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    小題細(xì)做——有感于一次復(fù)習(xí)課教學(xué)觀摩

    2016-12-07 05:55:32江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)施建樹
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年1期
    關(guān)鍵詞:建系恒等式極化

    ☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué) 施建樹

    小題細(xì)做——有感于一次復(fù)習(xí)課教學(xué)觀摩

    ☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)施建樹

    高三復(fù)習(xí)教學(xué)是知識點的濃縮式教學(xué),這需要教學(xué)中對于重要知識問題進行整合、有效的設(shè)計,而不能僅僅就題論題.近期觀摩了本地區(qū)某校W老師關(guān)于向量小題知識的復(fù)習(xí)課,令筆者對于復(fù)習(xí)課教學(xué)的設(shè)計感慨較多,W老師從高等數(shù)學(xué)中體現(xiàn)向量數(shù)量積與其和差之間的關(guān)系式(即極化恒等式)出發(fā),設(shè)計了近年來考查較為熱門的一系列類似問題,整堂課的設(shè)計僅僅圍繞題根a· b=[(a+b)2-(a-b)2]出發(fā),讓筆者也深深認(rèn)識到了如何將小題進行了一番大作.

    一、綜述

    1.從內(nèi)容而言:W老師在教學(xué)內(nèi)容的選取上花了不少心思,以向量小題為例,通過極化恒等式這種比較新穎的手段來解決向量中難度較大的數(shù)量積綜合問題,不僅給很多學(xué)生甚至老師一種視覺上的享受,更能有效地幫助學(xué)生解決向量中的疑難問題,而且題目的設(shè)置也恰到好處,“樹高千丈,葉落歸根”不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的博大精深,更宣揚了一種推本溯源的思想,與此次“根本教學(xué)法”的宗旨不謀而合.總之,這堂課的開場就讓筆者出乎意料.筆者對可以通過極化恒等式來幫助學(xué)生“秒殺”靈活多變的高考向量題也并不熟悉,因此本課也讓筆者受益匪淺.

    2.從目標(biāo)而言:W老師對這堂課要實現(xiàn)的目標(biāo)很明確,清楚學(xué)生應(yīng)該理解什么,掌握什么,學(xué)會什么,她真正成為了學(xué)生學(xué)習(xí)活動的組織者、指導(dǎo)者和合作者,而學(xué)生真正是一個個發(fā)現(xiàn)者、探索者,有效地發(fā)揮他們的學(xué)習(xí)主體作用.W老師希望學(xué)生能借助極化恒等式來解決向量與三角、立體幾何等的綜合問題,在教學(xué)中更是滲透著數(shù)形結(jié)合這種很重要的思想方法.所以,整堂課始終貫穿著用“極化恒等式”解決向量數(shù)量積問題這條主線,在例題的選取和安排上也是精心布置的.

    二、過程

    W老師以課本為起點,通過課本題目的練習(xí),讓學(xué)生自己來探索a·b與a+b,a-b之間的關(guān)系,進而得到極化恒等式:a·b=(a+b)2-(a-b)2],引入自然貼切,學(xué)生易于掌握.W老師為學(xué)生創(chuàng)造了一個自主探索的機會,讓學(xué)生主動去建構(gòu)知識,而不是被動地吸收老師給出的現(xiàn)成結(jié)論,這是一個很好的實踐和創(chuàng)新的機會.

    在“尋根問底”這個環(huán)節(jié)中,W老師對極化恒等式作了進一步的說明,通過數(shù)形結(jié)合的方法,給出了極化恒等式的另一種形式通過這種形式可以發(fā)現(xiàn),這是一種數(shù)形結(jié)合的思想,是在圖形的基礎(chǔ)上闡釋極化恒等式的意義,即兩個向量的積可以用來表示以這兩個向量組成的平行四邊形的“和(差)對角線”的平方差的這樣可以使學(xué)生更好地理解并應(yīng)用極化恒等式,為后面的高效教學(xué)奠定堅實的基礎(chǔ).

    在“根繁葉茂”環(huán)節(jié)中,W老師通過三個例題很好地詮釋了極化恒等式這一工具,而且例題的選擇是很有針對性和代表性的,立意新穎,難度較大,通過該等式的巧妙解決,讓學(xué)生真真實實地感受到極化恒等式“秒殺”向量題的實效性,凸顯它的魅力,激起學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與熱情.

    但筆者認(rèn)為覺得在例題的編排順序以及析題的過程上可以作一些改進或者調(diào)整.例題的編排最好能按時間的先后順序以及試題的難度來安排,所以筆者建議將例2和例3的順序予以對調(diào).另外,W老師在例題1的講解中,用到了“極化恒等式法”、“建系法”、“向量運算法”三種方法,分析比較全面和細(xì)致,但是筆者覺得在時間上分配得有點多,其實這個題目的難度不大,很多同學(xué)都能自己完成,所以筆者覺得在以“極化恒等式法”為主線的基礎(chǔ)上,另外兩種方法給予適當(dāng)?shù)狞c播就可以了.而在例2和例3的講解中,解法單一,造成了“華山一條道”的局面,特別是例3,此題作為填空題的壓軸題,難度很大,得分率相當(dāng)?shù)?,而學(xué)生對于“極化恒等式法”畢竟比較陌生,在后來的求解的最值的時候,很多同學(xué)一臉茫然,顯然并不能很好地理解和掌握該解法.而且W老師似乎沒有給學(xué)生機會來展示或交流對這兩個例題的想法或解法,其實觀察下來,還是有不少同學(xué)在嘗試用建系、運算等方法在解,而老師沒有及時地關(guān)注和鼓勵學(xué)生的想法,這會挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和積極性.所以,老師應(yīng)該指引和鼓勵學(xué)生嘗試多角度地解決此題,真正地打開學(xué)生的思維,寧可少講一題,也要講透一題,只有這樣才能做到會一題通一類.因此W老師對例2作了深入的研究,體現(xiàn)了小題細(xì)做:

    例2已知a·b=0,向量c滿足(c-a)·(c-b)=0,|a-b|= 5,|a-c|=3,則a·c的最大值為_________.

