追本溯源至簡求新
——江西省中考數(shù)學創(chuàng)新畫圖題賞析

陳莉紅（江西省教育廳教學教材研究室）

追本溯源至簡求新
——江西省中考數(shù)學創(chuàng)新畫圖題賞析

陳莉紅（江西省教育廳教學教材研究室）

從2012年開始連續(xù)五年，江西省中考數(shù)學試題中出現(xiàn)了一種新的考查幾何作圖的試題，它有別于傳統(tǒng)意義上的尺規(guī)作圖題，設置這類試題是為了考查學生對基本圖形性質(zhì)及圖形變換的特征的掌握情況，考查學生的幾何直觀（包括對圖形的觀察、操作、想象等）、合情推理能力及相關的實驗操作能力，重點考查的是在尋找作圖依據(jù)的過程中學生自主運用所學知識進行推理論證的能力.經(jīng)過五年的實踐與探索，江西省中考數(shù)學創(chuàng)新畫圖題逐漸形成了自己的風格，形成了一道亮麗的風景線.

幾何作圖；尺規(guī)作圖；創(chuàng)新畫圖

從2012年開始連續(xù)五年，江西省中考數(shù)學試題中出現(xiàn)了一種新的考查幾何作圖的試題，它有別于傳統(tǒng)意義上的尺規(guī)作圖題，設置這類試題是為了考查學生對基本圖形性質(zhì)及圖形變換的特征的掌握情況，考查學生的幾何直觀（包括對圖形的觀察、操作、想象等）、合情推理能力及相關的實驗操作能力，重點考查的是尋找作圖依據(jù)的過程中學生自主運用所學知識進行推理論證的能力.經(jīng)過五年的實踐與探索，江西省中考數(shù)學創(chuàng)新畫圖題逐漸形成了自己的風格，形成了一道亮麗的風景線.本文將從創(chuàng)新畫圖題產(chǎn)生的背景、題型醞釀構(gòu)思的過程、題型特點三個方面逐一闡述我們對幾何作圖的認識及在考查幾何作圖方面所做的積極探索與實踐.

一、江西省中考數(shù)學創(chuàng)新畫圖題產(chǎn)生的背景及命制原則

1．《標準》對幾何作圖的教學要求及學生的能力要求有所提高

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）第三學段對幾何作圖的要求如下.

（1）能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線.

（2）能用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線.

（3）對尺規(guī)作圖的要求如下.

①能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線.

②會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

③會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形.

④在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.

與《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》相比，尺規(guī)作圖新增加的內(nèi)容有：過一點作已知直線的垂線；已知一直角邊和斜邊作直角三角形；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形.《標準》明確指出：在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力和模型思想.其中“空間觀念”主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，依據(jù)語言描述畫出圖形；“幾何直觀”主要是指利用圖形描述分析問題.因此，幾何作圖能力是《標準》明確要求的，也是后續(xù)高中數(shù)學學習必須具備的能力.

2．為更好地落實《標準》理念，發(fā)揮中考評價的教學導向功能

幾何作圖是幾何學習的一種重要手段，通過作

圖，學生可以增強對幾何圖形的直觀感受，獲得圖形中蘊含的各種幾何關系的思維素材，從而對后續(xù)分析、解決問題產(chǎn)生直接影響.因此，讓學生學會在作圖中抓基本要素，明確作圖的依據(jù)和基本方法，并在復雜圖形中分辨出基本圖形，是幾何教學中提高學生分析、解決問題能力的重要一環(huán).然而，經(jīng)過幾年的教學調(diào)研發(fā)現(xiàn)初中學生的畫圖、讀圖能力比較弱.一方面，是長期標準化測試的局限性造成的，測試試題中的圖形都是已經(jīng)畫好的標準圖形，學生養(yǎng)成了直接在試題中已給圖形上答題的習慣，缺少動手畫圖的意識；另一方面，在日常教學過程中，尺規(guī)作圖的教學內(nèi)容幾乎被一線教師忽略，對學生邊讀題邊畫圖的學習習慣的培養(yǎng)沒有引起足夠的重視，學生畫圖、讀圖能力沒有得到培養(yǎng)和提高，為后續(xù)高中階段的學習造成不必要的障礙.而中考試題對幾何作圖能力的考查可以對幾何教學起到導向的作用，為了更好地落實《標準》對幾何作圖的教學要求，促進日常教學中四基、四能教學理念的落實，經(jīng)過三年的調(diào)研和醞釀之后決定從2012年開始，江西省中考數(shù)學試題設置考查幾何作圖的題型，這種題型的命制遵循以下幾個原則.

