“特殊三角形”中考復(fù)習(xí)課例題教學(xué)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

沈曉生（福建省詔安縣懷恩中學(xué)）

“特殊三角形”中考復(fù)習(xí)課例題教學(xué)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

沈曉生（福建省詔安縣懷恩中學(xué)）

中考復(fù)習(xí)課例題的優(yōu)化配置，是提高復(fù)習(xí)課教學(xué)效益的重要環(huán)節(jié).好的例題，能促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)的再認(rèn)識復(fù)習(xí)內(nèi)容，領(lǐng)悟知識的綜合運(yùn)用、解題的思維方法和一般規(guī)律，更好地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.通過設(shè)計(jì)5道例題，使學(xué)生對特殊三角形的知識內(nèi)容能有整體的認(rèn)識，突破學(xué)習(xí)的易錯(cuò)點(diǎn)，使解決問題的能力得到提高和拓展，從而達(dá)到中考基礎(chǔ)性復(fù)習(xí)的效益.

特殊三角形；中考復(fù)習(xí)；例題設(shè)計(jì)

由于新授課與復(fù)習(xí)課的時(shí)間間隔較長，學(xué)生對“特殊三角形”的知識內(nèi)容遺忘較多，在問題解答過程中對于相關(guān)的概念、定理的記憶提取存在模糊不全等現(xiàn)象較為突出，系統(tǒng)掌握本部分知識和對知識之間的融會貫通則表現(xiàn)更弱，導(dǎo)致了學(xué)生對于“特殊三角形”的應(yīng)用存在諸多問題，尤其是涉及分類討論的問題時(shí)出錯(cuò)率較高.因此，必須通過典型例題優(yōu)化基礎(chǔ)復(fù)習(xí)，進(jìn)一步提升學(xué)生對“特殊三角形”的相關(guān)知識的認(rèn)識，提高靈活應(yīng)用知識進(jìn)行分析、解決問題的能力.

一、理解并掌握性質(zhì)與判定，會進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算

“特殊三角形”部分的中考第一輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)把熟練運(yùn)用等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算作為復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，務(wù)必精心設(shè)置考查基礎(chǔ)知識和基本技能的典型例題，引導(dǎo)學(xué)生參與解題活動，強(qiáng)化對有關(guān)性質(zhì)、判定的理解應(yīng)用.

例1（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，AB= AD=DC，∠B=80°，則∠C的度數(shù)為（ ）.

圖1

（A）30°（B）40°（C）45°（D）60°（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AB=6，CD=4，則△ABC的周長是______．

圖2

（3）如圖3，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一條直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=________.

圖3

解：（1）因?yàn)樵凇鰽BD中，AB=AD，

所以∠B=∠ADB=80°.

因?yàn)锳D=CD，

故選B．

（2）因?yàn)樵凇鰽BC中，AB=AC，AD⊥BC，

所以BD=CD.

因?yàn)锳B=6，CD=4，

所以△ABC的周長=6＋4＋4＋6=20．

故填20.

（3）因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠ACB=60°.

因?yàn)镃G=CD，所以∠CDG=30°.

因?yàn)镈F=DE，所以∠E=15°．

故填15°.

【設(shè)計(jì)意圖】（1）在師生共同完成例題的解題教學(xué)中，通過觀察判斷及簡單的計(jì)算，解決等腰三角形的相關(guān)計(jì)算問題，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解等腰三角形的“等邊對等角”“三線合一”的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)在計(jì)算中的應(yīng)用.其中，第（3）小題還可以拓展為規(guī)律問題探究.

（2）作為本部分基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的第一道例題，應(yīng)重點(diǎn)設(shè)置對基礎(chǔ)知識和基本技能進(jìn)行考查的問題，主要是涵蓋等腰三角形、等邊三角形的定義和性質(zhì)的基本應(yīng)用，題目難度要適當(dāng)降低，讓學(xué)生有基本的活動經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也讓學(xué)生感受其中蘊(yùn)涵的轉(zhuǎn)化思想及特殊與一般的思想.通過這樣的復(fù)習(xí)使學(xué)生在知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀各方面都得到提升，進(jìn)而優(yōu)化復(fù)習(xí)課的效益.

例2（1）如果直角三角形中的一個(gè)銳角等于50°，那么另一個(gè)銳角的度數(shù)是（ ）.

