如下幾種方法：

（1）公式法：運(yùn)用一些常見(jiàn)的公式（如等差、等比數(shù)列求和公式，正整數(shù)平方、立方求和公式）求數(shù)列前n項(xiàng)和.本題數(shù)列{an}為等比數(shù)列，故可以直接利用等比數(shù)列求和公式求和.

（2）分組求和法：對(duì)一個(gè)既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，如果能將這個(gè)數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)拆分，使得可分成幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和再將其合并，可采用分組求和法.

那么比如說(shuō)，有的時(shí)候看了一些具有社會(huì)學(xué)、民俗學(xué)價(jià)值的小說(shuō)以后是有些體會(huì)的。最近因?yàn)楦泺x鴦蝴蝶派，我就看了張恨水的《春明外史》，這本書100萬(wàn)字，看完之后我當(dāng)然對(duì)張恨水也有一個(gè)具體的了解，而且得到很大的收獲。如果現(xiàn)在讓我講魯迅《社戲》的前半篇，那么這個(gè)一百萬(wàn)字就給我起了一種民俗學(xué)的參考作用，因?yàn)樗v北京的戲院講得太詳細(xì)了，寫各種各樣背景的劇院，而這種劇場(chǎng)以前在我的腦子里是非?？辗旱?。你如果去讀茅盾的《幻滅》《動(dòng)搖》《追求》，你讀《動(dòng)搖》的時(shí)候?qū)Υ蟾锩@一段時(shí)期的生活就會(huì)比較具體化，不讀的話就是很抽象的在講大革命。

（3）裂項(xiàng)相消法：如果一個(gè)數(shù)列的每項(xiàng)都能拆成兩項(xiàng)之差，使得在求和過(guò)程中除首末兩項(xiàng)或附近幾項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都先后抵消，可采用裂項(xiàng)相消法.

（4）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，可采用錯(cuò)位相減法，即對(duì)形如{anbn}的數(shù)列，其中{an}是等差數(shù)列，而{bn}是等比數(shù)列（其中公比不為1），則可在求和等式兩邊同乘數(shù)列{bn}的公比或公比的倒數(shù)，然后兩等式錯(cuò)位相減求解.

（5）倒序相加法：如果數(shù)列的首末兩項(xiàng)的和與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和相等，可采用倒序相加法求數(shù)列前n項(xiàng)和.（等差數(shù)列求和公式可用此法推導(dǎo)）

二、由結(jié)論探條件，理順?biāo)悸穪?lái)龍去脈

對(duì)于第（Ⅲ）問(wèn)，命題組提供的答案如下：

因上式不等號(hào)左邊含有（n-1）項(xiàng)，故考慮將lnn分裂為n-1項(xiàng)之和，而lnn=lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+… +ln2-ln1=ln因此將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明進(jìn)而找到構(gòu)造函數(shù)的依據(jù).

三、把握問(wèn)題的根源，由淺入深滲透解題

對(duì)于創(chuàng)新型數(shù)列問(wèn)題，“新”主要新在形式，其本質(zhì)仍然是考查數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)，解題中只要挖掘出新背景下問(wèn)題的根源，解題即可由淺入深.

例2已知數(shù)列A：a1，a2，…an（n>2），令TA={x|x=ai+aj，1≤i

①若A：2，4，8，16，則card（TA）=_________；

②若ai+1-ai=c（c為常數(shù)，1≤i≤n-1），則card（TA）= _________.

解析：①根據(jù)題目條件得a1+a2=6，a1+a3=10，a1+a4= 18，a2+a3=12，a2+a4=20，a3+a4=24，故card（TA）=6.

②由條件“ai+1-ai=c”知，數(shù)列A為等差數(shù)列.

對(duì)于a1，a1+a2，a1+a3，a1+a4，…，a1+an共有n-1個(gè)不同的結(jié)果.

對(duì)于a2，a2+a3=a1+a4，a2+a4=a1+a5，…，a2+an-1=a1+an，a2+ an，故只有1個(gè)不同結(jié)果，即a2+an.

同理還有a3+an，a4+an，…，an-1+an，共n-3個(gè)不同的結(jié)果.

因此card（TA）=2n-3.

評(píng)析：解題到此，看似已經(jīng)完成，其實(shí)不然，我們忽略了最特殊的情況，即c=0時(shí)，{an}為常數(shù)數(shù)列，此時(shí)為1.因此正確答案應(yīng)為進(jìn)而問(wèn)題完整解答.

四、把握不同知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，化生為熟解題

由于高考試題承載量的限制，有限的試題不可能涵蓋更多的知識(shí)點(diǎn)，因此在知識(shí)的交匯處命題是命題人的首選.對(duì)于此類問(wèn)題的解答，只要充分把握不同知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，即可化生為熟解題.

例3已知向量序列：a1，a2，a3，…，an，…滿足如下條件：|a1|=4|d|=2，2a1·d=-1且an-an-1=d（n=2，3，4，…）.若a1· ak=0，則k=________；|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…中第________項(xiàng)最小.

本題以數(shù)列為背景，考查等差數(shù)列與平面向量的有關(guān)問(wèn)題，解題中只要準(zhǔn)確把握數(shù)列與平面向量的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，便可順利求解.

評(píng)析：解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、平面向量的運(yùn)算法則及向量模的幾何意義.通過(guò)對(duì)|an|進(jìn)行平方處理，進(jìn)而構(gòu)造出|an|關(guān)于n的二次函數(shù)，使問(wèn)題得解.

綜上所述，高考對(duì)數(shù)列問(wèn)題的考查?？汲Ｐ拢趩?wèn)題解答過(guò)程中只要我們充分把握數(shù)列問(wèn)題的本質(zhì)，多分析、多思考，即可找到自然的解題思路.