    圖1

    圖2

    方法2(建系法):如圖2,由已知條件可知,AC⊥BC,AO⊥BO,AOBC四點共圓,且AC=3,AB=5,BC=4,故可建系如圖2所示,則C(0,0),B(4,0),A(0,3),由于AB為圓直徑,所以圓心坐標(biāo)為則該圓的方程為:

    因此,可得a·c∈[-2,18].

    方法3(幾何運算法):如圖3所示,不妨設(shè)∠AOC=θ,則∠ABC=θ,故cosθ= cos∠ABC=(在Rt△ABC中).又因為|

    a-c|=3,即得a2+c2-2a·c=9,從而有a2+

    圖3

    說明:處理向量的數(shù)量積問題一般有三個角度可以考慮,一是利用“極化恒等式”工具,二是通過建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)為代數(shù)運算,三是利用向量的線性運算,實施向量的轉(zhuǎn)化.方法1具有一定的巧妙性,往往可以避免復(fù)雜的運算,為考試贏得更多的時間;方法2實用性較強,通過建系,能把向量問題轉(zhuǎn)為一種代數(shù)的運算,該法的關(guān)鍵是如何建系,一般要應(yīng)遵循簡潔的原則,所需點的坐標(biāo)易求、快捷為上.而方法3則要求學(xué)生必須熟練地掌握向量的線性運算,還要善于捕捉向量背后的幾何背景,找出幾何圖形的特點,然后借助平面幾何性質(zhì)以及向量運算的幾何意義解決問題.

    通過W老師這一節(jié)課,可以發(fā)現(xiàn)“極化恒等式”對于向量數(shù)量積問題的解決有很大的幫助,可以達(dá)到省時省力的雙贏局面.與此同時也需要認(rèn)識到,用極化恒等式來高效迅速地解決與向量相關(guān)的習(xí)題,并不只是追求一種簡單的解題技巧,不只是為了純粹地提高應(yīng)試的水平,而是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到在數(shù)學(xué)問題的解決中,理解問題并揭示問題的本質(zhì),并迅速地判斷出問題可能的結(jié)果.因此,我們絕對不能把它當(dāng)成唯一的依靠,在掌握它的同時,更要嘗試其他的方法,多方位地打開試題,只有這樣,智慧之花才能開得更加燦爛.

    三、思考

    聽了W老師的課讓筆者受益良多,筆者也頗有些感悟:

    1.所有試題均源于課本,所以在數(shù)學(xué)教學(xué)特別是在高三復(fù)習(xí)時一定要回歸課本.老師一定要指導(dǎo)學(xué)生用好書本,夯實基礎(chǔ),才能幫助學(xué)生構(gòu)建一張牢固的知識網(wǎng)絡(luò).當(dāng)然,這里需要認(rèn)識回歸課本的含義,什么是回歸課本,回歸課本并不是簡單地重現(xiàn)教材中的知識,而是在此基礎(chǔ)上形成認(rèn)識上的飛躍,要充分發(fā)揮課本中例、習(xí)題的功能,并對這些例題進行探究性復(fù)習(xí).只有這樣學(xué)生掌握的知識才能得以螺旋式上升.

    2.作為教師要具有語言魅力,語言必須要做到嚴(yán)謹(jǐn)簡練,并且要具有親和力,對學(xué)生要多表揚多鼓勵,拉近與學(xué)生的距離.

    3.要為學(xué)生創(chuàng)造自主探索的機會,使學(xué)生主動地去構(gòu)建知識,而不是被動地去吸收課本上的現(xiàn)成結(jié)論.就像這次學(xué)生探索“極化恒等式”一樣,只有親自實踐,才能讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程,感知知識的本來面目,讓學(xué)生在“再創(chuàng)造”中實現(xiàn)知識、情感、價值觀的充分發(fā)展.

    4.?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該要有精準(zhǔn)的點播,精準(zhǔn)的啟發(fā),在此過程中教師在必要的時候放手讓學(xué)生討論,就可以抵達(dá)實效教學(xué)的境界.這里所強調(diào)的實效教學(xué),就是指教師要對每一個教學(xué)內(nèi)容進行認(rèn)真的設(shè)計并對教學(xué)過程進行認(rèn)真的組織,尤其需要重視的是,例題的選擇一定要高度重視代表性,只有具有了代表性,才具有了典型性,才能發(fā)揮以點帶面的作用.而在講授的時候,則需要重視橫向與縱向的聯(lián)系,以確保學(xué)生在問題解決的過程中思維能夠得到有效的培養(yǎng),能夠有效地將碎片化的知識組織成知識網(wǎng)絡(luò),從而提高知識在學(xué)生大腦中的有效組織程度.

    5.課堂教學(xué)不追求數(shù)量,堅持質(zhì)量為上.在上課的時候經(jīng)常會出現(xiàn)例題來不及講的情況,為了追求例題的數(shù)量,往往會把有些例題草草了之,這樣的講解只能停留在知識的表層,學(xué)生也不可能真正地掌握知識.所以,當(dāng)我們遇到一些典型問題時一定要深入探究,全方位地進行思考,努力做到會一題通一類.

    1.鮑建生,等.變式教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2003(1).

    2.鄭毓信.變式理論的必要發(fā)展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2006(1).

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