（A）130°（B）90°（C）40°（D）30°

（2）如圖4，鋼繩自下而上纏繞圓形柱子五周恰好到達(dá)頂端．若柱子高20米，柱子底面周長3米，則鋼繩的最短長度是_______.

圖4

（3）如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AB的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E．∠A=30°，AB=8，則DE的長度是_______．

圖5

解：（1）因?yàn)樵谥苯侨切沃?，一個(gè)銳角等于50°，

所以另一個(gè)銳角的度數(shù)是90°－50°=40°．

故選C．

（2）圖6是圖4的側(cè)面展開圖，豎直方向的直角邊（木棍高）20米，水平方向的直角邊長5×3=15（米），

圖6

故填25米.

（3）因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，AB=8，

所以AD=4.

因?yàn)镈E⊥AC于點(diǎn)E，∠A=30°，

故填2.

【設(shè)計(jì)意圖】（1）設(shè)計(jì)本例進(jìn)行教學(xué)，旨在促進(jìn)學(xué)生熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，通過識圖、分析及簡單的計(jì)算，解決直角三角形的計(jì)算問題.

（2）學(xué)生對于數(shù)學(xué)模型的問題認(rèn)識較為薄弱，但這部分內(nèi)容又是中考的?？伎键c(diǎn)，因此應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練.鑒于學(xué)生的基礎(chǔ)，選取選擇題或填空題可降低起點(diǎn)但又不削弱其思想（如第（2）小題），更有利于引導(dǎo)學(xué)生積極地探究，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

（3）對于幾個(gè)知識點(diǎn)的簡單疊加應(yīng)用是培養(yǎng)學(xué)生提高解決綜合應(yīng)用題的有效途徑之一，如本例中的第（3）小題是較好的題型.中考第一輪復(fù)習(xí)階段務(wù)必就復(fù)習(xí)內(nèi)容優(yōu)化設(shè)計(jì)相關(guān)的計(jì)算、證明問題，通過教師的講解、釋疑，并做針對性的強(qiáng)化訓(xùn)練，從中提高學(xué)生對此類問題的解題能力.

二、強(qiáng)化知識的系統(tǒng)認(rèn)識，活用數(shù)學(xué)思想解決綜合問題

在“特殊三角形”的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)進(jìn)一步讓學(xué)生對相關(guān)知識系統(tǒng)認(rèn)識，并會靈活運(yùn)用.通過有關(guān)“特殊三角形”綜合應(yīng)用問題的典例教學(xué)，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生利用分類討論、方程、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想解決問題，從中提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.同時(shí)應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，如遇到某些問題時(shí)會通過添加輔助線來解決.

例3（1）如圖7，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE．求證：AD=AE．

圖7

（2）如圖8，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F．

圖8

①求∠F的度數(shù)；

②若CD=2，求DF的長．

解：（1）通過證明△ABD≌△ACE，得AD=AE．

（2）①因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，

所以∠B=60°.

因?yàn)镈E∥AB，所以∠EDC=∠B=60°.

因?yàn)镋F⊥DE，所以∠DEF=90°.

所以∠F=90°-∠EDC=30°.

②因?yàn)椤螦CB=60°，∠EDC=60°，

所以△EDC是等邊三角形．

所以ED=DC=2.

因?yàn)椤螪EF=90°，∠F=30°，

所以DF=2DE=4．

【設(shè)計(jì)意圖】（1）邏輯推理是中考的必考考點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，教學(xué)中應(yīng)注意循序漸進(jìn)，而采用一題多解進(jìn)行訓(xùn)練也是常見做法.本例第（1）小題即屬此類型，如可證△ABE≌△ACD，或過點(diǎn)A作AF⊥BC，證DF=EF，得AD=AE.這樣就可以進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的分析推理能力.

（2）選擇經(jīng)典的題型能很好地復(fù)習(xí)鞏固基礎(chǔ)知識，通過本例題的教學(xué)，能夠很好地復(fù)習(xí)鞏固等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定，同時(shí)復(fù)習(xí)全等三角形的判定與性質(zhì)，也促進(jìn)學(xué)生深刻理解、掌握證明線段和角相等的思維方法和常用的性質(zhì)定理.強(qiáng)化學(xué)生對相關(guān)知識的融會貫通，提高綜合應(yīng)用知識解決問題的能力.