（1）考查角度力求創(chuàng)新；

（2）考查內(nèi)涵力求豐富；

（3）作圖工具盡量簡單，便于閱卷；

（4）作圖形式盡量簡潔，便于操作.

在研究尺規(guī)作圖的演變與發(fā)展的歷史背景之后，我們理解尺規(guī)作圖的本質(zhì)是在一定限制條件下的幾何性質(zhì)的應用，尺規(guī)作圖的理論依據(jù)是幾何圖形的性質(zhì)、定理.例如，作角平分線的依據(jù)是兩三角形全等的判定定理，構(gòu)造全等三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形的作圖依據(jù)是直徑所對的圓周角為直角.再結(jié)合《標準》中對幾何作圖的要求，確定江西省中考數(shù)學對幾何作圖的考查目標定位在以作圖（操作）的形式考查圖形與幾何中的數(shù)學本質(zhì)，尤其是對一些基本圖形性質(zhì)、推理、幾何直觀、圖形變換的考查.

二、江西省中考數(shù)學創(chuàng)新畫圖題的構(gòu)思過程

根據(jù)上述幾何作圖題的命制原則、考查角度力求創(chuàng)新，就要求不能照搬尺規(guī)作圖的要求，尺規(guī)作圖的內(nèi)容已經(jīng)研究的非常透徹，《標準》要求的基本作圖也已經(jīng)非常全面，在尺規(guī)作圖的內(nèi)容上創(chuàng)新難度非常大.于是追本溯源，我們認識到尺規(guī)作圖的本質(zhì)就是在一定限制條件下的作圖問題，那么“限制條件”便成了作圖的關鍵，順著這個思路延伸，一個延伸方向是放寬限制.例如，直尺上如果有了刻度，能作些什么呢？增加一個工具能怎樣呢？如“角尺+量角器”，能做成把任意角三等分的儀器.這些變化都可以使作圖變得更加豐富而實用，這可以作為數(shù)學活動讓學生實踐操作探究，但不適合書面考查.

另一個延伸方向是加強限制條件.1797年意大利數(shù)學家馬斯羅尼發(fā)現(xiàn)：只用一把小圓規(guī)，就能完成一切由尺規(guī)聯(lián)合完成的事情.例如，拿破侖的題：只用圓規(guī)不用直尺，把一已知圓心的圓周分成四等份.美國幾何學家佩多曾敏銳地看出固定半徑的圓規(guī)的作圖問題隱藏著有趣的奧秘，他把這種固定半徑的圓規(guī)形象的叫做生銹的圓規(guī).這個發(fā)現(xiàn)引起數(shù)學家們很大的興趣.那么只用一把直尺行不行呢？數(shù)學家很快發(fā)現(xiàn)只用一把直尺能作的圖，少得可憐，但是法國數(shù)學家彭色列在1822年寫的文章，德國數(shù)學家斯坦納在1833年出版的一本小書里都證明，只要在平面上預先畫好一個圓和它的圓心，便可以用直尺完成一切能由尺規(guī)完成的任務.這個結(jié)論給了我們足夠的靈感，僅用無刻度的直尺畫圖，符合上述幾個原則，成為我們考查作圖的載體，我們給這一新的題型命名為“創(chuàng)新畫圖題”，以區(qū)別于尺規(guī)作圖.

