從一道新的格點(diǎn)中考作圖題的結(jié)構(gòu)談起

鄒黎明（江蘇省無錫市碩放中學(xué)）

浦?jǐn)⒌拢ńK省無錫市新城中學(xué)）

從一道新的格點(diǎn)中考作圖題的結(jié)構(gòu)談起

鄒黎明（江蘇省無錫市碩放中學(xué)）

浦?jǐn)⒌拢ńK省無錫市新城中學(xué)）

利用格點(diǎn)特征作圖在2015年中考試題中是一個(gè)亮點(diǎn)，對(duì)利用格點(diǎn)特征用無刻度的直尺作圖進(jìn)行了研究，從“品”2015年江蘇省常州市一道中考作圖題的結(jié)構(gòu)出發(fā)，編擬出兩道新的另類作圖題.

中考命題；格點(diǎn)作圖；無刻度的直尺

在2015年中考試題中，利用格點(diǎn)性質(zhì)作圖有多地采用，其與眾不同的呈現(xiàn)方式給我們很多啟發(fā)，這里從“品”2015年江蘇省常州市一道格點(diǎn)作圖題的結(jié)構(gòu)出發(fā)，對(duì)于這類題目進(jìn)行思考，編擬出兩道另類作圖題.

一、“品”中考試題

例1（2015年江蘇省常州市第26題）設(shè)ω是一個(gè)平面圖形，如果用直尺和圓規(guī)經(jīng)過有限步作圖（統(tǒng)稱“尺規(guī)作圖”），畫出一個(gè)正方形與ω的面積相等（以下統(tǒng)稱“等積”），那么這樣的等積轉(zhuǎn)化稱為ω的“化方”．

（1）閱讀填空.

如圖1，已知矩形ABCD，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝DC，以AE為直徑作半圓．延長(zhǎng)CD交半圓于點(diǎn)H，以DH為邊作正方形DFGH，則正方形DFGH與矩形ABCD等積．

圖1

理由：連接AH，EH．

因?yàn)锳E為直徑，

所以∠AHE＝90°.

所以∠HAE＋∠HEA＝90°．

因?yàn)镈H⊥AE，

所以∠ADH＝∠EDH＝90°.

所以∠HAD＋∠AHD＝90°.

所以∠AHD＝∠HED.

所以△ADH∽_____________．

即DH2＝AD·DE．

又因?yàn)镈E＝DC，

所以DH2＝____________，

即正方形DFGH與矩形ABCD等積．

（2）操作實(shí)踐.

平行四邊形的“化方”思路是，先把平行四邊形轉(zhuǎn)化為等積的矩形，再把矩形轉(zhuǎn)化為等積的正方形．

如圖2，試用尺規(guī)作圖作出與?ABCD等積的矩形（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡）．

圖2

（3）解決問題.

三角形的“化方”思路是：先把三角形轉(zhuǎn)化為等積的_________________（填寫圖形名稱），再轉(zhuǎn)化為等積的正方形．

如圖3，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，試作出與△ABC等積的正方形的一條邊（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡，不通過計(jì)算△ABC面積作圖）．

圖3

圖4

（4）拓展探究.

n邊形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n邊形轉(zhuǎn)化為等積的n－1邊形，……，直至轉(zhuǎn)化為等積的三角形，從而可以化方．

如圖4，四邊形ABCD的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，試作出與四邊形ABCD等積的三角形（不要求寫具體作法，保留作圖痕跡，不通過計(jì)算四邊形ABCD面積作圖）．

解析：（1）△HDE，AD·DC.

（2）如圖5所示.作法：①延長(zhǎng)DA，過點(diǎn)B，C分別作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)；

圖5

②延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使得FG=FC；

③以EG為直徑作半圓⊙O；

④延長(zhǎng)CF交半圓O于點(diǎn)H；

⑤以HF為一邊作出正方形HFIJ，則正方形HFIJ為平行四邊形ABCD的等積正方形.

（3）矩形.如圖6，作法：①過點(diǎn)A作AD垂直BC于點(diǎn)D；

圖6

②作AD的垂直平分線，取AD的中點(diǎn)E；

③過點(diǎn)E作BC平行線，作矩形BCGF，

則S矩形BCGF=S△ABC.

同（2）可以作出其等積正方形.

（4）如圖7，作法：①連接BD，過點(diǎn)A作BD∥l；

圖7

②延長(zhǎng)CD交直線l于點(diǎn)E；

③連接BE，則S四邊形ABCD=S△EBC.

同（3）可以作出其等積正方形.

“品”題：這個(gè)新穎的題目給我們什么啟發(fā)呢？從題目的結(jié)構(gòu)進(jìn)行思考，這是一個(gè)兩段形式的題目，前面一半是一個(gè)性質(zhì)的研究，后面則是利用性質(zhì)或者這部分揭示的方法進(jìn)行模仿作圖.這個(gè)題目是閱讀理解中感悟方法，是圖形變換結(jié)合的作圖題，考查了學(xué)生的理解能力、類比思想.

二、從結(jié)構(gòu)上模仿編題

我們?cè)谘芯坎孪脒^程中，編擬了如下題目.

圖8

（2）在（1）的條件下，HF垂直平分EG.求證：四邊形EFGH是菱形.