（3）邏輯推理能力是初、高中知識的一個(gè)銜接點(diǎn)，我們在復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)的選題也必須考慮為學(xué)生進(jìn)入高中階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)教學(xué)中必須提供充足的空間對邏輯推理加強(qiáng)訓(xùn)練.

例4（1）如圖9，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊△ACD，E為AB的中點(diǎn)，連接DE.求證：DE∥CB.

圖9

（2）如圖10，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B′重合，AE為折痕，求EB′的長.

圖10

解：（1）證明：如圖11，連接CE．

圖11

因?yàn)辄c(diǎn)E為Rt△ACB的斜邊AB的中點(diǎn)，

所以CE=EB=AE．

因?yàn)椤鰽CD是等邊三角形，所以AD=CD．

所以△ADE≌△CDE（SSS）.

所以∠ADE=∠CDE=30°．

因?yàn)椤螪CB=150°，

所以∠EDC＋∠DCB=180°．

所以DE∥CB．

（2）由折疊可得BE=EB′，AB′=AB=3.

設(shè)BE=EB′=x，

則EC=4－x.

因?yàn)椤螧=90°，AB=3，BC=4，

所以在Rt△ABC中，

在Rt△B′EC中，由勾股定理得x2＋22=（4－x）2.

解得x=1.5．

所以EB′=1.5．

【設(shè)計(jì)意圖】（1）輔助線的添加是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，教學(xué)時(shí)應(yīng)精選此類題目（如例4第（1）小題），側(cè)重對輔助線添加緣由的引導(dǎo)、分析，讓學(xué)生理解由分析推理而產(chǎn)生添加輔助線的需要，以降低對輔助線添加理解的難度.

（2）清楚折疊問題的實(shí)質(zhì)——折疊部分是全等形，對應(yīng)的邊和角分別相等.針對折疊部分為直角三角形的幾何問題，解題常利用方程思想假設(shè)有關(guān)線段為未知數(shù)，由勾股定理得到方程進(jìn)行求解，如例4第（2）小題.

（3）經(jīng)過前面三道例題的復(fù)習(xí)，學(xué)生已基本理解和掌握“特殊三角形”的性質(zhì)與判定，也能應(yīng)用它們解決一些簡單的問題，這時(shí)應(yīng)該再設(shè)計(jì)一些難度不大又具有一定綜合性的題目.在分析、解決問題的過程中，注意加強(qiáng)轉(zhuǎn)化思想、方程思想的滲透，以提高學(xué)生解決綜合題的能力.

三、在解題中探究、辨析易錯(cuò)和易混問題，提高解題能力

在解答有關(guān)“特殊三角形”的問題時(shí)，學(xué)生經(jīng)常

出現(xiàn)：遇到需進(jìn)行分類討論的問題時(shí)，常因題意理解不透徹、分析不到位而導(dǎo)致漏解；不知如何進(jìn)行合理的推理分析.因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，應(yīng)重點(diǎn)突破分類討論的應(yīng)用，通過設(shè)計(jì)這類題型進(jìn)行講解，幫助學(xué)生析疑排難，進(jìn)一步消除學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn).積極引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會探究，理解分類討論、方程、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在具體解題中的應(yīng)用，提高解題應(yīng)答能力.

例5（1）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為4和5，則這個(gè)等腰三角形的周長為（ ）.

（A）13（B）14（C）13或14（D）8或14

（2）等腰△ABC，腰AC上的高與腰AB的夾角為36°，則等腰△ABC的底角的度數(shù)為_______．

（3）如圖12，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若點(diǎn)P在AD邊上，連接BP，PC，△BPC是以PB為腰的等腰三角形，則PB的長為______.