三、江西省中考數(shù)學創(chuàng)新畫圖題特點賞析

創(chuàng)新畫圖是在一定情境下，以無刻度直尺作為唯一的作圖工具，不能度量，結(jié)合運用圖形的幾何性質(zhì)、基本定理、圖形變換等進行分析、推理、歸納，尋找作圖依據(jù)，主要的作圖形式是找點、連線.現(xiàn)結(jié)合近五年的中考試題對江西省創(chuàng)新畫圖題的特點賞析如下.

1．在基本圖形中僅用無刻度直尺畫圖

例1（2012年江西卷第13題）如圖1，已知正五邊形ABCDE，試用無刻度的直尺，準確作出它的一條對稱軸（保留作圖痕跡）．

圖1

圖2

答案：如圖2，直線AK即為所求（答案不唯一）.

【評析】2012年是考查創(chuàng)新畫圖題的第一年，以填空題形式出現(xiàn)，分值為3分.看似簡單的作圖題，所蘊含的數(shù)學知識非常豐富，充分利用了正五邊形的性質(zhì)：五條邊相等、五個角相等、軸對稱圖形，且有五條對稱軸，每條對稱軸都過頂點和對邊的中點，因此要畫出對稱軸只要找到對稱軸上另外一點或?qū)叺闹悬c即可.向圖形內(nèi)部找點，可連接對角線，運用等腰三角形、等腰梯形的對稱性可得兩條對角線的交點即為所求；向圖形外部找點，可延長不相鄰的兩邊相交的交點即為所求，可見思路多樣，畫法不唯一.既考查了正多邊形的性質(zhì)，同時又考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，既是作圖題，又是幾何推理題，只是不要求學生寫證明過程而已，該題的設置本身就是一種創(chuàng)新，改變以往“尺規(guī)作圖”的傳統(tǒng)模式，讓學生運用所學知識通過分析、探索確定作圖方案.由此題進行拓展可得任意正n（n≥4）邊形都可以僅用無刻度直尺畫出對稱軸.

變式：在圖3（1）中，已知AB=AC，BD=DC，在圖3（2）中，AB=AC，EB=FC，在圖3（3）中，五邊形ABCDE是正五邊形，試僅用無刻度的直尺分別畫出三個圖中的BC邊的中垂線.

圖3

【評析】此題是由江西省2012年中考試題改編而來的，中考試題只有圖3（3）.在圖3（3）前面鋪墊圖3（1）、圖3（2），體現(xiàn)一個數(shù)學問題由簡單到復雜的探究過程，也能起到對學生答題方法的引導作用，能使學生順利完成解答.

例2（2014年江西卷第16題）如圖4，在菱形ABCD中，P是BC的中點，試僅用無刻度的直尺按要求畫圖.

（1）在圖4（1）中畫出AD的中點；

（2）在圖4（2）中對角線BD上，取兩個點E，F(xiàn)，使BE=DF.

圖4

答案：（1）在圖5（1）中，點M即為所求.

（2）在圖5（2）中，點E，F(xiàn)即為所求.

圖5

【評析】2014年中考試題在2012年的基礎上加大了考查的力度，分值由3分增加到5分，由填空題變成解答題，在構(gòu)題過程中通過設置多個有關聯(lián)的小題，體現(xiàn)一個數(shù)學問題由簡單到復雜的探究過程，也能對學生尋找正確的答題方法起到鋪墊和引導的作用.此題以菱形為基本圖形，充分運用了菱形的基本性質(zhì)，對角線互相平分且為中心對稱圖形.圖4（1）中已給定一邊的中點P，只要連接對角線找到對角線的交點，連線即可.圖4（2）只要在圖4（1）的基礎上進一步運用對稱性連線AP，MC即可.例1、例2考查的重點分別是軸對稱、中心對稱，分別利用正多邊形、等腰三角形、菱形等基本圖形的性質(zhì)，全等知識進行畫圖.畫圖的基本方法就是找點、連線.

2.以半圓或圓為輔助模型畫圖

例3（2013年江西卷第16題）如圖6，AB是半圓的直徑.在圖6（1）中，點C在半圓外；在圖6（2）中，點C在半圓內(nèi)，試僅用無刻度的直尺按要求畫圖.