知識(shí)應(yīng)用：

（3）如圖9，根據(jù)梯形ABCD在格點(diǎn)的特征作出一個(gè)菱形EFGH，使得點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，DA上.并且AE∶EB=1∶2（只能用無刻度的直尺）.

圖9

解：（1）證明：在△AEM和△BEN中，

因?yàn)锳D∥BC，

所以EM=GN.

（2）因?yàn)镸E=GN，F(xiàn)H是EG的垂直平分線，

所以O(shè)E=OG.

所以O(shè)E+EM=OG+GN.

所以O(shè)M=ON.

因?yàn)锳D∥BC，所以∠M=∠N.

因?yàn)椤螹OH=∠NOF，

所以△MOH≌△NOF.

所以O(shè)H=OF.

因?yàn)镺E=OG，

所以四邊形EFGH是平行四邊形.

因?yàn)镋G⊥FH，

所以四邊形EFGH是菱形.

顯然這樣的菱形有無數(shù)個(gè).

（3）這個(gè)題目從圖形格點(diǎn)特征，從AE∶EB=CG∶GD=1∶2，知道點(diǎn)E，G都是格點(diǎn)，還可以知道EG的中點(diǎn)也是格點(diǎn).注意EG是一個(gè)2×8矩形的對(duì)角線，只要將這個(gè)矩形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，就可以作出EG的垂直平分線FH.如圖10所示.

圖10

進(jìn)一步，我們給出一個(gè)限定作圖問題.

（4）根據(jù)梯形ABCD在格點(diǎn)的特征作圖，使得點(diǎn)E，G分別在AB，CD上.并且AE∶EB=CG∶GD=4∶5（只能用無刻度的直尺）.

解：（4）如圖11，作法：①在BC上取點(diǎn)M，使得CM=4，在AD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)N，使得DN=5，連接MN交CD于點(diǎn)G；

圖11

②在BC上取點(diǎn)K，使得CK=5，在AD延長(zhǎng)線上取點(diǎn)I，使得DI=4，連接KI交CD于點(diǎn)L；

③在AD上取點(diǎn)Q，使得DQ=5，在AD上取點(diǎn)P，使得QP=4，連接BP，QK相交于點(diǎn)R，作出直線LR，交AB于點(diǎn)E.所以點(diǎn)E，G作出.

如圖12，如果我們連接EG，作出EG的垂直平分線，可以得到菱形EFGH.

圖12

【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)題目編擬的初衷是為了證明梯形的內(nèi)接菱形有無數(shù)個(gè).雖然沒有完全解決猜想，現(xiàn)從例1的結(jié)構(gòu)得到啟發(fā)，編擬出一個(gè)利用性質(zhì)作圖的題目.這種性質(zhì)加作圖的素材只要我們留意，例如角平分線的有關(guān)比例的性質(zhì)在教材中雖然已經(jīng)不出現(xiàn)了，但是，我們可以提取這個(gè)知識(shí)點(diǎn)編擬出如下題目.

例3探索發(fā)現(xiàn)：

圖13

知識(shí)應(yīng)用：

（2）如圖14，△ABC的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，作出∠ABC的平分線BD（用無刻度的直尺）.

圖14

解：（1）證明：如圖15，過點(diǎn)C作CE∥AD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

圖15

因?yàn)锳D∥CE，

所以AC=AE.

所以∠ACE=∠E.

因?yàn)镃E∥AD，

所以∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE.

所以∠BAD=∠DAC，

即AD平分∠BAC.

圖16

【點(diǎn)評(píng)】2015年中考試題中有正方形網(wǎng)格作圖的題目，一個(gè)新穎的題目或許能夠成為今后的關(guān)注點(diǎn)，文中思考這種形式的另類作圖題，例2、例3的編擬，這個(gè)專題或許能夠給大家一點(diǎn)幫助.

三、“品”題的視角

“品”題是一種態(tài)度，它更加注重題目的結(jié)構(gòu)，品結(jié)構(gòu)就是題目本身價(jià)值的理解，數(shù)學(xué)題的價(jià)值在“品”中才能發(fā)現(xiàn)，是數(shù)學(xué)生命力的表現(xiàn)，我們數(shù)學(xué)呈現(xiàn)的一些思想和方法，或許不經(jīng)意地在某些題目中若隱若現(xiàn)，往前一步海闊天高，看題說話，是一個(gè)人數(shù)學(xué)品質(zhì)的聚焦.例1讓我們體會(huì)模仿的形式，另外我們從題目中正方形網(wǎng)格這個(gè)載體，聯(lián)系到無刻度尺作圖，這種作圖少了圓規(guī)，多了利用性質(zhì)作圖.這些賦予格點(diǎn)和平行線活力的作圖問題使得幾何更具魅力，應(yīng)該關(guān)注幾何的創(chuàng)新資源，把握問題的本質(zhì)，編擬出符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求的數(shù)學(xué)問題.

［1］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］北京師范大學(xué)出版社，教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］鄒黎明，顧泉洪.中考復(fù)習(xí)例說無刻度尺作圖［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)（初中），2015（6）：43-44.

［4］王華.一道題的網(wǎng)絡(luò)征解與研討［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2014（10）：60-62.

［5］浦?jǐn)⒌?淺談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的生成性追問及時(shí)機(jī)［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（5）：1-4.

2016—08—28

鄒黎明（1964—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事初等數(shù)學(xué)中的幾何不等式、中考命題研究.