圖12

解：（1）當(dāng)4作底邊時(shí)，4，5，5三條線段能構(gòu)成三角形，周長為14；

當(dāng)5為底邊時(shí)，5，4，4三條線段能構(gòu)成三角形，周長為13．

故選C．

（2）在△ABC中，設(shè)AB=AC，BD⊥AC于點(diǎn)D．

若是銳角三角形，如圖13，∠A=90°－36°=54°，底角=（180°－54°）÷2=63°；

圖13

若三角形是鈍角三角形，如圖14，∠BAC=36°+ 90°=126°，底角=（180°－126°）÷2=27°．

圖14

所以等腰三角形底角的度數(shù)是63°或27°．

（3）在矩形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=6．

圖15

在Rt△ABP中，

如圖16，當(dāng)BP=BC=6時(shí)，△BPC也是以PB為腰的等腰三角形．

圖16

綜上所述，PB的長度是5或6．

【設(shè)計(jì)意圖】（1）求解等腰三角形的邊長和角的大小等問題時(shí)，常需進(jìn)行分類討論，而分類討論是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn).所以應(yīng)對這類題型做專題訓(xùn)練，以培養(yǎng)學(xué)生周密思考問題的習(xí)慣.通過本例的第（1）（2）小題的學(xué)習(xí)，能強(qiáng)化此類問題的解題思想，提高解題能力.

（2）動點(diǎn)問題是中考試題的綜合性問題，在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)階段，列舉一些簡單的動態(tài)變化問題的解決有利于學(xué)生對此類問題的認(rèn)識，讓學(xué)生掌握畫圖是解決此類問題的方法之一.本例中的第（3）小題具有動態(tài)變化的雛形，此題利用中垂線關(guān)聯(lián)等腰三角形也是難點(diǎn)，強(qiáng)化知識間的聯(lián)系是突破解題思路的一種有效手段，更應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練.

四、教學(xué)反思

1．把握基礎(chǔ)，剖析本質(zhì)

作為中考第一輪復(fù)習(xí)的例題教學(xué)應(yīng)突出基礎(chǔ)知識的再認(rèn)識，著重通過對解題中典型錯(cuò)誤深入剖析去糾正錯(cuò)誤認(rèn)識，促使學(xué)生消滅易錯(cuò)、易混點(diǎn).

在例題教學(xué)過程中，應(yīng)重視充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識，激勵學(xué)生積極思考，探究解決問題的方法和途徑.對涉及有關(guān)定義、性質(zhì)的應(yīng)用問題，應(yīng)側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析，鞏固理解有關(guān)定義、性質(zhì)的正確應(yīng)用.教師對學(xué)生感到疑難和重點(diǎn)處進(jìn)行重點(diǎn)講解、點(diǎn)撥，最后，教師要?dú)w納總結(jié)，形成完整、規(guī)范的解題步驟，使每名學(xué)生對所學(xué)的概念、性質(zhì)進(jìn)一步的理解鞏固，形成技能、技巧，并正確加以應(yīng)用.

2．適度拓展，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

以原題為基礎(chǔ)適度拓展，通過變換、擴(kuò)展，從一個(gè)問題到一類問題，逐步尋求發(fā)現(xiàn)解題的內(nèi)在規(guī)律，培養(yǎng)鍛煉學(xué)生科學(xué)的思維方法，獲得舉一反三、觸類旁通的本領(lǐng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

例1的第（3）小題還可以拓展為規(guī)律問題探究.例2的第（2）小題還可以聯(lián)系棱柱的最短路徑探究.例3的第（1）小題可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練.例5的第（3）小題具有較強(qiáng)的綜合作用，通過分析推理，加深認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的條理化和系統(tǒng)化，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力.

3．注意引導(dǎo)，提升能力

及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生做好解題后反思，形成解題能力.對于各個(gè)例題應(yīng)精選，使其具有內(nèi)在的共性類型，解完一個(gè)題目后，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思，及時(shí)總結(jié)解題常用的數(shù)學(xué)思想方法和解題規(guī)律，讓學(xué)生形成靈活應(yīng)用知識進(jìn)行優(yōu)化解題的能力.

［1］馬復(fù)，凌曉牧.新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］李鐵安.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）案例式解讀［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2012.

［3］朱楠.先學(xué)后教，探索學(xué)案的設(shè)計(jì)［J］．中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（7/8）：30-33.

［4］李凌云.“教案學(xué)案一體化”的個(gè)案研究［D］.華東師范大學(xué)，2011.

2016—08—19

全國教育信息技術(shù)研究“十二五”規(guī)劃2015年度專項(xiàng)課題——信息技術(shù)環(huán)境下縣級教研部門引領(lǐng)青年教師專業(yè)成長策略（153032773）.

沈曉生（1970—），男，中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.