（1）在圖6（1）中，畫出△ABC的三條高的交點；

（2）在圖6（2）中，畫出△ABC中AB邊上的高.

圖6

答案：（1）在圖7（1）中，點P即為所求.

（2）在圖7（2）中，CD即為所求.

圖7

變式：已知點A，B，C在⊙O上，∠C＝30°，試使用無刻度的直尺畫圖．

（1）在圖8（1）中畫一個含30°角的直角三角形；

（2）點D在弦AB上，在圖8（2）中畫一個含30°角的直角三角形．

圖8

例4（2015年江西卷第17題）⊙O為△ABC的外接圓，試僅用無刻度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖9（1），圖9（2）中畫出一條弦，使這條弦將△ABC分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法）．

（1）如圖9（1），AC=BC；

（2）如圖9（2），直線l與⊙O相切于點P，且l∥BC.

圖9

答案：（1）如圖10（1）所示.

（2）如圖10（2）所示.

圖10

【評析】例3、例4分別以半圓、圓為背景，再輔助三角形，考查了圓的基本概念和性質(zhì)，例3考查了銳角三角形、鈍角三角形邊上的高的作法，及三角形三條高交于一點，第三條一定過另兩條高的交點的性質(zhì)，以直徑作為三角形的一條邊，用直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)造垂直，巧妙地代替了圓規(guī)的功能，只需連線即可.例4中要平分圓內(nèi)接三角形的面積，就要過一個頂點作對邊的中線，也就是要找到一邊的中點，三角形的邊同時是圓的弦，也就是找弦的中點，于是聯(lián)想到圓的垂徑定理，經(jīng)歷連線、找點、再連線，完成答題.第（2）小題中添加一條與弦平行的圓的切線做好鋪墊，引導學生連接圓心和切點，延長交弦于一點，即可找到弦的中點，真正考查了幾何直觀及學生對與圓有關的性質(zhì)的理解和應用.因此，以半圓或圓為背景構(gòu)思畫圖題時，可充分調(diào)用圓的相關知識.例如，圓心角與圓周角的關系，切線性質(zhì)，垂徑定理等進行輔助設計，構(gòu)思簡潔自然，看似簡單的找點連線，實則考查學生邏輯思維和應用能力.

3.以網(wǎng)格為輔助模型畫圖

例5（2014年江西卷第17題）已知梯形ABCD，試使用無刻度的直尺畫圖．

（1）在圖11（1）中畫一個與梯形ABCD面積相等，且以CD為邊的三角形；

圖11

（2）在圖11（2）中畫一個與梯形ABCD面積相等，且以AB為邊的平行四邊形．

答案：（1）如圖12（1）所示，△CDE即為所求（答案不唯一）．

圖12

（2）如圖12（2）所示，?ABFE即為所求（答案不唯一）．

例6（2016年江西卷第17題）如圖13，六個完全相同的小長方形拼成了一個大長方形，AB是其中一個小長方形的對角線，在大長方形中完成下列畫圖，要求：①僅用無刻度的直尺；②保留必要的畫圖痕跡.

（1）在圖13（1）中畫出一個45°角，使點A或點B是這個角的頂點，且AB為這個角的一邊；

圖13

（2）在圖13（2）中畫出線段AB的垂直平分線.

答案：（1）如圖14所示（畫法有兩種，正確畫出其中一種即可）.

圖14

（2）如圖15所示（畫法不唯一）.

圖15

【評析】例5和例6都是以網(wǎng)格為背景的畫圖題，例5是傳統(tǒng)的小正方形網(wǎng)格，有坐標系的功能，能起到度量的作用，往往能降低試題的難度，考查的重點是等積轉(zhuǎn)化的思想，梯形轉(zhuǎn)化為等積的三角形和平行四邊形，如果沒有網(wǎng)格做背景，就需要構(gòu)造全等三角形來轉(zhuǎn)化，大多數(shù)學生會很難找到切入點，添加網(wǎng)格以后，不同層次的學生可以選用不同的方法，優(yōu)等生可依據(jù)幾何直觀就能順利找到頂點，中等生可以通過等高等積計算，求出三角形或平行四邊形的邊長，找到頂點的位置，連線即可.例6考查角度有創(chuàng)新，以橫縱交替放置的邊長之比為2∶1的長方形為背景，畫出以AB為一邊的45°角，和線段AB的垂直平分線.這道題構(gòu)思巧妙，仔細觀察，長方形背景中若能把相應的邊延長與邊線相交，則會很快發(fā)現(xiàn)這其實就是正方形網(wǎng)格，那么在這個正方形網(wǎng)格中要畫出45°角，則需要構(gòu)造一個以AB為直角邊的等腰直角三角形，這在正方形網(wǎng)格中不難做到；要畫線段AB的垂直平分線，需要找到兩點，一個是AB的中點，這個只要連接長方形另一條對角線即可，關鍵是找到另一個點，滿足連線與AB垂直，這個難度比較大，需要在第（1）小題的基礎上，繼續(xù)連線畫出一個以AB為一邊的正方形，再連接正方形的對角線找到正方形的中心，再連線即可.由此，此題的構(gòu)思環(huán)環(huán)相扣、步步為營、非常巧妙，不得不贊嘆此題是道好題，美中不足的是對學生要求能力過高，學生必須具備聯(lián)想到正方形網(wǎng)格模型的意識，轉(zhuǎn)化為正方形網(wǎng)格背景答題，還要具備構(gòu)造基本圖形的能力，另外標準答案中第（1）小題沒有保留作圖痕跡，似乎考慮不夠嚴謹，也會有不好的導向，如有學生直接用量角器和三角板畫出滿足條件的線段，是否也要給滿分呢？這樣就會使得該題失去應有的效度.

由上可知，以網(wǎng)格為背景的創(chuàng)新畫圖似乎打開了一個新的視野，那么還有沒有其他的創(chuàng)新途徑呢？當然有，同樣還可以考慮基本圖形，我們可以設置菱形的網(wǎng)格為背景.

變式：如圖16，6個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點.已知菱形的一個銳角為60°，已知點A，B都在格點上，試在圖中僅用無刻度直尺畫出一個以AB為邊的直角三角形.

圖16

同樣的道理，還可以用正三角形網(wǎng)格為背景構(gòu)思創(chuàng)新畫圖題，讀者不妨嘗試一番.

綜上所述，江西省中考創(chuàng)新畫圖題經(jīng)過不斷的探索和實踐，已經(jīng)找到了三個不同的發(fā)展方向，無論哪個方向，都還有很大的空間，有待我們進一步的探索.

除了以上三種形式的畫圖，還有沒有其他可能呢？根據(jù)尺規(guī)作圖的規(guī)則，古希臘的學者們崇尚的作圖方法是靜止的，無論作圖的過程中還是證明的過程中，都不考慮圖形的運動，可能他們認為，圖形的運動將導致邏輯上的不嚴謹，而《標準》中現(xiàn)在已經(jīng)把圖形的運動變換作為工具使用，是一種創(chuàng)新與發(fā)展.歐氏幾何在證明兩個三角形全等時用到了重合的概念，沒有運動怎么能得到圖形的重合呢？而分析圖形的運動對于培養(yǎng)幾何直觀是非常重要的，現(xiàn)代數(shù)學的基本概念之一的變換，就是對圖形運動的抽象，因此創(chuàng)新作圖中還可以結(jié)合圖形的變換、旋轉(zhuǎn)、中心對稱、軸對稱等進行探索，在畫圖題中融入圖形運動的因素，這些都有待我們進一步的實踐探索.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］彭翕成，張景中.仁者無敵面積法［M］.上海：上海教育出版社，2011.

［3］史寧中.數(shù)學思想概論（第2輯）：圖形與圖形關系的抽象［M］.長春：東北師范大學出版社，2009.

2016—08—01

陳莉紅（1973—），女，中學高級教師，主要從事在職教師教學中的問題、教師培訓及中考命題研究.